Քառակուսացման բանաձևերի ցանկ

Քառակուսացման բանաձևերի ցանկ- տարբեր քառակուսացման բանաձևերի ցանկը՝ թվային ինտեգրման համար։

Նշանակումը

Թվային ինտեգրման բանաձևը ընդհանուր տեսքը հետևյալն է․

$\int \limits _{\Omega _{x}}f(x)dx=\sum _{i=1}^{m_{g}}{{\widetilde {w_{i}}}f(x_{i})}=\sum _{i=1}^{m_{g}}{w_{i}\mathrm {det} (J(\xi _{i}))f(x(\xi _{i}))}$,

• $f(x)$ -ինտեգրվող ֆունկցիան
• $w_{i}$ -ինտեգրվող մեծությունը
• $\xi$ - վարպետ-տարր կոորդինատային համակարգը․
• $J(\xi )={\frac {\partial (x_{1},\dots ,x_{n})}{\partial (\xi _{1},\dots \xi _{n})}}$ Յակոբիի մատրիցա՝ վարպետ-տարրի անցնելու համար։

Ինտեգրալի ադիտիվության հիման վրա, որպես $\Omega$ ինտեգրման տիրույթ քննարկվում են պարզ տիրույթներ (եռանկյուն, քառանկյուն, հնգանկյուն)։ Բարդ երկրաչափության դեպքում՝ տիրույթը ներկայացվում է որպես պարզ տիրույթների միություն և հաշվվում են ինտեգրալները ըստ այդ տիրույթների։

Բնական կոորդինատները ներկայացվում են $x,y,z$ փոփոխականներով, իսկ վարպետ-տարրի նշանակման համար՝ $\xi ,\eta ,\zeta$։

Միաչափ ինտեգրալ

Թվային ինտեգրում $x^{5}+6x^{2}+1$ ֆունկցիայի/վարպետ-տարրի հիման վրա՝ գաուսի- 2 մեթոդով

Միաչափ ինտեգրումը, դա հատվածով ինտեգրումն է։

• Ինտեգրման տիրույթը $[x_{0},x_{1}]$ հատվածն է․
• Կառուցման տարրը $[-1,1]$հատվածն է
• Անցում վարպետ-տարրին՝ $\xi (x)=2{\frac {x-x_{0}}{x_{1}-x_{0}}}-1$;
• Անցում վարպետ-տարրից՝ $x(\xi )={\frac {(x_{1}-x_{0})(\xi +1)}{2}}+x_{0}$;
• Յակոբիի ինտեգրալ՝ $\mathrm {det} (J(\xi ))={\frac {x_{1}-x_{0}}{2}}$.

Համար	Կետերի քանակ	Ինտեգրման կարգը	$\xi$	$w$	Լրացուցիչ
1	1	1	$0$	$2$	Ուղղանկյունների մեթոդ
2	2	1	$-1$	$1$	Սեղանների մեթոդ
			$1$	$1$
3	2	3	$-{\frac {1}{\sqrt {3}}}$	$1$	Գաուսի մեթոդ-2
			${\frac {1}{\sqrt {3}}}$	$1$
4	3	3	$-1$	${\frac {1}{3}}$	Սիմպսոնի մեթոդ
			$0$	${\frac {4}{3}}$
			$1$	${\frac {1}{3}}$
5	3	5	$-{\sqrt {\frac {3}{5}}}$	${\frac {5}{9}}$	Գաուսի մեթոդ-3
			$0$	${\frac {8}{9}}$
			${\sqrt {\frac {3}{5}}}$	${\frac {5}{9}}$
6	4	7	$-{\sqrt {{\frac {3}{7}}-{\frac {2}{7}}{\sqrt {\frac {6}{5}}}}}$	${\frac {18+{\sqrt {30}}}{36}}$	Գաուսի մեթոդ-4
			${\sqrt {{\frac {3}{7}}-{\frac {2}{7}}{\sqrt {\frac {6}{5}}}}}$	${\frac {18+{\sqrt {30}}}{36}}$
			$-{\sqrt {{\frac {3}{7}}+{\frac {2}{7}}{\sqrt {\frac {6}{5}}}}}$	${\frac {18-{\sqrt {30}}}{36}}$
			${\sqrt {{\frac {3}{7}}+{\frac {2}{7}}{\sqrt {\frac {6}{5}}}}}$	${\frac {18-{\sqrt {30}}}{36}}$
7	5	9	$0$	${\frac {128}{225}}$	Գաուսի մեթոդ-5
			$-{\frac {1}{3}}{\sqrt {5-2{\sqrt {\frac {10}{7}}}}}$	${\frac {322+13{\sqrt {70}}}{900}}$
			${\frac {1}{3}}{\sqrt {5-2{\sqrt {\frac {10}{7}}}}}$	${\frac {322+13{\sqrt {70}}}{900}}$
			$-{\frac {1}{3}}{\sqrt {5+2{\sqrt {\frac {10}{7}}}}}$	${\frac {322-13{\sqrt {70}}}{900}}$
			${\frac {1}{3}}{\sqrt {5+2{\sqrt {\frac {10}{7}}}}}$	${\frac {322-13{\sqrt {70}}}{900}}$

Երկչափ ինտեգրալ

Քառակուսի կառուցման տարր

Քառակուսի վարպետ-տարր 12 կետային բանաձևով

• Ինտեգրման տիրույթը՝ ուղղանկյուն $[x_{0},x_{1}]\times [y_{0},y_{1}]$
• Վարպետ-տարրը՝ քառակուսի $[-1,1]\times [-1,1]$
• Վարպետ-տարրի անցումը․

$\xi (x,y)=2{\frac {x-x_{0}}{x_{1}-x_{0}}}-1$

$\eta (x,y)=2{\frac {y-y_{0}}{y_{1}-y_{0}}}-1$;

• Վարպետ-տարրից անցումը․

$x(\xi ,\eta )={\frac {(x_{1}-x_{0})(\xi +1)}{2}}+x_{0}$

$y(\xi ,\eta )={\frac {(y_{1}-y_{0})(\eta +1)}{2}}+y_{0}$;

• Յակոբիան․ $\mathrm {det} (J(\xi ,\eta ))={\frac {(x_{1}-x_{0})(y_{1}-y_{0})}{4}}$.

Քառակուսով ինտեգրելու բանաձևերից շատերը կարելի է ստանալ, հատվածներով ինտեգրելու բանաձևերի կոմբինացիաներով։ Այդ մեթոդների օրինակներ են հանդիսանում ուղղնկյան, սեղանի և գաուսի -2 մեթոդները։

Համար	Կետերի քանակը	Ինտեգրման կարգը	$\xi$	$\eta$	$w$	Լրացուցիչ
1	1	1	$0$	$0$	$4$	Ուղղանկյունների մեթոդ (միջինի մեթոդ)
2	4	1	$-1$	$-1$	$1$	Սեղանի մեթոդ
			$-1$	$1$	$1$
			$1$	$-1$	$1$
			$1$	$1$	$1$
3	4	3	$-{\frac {1}{\sqrt {3}}}$	$-{\frac {1}{\sqrt {3}}}$	$1$	Գաուսի մեթոդ 2
			$-{\frac {1}{\sqrt {3}}}$	${\frac {1}{\sqrt {3}}}$	$1$
			${\frac {1}{\sqrt {3}}}$	$-{\frac {1}{\sqrt {3}}}$	$1$
			${\frac {1}{\sqrt {3}}}$	${\frac {1}{\sqrt {3}}}$	$1$
4	12	7	$-c$	$0$	$w_{c}$	$a={\sqrt {\frac {114-3{\sqrt {583}}}{287}}}$ $b={\sqrt {\frac {114+3{\sqrt {583}}}{287}}}$ $c={\sqrt {\frac {6}{7}}}$ $w_{a}={\frac {307}{810}}+{\frac {923}{270{\sqrt {583}}}}$ $w_{b}={\frac {307}{810}}-{\frac {923}{270{\sqrt {583}}}}$ $w_{c}={\frac {98}{405}}$ Հանգույցների քանակը նվազագույնն է։
			$c$	$0$	$w_{c}$
			$0$	$-c$	$w_{c}$
			$0$	$c$	$w_{c}$
			$-a$	$-a$	$w_{a}$
			$a$	$-a$	$w_{a}$
			$-a$	$a$	$w_{a}$
			$a$	$a$	$w_{a}$
			$-b$	$-b$	$w_{b}$
			$b$	$-b$	$w_{b}$
			$-b$	$b$	$w_{b}$
			$b$	$b$	$w_{b}$

Եռանկյուն կառուցման տարր

Եռանկյուն վարպետ-տարր Գաուսի-4 կետերով

• Ինտեգրման տիրույթը եռանկյուն է կառուցված $(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}),(x_{3},y_{3})$ գագաթներով ․
• Վարպետ-տարրը եռանկյուն է կառուցված $(0,0),(1,0),(0,1)$ գագաթներով .

Վարպետ-տարրին անցնելու համար օգտագործվում է բարոցենտրական կոորդինատները (L-կոորդինատներ), նշանակենք դրանք՝ $\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}$.

$\lambda _{i}(x,y)=\alpha _{i1}x+\alpha _{i2}y+\alpha _{i3}$

L-կոորդինատների գործակիցները հաշվելու համար օգտագործվում է $D$ մատրիցը՝

$D={\begin{pmatrix}x_{1}&x_{2}&x_{3}\\y_{1}&y_{2}&y_{3}\\1&1&1\end{pmatrix}}$

Գործակիցների $D$-ին հետ անցման մատրիցը $\mathrm {A} =D^{-1}$ է։

• Վարպետ-տարրին անցումը՝

$\xi (x,y)=\lambda _{1}(x,y)$

$\eta (x,y)=\lambda _{2}(x,y)$

• Վարպետ-տարրրից անցումը՝

${\begin{pmatrix}x\\y\\1\end{pmatrix}}=\mathrm {A} {\begin{pmatrix}\xi \\\eta \\1-\xi -\eta \end{pmatrix}}$

• Յակոբիան՝ $\mathrm {det} (J(\xi ,\eta ))=\mathrm {det} (D)$.

Համար	Կետերի քանակ	Ինտեգրման կարգը	$\xi$	$\eta$	$w$	Լրացուցիչ
1	1	1	${\frac {1}{3}}$	${\frac {1}{3}}$	${\frac {1}{2}}$	Միջինի մեթոդ
2	3	1	${\frac {1}{2}}$	$0$	${\frac {1}{6}}$	-
			$0$	${\frac {1}{2}}$	${\frac {1}{6}}$
			${\frac {1}{2}}$	${\frac {1}{2}}$	${\frac {1}{6}}$
2	3	2	${\frac {1}{6}}$	${\frac {1}{6}}$	${\frac {1}{6}}$	Գաուսի մեթոդ-3
			${\frac {2}{3}}$	${\frac {1}{6}}$	${\frac {1}{6}}$
			${\frac {2}{3}}$	${\frac {1}{6}}$	${\frac {1}{6}}$
4	4	3	${\frac {1}{3}}$	${\frac {1}{3}}$	$-{\frac {9}{32}}$	Գաուսի մեթոդ 4
			${\frac {3}{5}}$	${\frac {1}{5}}$	${\frac {25}{96}}$
			${\frac {1}{5}}$	${\frac {3}{5}}$	${\frac {25}{96}}$
			${\frac {1}{5}}$	${\frac {1}{5}}$	${\frac {25}{96}}$
5	7	3	${\frac {1}{3}}$	${\frac {1}{3}}$	${\frac {9}{40}}$	Նյուտոն-կոտեսի մեթոդ(անգլ.՝ Newton-Cotes)
			${\frac {1}{2}}$	$0$	${\frac {1}{15}}$
			${\frac {1}{2}}$	${\frac {1}{2}}$	${\frac {1}{15}}$
			$0$	${\frac {1}{2}}$	${\frac {1}{15}}$
			$1$	$0$	${\frac {1}{40}}$
			$0$	$1$	${\frac {1}{40}}$
			$0$	$0$	${\frac {1}{40}}$

Եռաչափ ինտեգրալ

Խորանարդային կառուցման տարր

Խորանարդային վարպետ-տարր 14 կետային բանաձևով

• Ինտեգրման տիրույթը $[x_{0},x_{1}]\times [y_{0},y_{1}]\times [z_{0},z_{1}]$զուգահեռանիստն է․
• Վարպետ-տարրը $[-1,1]\times [-1,1]\times [-1,1]$ խորանարդն է․
• Անցում վարպետ-տարրին՝

$\xi (x,y,z)=2{\frac {x-x_{0}}{x_{1}-x_{0}}}-1$

$\eta (x,y,z)=2{\frac {y-y_{0}}{y_{1}-y_{0}}}-1$

$\zeta (x,y,z)=2{\frac {z-z_{0}}{z_{1}-z_{0}}}-1$

• Անցում վարպետ-տարրից՝

$x(\xi ,\eta ,\zeta )={\frac {(x_{1}-x_{0})(\xi +1)}{2}}+x_{0}$

$y(\xi ,\eta ,\zeta )={\frac {(y_{1}-y_{0})(\eta +1)}{2}}+y_{0}$;

$z(\xi ,\eta ,\zeta )={\frac {(z_{1}-z_{0})(\zeta +1)}{2}}+z_{0}$;

• Յակոբիան՝ $\mathrm {det} (J(\xi ,\eta ,\zeta ))={\frac {(x_{1}-x_{0})(y_{1}-y_{0})(z_{1}-z_{0})}{8}}$.

Համար	Կետերի քանակ	Ինտեգրման կարգ	$\xi$	$\eta$	$\zeta$	$w$	Լրացուցիչ
1	1	1	$0$	$0$	$0$	$8$	Ուղղանկյունների մեթոդ (միջինի մեթոդ)
2	8	3	$-{\frac {1}{\sqrt {3}}}$	$-{\frac {1}{\sqrt {3}}}$	$-{\frac {1}{\sqrt {3}}}$	$1$	Գաուսի մեթոդ-2
			$-{\frac {1}{\sqrt {3}}}$	$-{\frac {1}{\sqrt {3}}}$	${\frac {1}{\sqrt {3}}}$	$1$
			$-{\frac {1}{\sqrt {3}}}$	${\frac {1}{\sqrt {3}}}$	$-{\frac {1}{\sqrt {3}}}$	$1$
			$-{\frac {1}{\sqrt {3}}}$	${\frac {1}{\sqrt {3}}}$	${\frac {1}{\sqrt {3}}}$	$1$
			${\frac {1}{\sqrt {3}}}$	$-{\frac {1}{\sqrt {3}}}$	$-{\frac {1}{\sqrt {3}}}$	$1$
			${\frac {1}{\sqrt {3}}}$	$-{\frac {1}{\sqrt {3}}}$	${\frac {1}{\sqrt {3}}}$	$1$
			${\frac {1}{\sqrt {3}}}$	${\frac {1}{\sqrt {3}}}$	$-{\frac {1}{\sqrt {3}}}$	$1$
			${\frac {1}{\sqrt {3}}}$	${\frac {1}{\sqrt {3}}}$	${\frac {1}{\sqrt {3}}}$	$1$
3	14	5	$-{\sqrt {\frac {19}{30}}}$	$0$	$0$	${\frac {320}{361}}$	Ապրոքսիմացիայի 5-րդ կարգի բանաձևերի դասում պարունակող հանգույցների քանակ։
			${\sqrt {\frac {19}{30}}}$	$0$	$0$	${\frac {320}{361}}$
			$0$	$-{\sqrt {\frac {19}{30}}}$	$0$	${\frac {320}{361}}$
			$0$	${\sqrt {\frac {19}{30}}}$	$0$	${\frac {320}{361}}$
			$0$	$0$	$-{\sqrt {\frac {19}{30}}}$	${\frac {320}{361}}$
			$0$	$0$	${\sqrt {\frac {19}{30}}}$	${\frac {320}{361}}$
			$-{\sqrt {\frac {19}{33}}}$	$-{\sqrt {\frac {19}{33}}}$	$-{\sqrt {\frac {19}{33}}}$	${\frac {121}{361}}$
			$-{\sqrt {\frac {19}{33}}}$	$-{\sqrt {\frac {19}{33}}}$	${\sqrt {\frac {19}{33}}}$	${\frac {121}{361}}$
			$-{\sqrt {\frac {19}{33}}}$	${\sqrt {\frac {19}{33}}}$	$-{\sqrt {\frac {19}{33}}}$	${\frac {121}{361}}$
			$-{\sqrt {\frac {19}{33}}}$	${\sqrt {\frac {19}{33}}}$	${\sqrt {\frac {19}{33}}}$	${\frac {121}{361}}$
			${\sqrt {\frac {19}{33}}}$	$-{\sqrt {\frac {19}{33}}}$	$-{\sqrt {\frac {19}{33}}}$	${\frac {121}{361}}$
			${\sqrt {\frac {19}{33}}}$	$-{\sqrt {\frac {19}{33}}}$	${\sqrt {\frac {19}{33}}}$	${\frac {121}{361}}$
			${\sqrt {\frac {19}{33}}}$	${\sqrt {\frac {19}{33}}}$	$-{\sqrt {\frac {19}{33}}}$	${\frac {121}{361}}$
			${\sqrt {\frac {19}{33}}}$	${\sqrt {\frac {19}{33}}}$	${\sqrt {\frac {19}{33}}}$	${\frac {121}{361}}$

Քանի որ բարձր կարգի ինտեգրալները մեծ քանակով կետեր են պարունակում ՝ դրանք կդիտարկենք առանձին։

• Կարգ 7, կետերի քանակը 34․

Կետի համար	$\xi$	$\eta$	$\zeta$	$w$	Լրացուցիչ
1	$a$	$0$	$0$	$w_{1}$	$a={\sqrt {\frac {6}{7}}}$, $b={\sqrt {\frac {960-33{\sqrt {238}}}{2726}}}$,$c={\sqrt {\frac {960+33{\sqrt {238}}}{2726}}}$, $w_{1}={\frac {1078}{3645}}$,$w_{2}={\frac {343}{3645}}$, $w_{3}={\frac {43}{135}}+{\frac {829{\sqrt {238}}}{136323}}$,$w_{4}={\frac {43}{135}}-{\frac {829{\sqrt {238}}}{136323}}$
2	$-a$	$0$	$0$	$w_{1}$
3	$0$	$a$	$0$	$w_{1}$
4	$0$	$-a$	$0$	$w_{1}$
5	$0$	$0$	$a$	$w_{1}$
6	$0$	$0$	$-a$	$w_{1}$
7	$a$	$a$	$0$	$w_{2}$
8	$a$	$-a$	$0$	$w_{2}$
9	$-a$	$a$	$0$	$w_{2}$
10	$-a$	$-a$	$0$	$w_{2}$
11	$a$	$0$	$a$	$w_{2}$
12	$a$	$0$	$-a$	$w_{2}$
13	$-a$	$0$	$a$	$w_{2}$
14	$-a$	$0$	$-a$	$w_{2}$
15	$0$	$a$	$a$	$w_{2}$
16	$0$	$a$	$-a$	$w_{2}$
17	$0$	$-a$	$a$	$w_{2}$
18	$0$	$-a$	$-a$	$w_{2}$
19	$b$	$b$	$b$	$w_{3}$
20	$b$	$b$	$-b$	$w_{3}$
21	$b$	$-b$	$b$	$w_{3}$
22	$b$	$-b$	$-b$	$w_{3}$
23	$-b$	$b$	$b$	$w_{3}$
24	$-b$	$b$	$-b$	$w_{3}$
25	$-b$	$-b$	$b$	$w_{3}$
26	$-b$	$-b$	$-b$	$w_{3}$
27	$c$	$c$	$c$	$w_{4}$
28	$c$	$c$	$-c$	$w_{4}$
29	$c$	$-c$	$c$	$w_{4}$
30	$c$	$-c$	$-c$	$w_{4}$
31	$-c$	$c$	$c$	$w_{4}$
32	$-c$	$c$	$-c$	$w_{4}$
33	$-c$	$-c$	$c$	$w_{4}$
34	$-c$	$-c$	$-c$	$w_{4}$

Քառանիստ վարպետ տարր

Քառանիստ վարպետ-տարր Գաուսի-11 կետերով

• Ինտեգրման տիրույթը՝ քառանիստ է $(x_{1},y_{1},z_{1}),(x_{2},y_{2},z_{2}),(x_{3},y_{3},y_{3}),(x_{4},y_{4},z_{4})$ գագաթներով։
• Վարպետ-տարրը՝ քառաննիստ է $(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)$ գագաթներով։

Եռանկայն նման այստեղ էլ վարպետ-տարրին անցնելու համար օգտվում են քառանիստի L-կոորդինատից, որոնց կնշանակենք $\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3},\lambda _{4}$:

$\lambda _{i}(x,y,z)=\alpha _{i1}x+\alpha _{i2}y+\alpha _{i3}z+\alpha _{i4}$

Գործակիցների մատրիցան որոշվում է որպես $\mathrm {A} =D^{-1}$, որտեղ

$D={\begin{pmatrix}x_{1}&x_{2}&x_{3}&x_{4}\\y_{1}&y_{2}&y_{3}&y_{4}\\z_{1}&z_{2}&z_{3}&z_{4}\\1&1&1&1\end{pmatrix}}$

• Անցում վարպետ-տարրի՝

$\xi (x,y,z)=\lambda _{1}(x,y,z)$

$\eta (x,y,z)=\lambda _{2}(x,y,z)$

$\zeta (x,y,z)=\lambda _{3}(x,y,z)$

• Վարպետ-տարրից անցում՝

${\begin{pmatrix}x\\y\\z\\1\end{pmatrix}}=D{\begin{pmatrix}\xi \\\eta \\\zeta \\1-\xi -\eta -\zeta \end{pmatrix}}$

• Յակոբիան՝ $\mathrm {det} (J(\xi ,\eta ,\zeta ))=\mathrm {det} (D)$.

Համար	Կետերի քանակ	Ինտեգրման կարգ	$\xi$	$\eta$	$\zeta$	$w$	Լրացուցիչ
1	1	1	${\frac {1}{4}}$	${\frac {1}{4}}$	${\frac {1}{4}}$	${\frac {1}{6}}$	Միջինի մեթոդ
2	4	3	${\frac {5+3{\sqrt {5}}}{20}}$	${\frac {5-{\sqrt {5}}}{20}}$	${\frac {5-{\sqrt {5}}}{20}}$	${\frac {1}{24}}$	Գաուսի մեթոդ-4
			${\frac {5-{\sqrt {5}}}{20}}$	${\frac {5+3{\sqrt {5}}}{20}}$	${\frac {5-{\sqrt {5}}}{20}}$	${\frac {1}{24}}$
			${\frac {5-{\sqrt {5}}}{20}}$	${\frac {5-{\sqrt {5}}}{20}}$	${\frac {5+3{\sqrt {5}}}{20}}$	${\frac {1}{24}}$
			${\frac {5-{\sqrt {5}}}{20}}$	${\frac {5-{\sqrt {5}}}{20}}$	${\frac {5-{\sqrt {5}}}{20}}$	${\frac {1}{24}}$
3	11	4	${\frac {1}{4}}$	${\frac {1}{4}}$	${\frac {1}{4}}$	$-{\frac {74}{5625}}$	Գաուսի մեթոդ-11
			${\frac {11}{14}}$	${\frac {5}{70}}$	${\frac {5}{70}}$	${\frac {343}{45000}}$
			${\frac {5}{70}}$	${\frac {11}{14}}$	${\frac {5}{70}}$	${\frac {343}{45000}}$
			${\frac {5}{70}}$	${\frac {5}{70}}$	${\frac {11}{14}}$	${\frac {343}{45000}}$
			${\frac {5}{70}}$	${\frac {5}{70}}$	${\frac {5}{70}}$	${\frac {343}{45000}}$
			${\frac {1+{\sqrt {5/14}}}{4}}$	${\frac {1-{\sqrt {5/14}}}{4}}$	${\frac {1-{\sqrt {5/14}}}{4}}$	${\frac {56}{2250}}$
			${\frac {1-{\sqrt {5/14}}}{4}}$	${\frac {1+{\sqrt {5/14}}}{4}}$	${\frac {1-{\sqrt {5/14}}}{4}}$	${\frac {56}{2250}}$
			${\frac {1-{\sqrt {5/14}}}{4}}$	${\frac {1-{\sqrt {5/14}}}{4}}$	${\frac {1+{\sqrt {5/14}}}{4}}$	${\frac {56}{2250}}$
			${\frac {1-{\sqrt {5/14}}}{4}}$	${\frac {1+{\sqrt {5/14}}}{4}}$	${\frac {1+{\sqrt {5/14}}}{4}}$	${\frac {56}{2250}}$
			${\frac {1+{\sqrt {5/14}}}{4}}$	${\frac {1-{\sqrt {5/14}}}{4}}$	${\frac {1+{\sqrt {5/14}}}{4}}$	${\frac {56}{2250}}$
			${\frac {1+{\sqrt {5/14}}}{4}}$	${\frac {1+{\sqrt {5/14}}}{4}}$	${\frac {1-{\sqrt {5/14}}}{4}}$	${\frac {56}{2250}}$

Գրականություն

• Мысовских И. П. Интерполяционные кубатурные формулы. — Москва: Наука, 1981. — С. 336.

Արտաքին հղումներ

• «Numerical Integration over the Triangular Domain» (անգլերեն) — Интегрирование по треугольному элементу. Արխիվացված է օրիգինալից 2014 թ․ հուլիսի 14-ին. Վերցված է 2014 թ․ հունիսի 12-ին.
• «Numerical Integration over the Tetrahedral Domain» (անգլերեն) — Интегрирование по тетраэдальному элементу. Արխիվացված է օրիգինալից 2014 թ․ հուլիսի 14-ին. Վերցված է 2014 թ․ հունիսի 12-ին.