Թվաբանության հիմնական թեորեմ

Թվաբանության հիմնական թեորեմը.

Ցանկացած բնական թիվ $n>1$ կարելի է ներկայացնել $n=p_{1}\cdot \dots \cdot p_{k}$ տեսքի, որտեղ $p_{1},\dots ,p_{k}$ պարզ թվեր են, ընդ որում` այդպիսի ներկայացումը միակն է մինչև հաջորդականության համաբազմապատկիչների հետևելու ճշգրտությամբ։

Միավորը նույնպես կարելի է հաշվել որպես զրոյական քանակի պարզ թվերի արտադրյալ՝ «դատարկ արտադրյալ»։

Որպես հետևանք՝ ցանկացած $n$ բնական թիվ միակ եղանակով ներկայացված է

$n=p_{1}^{d_{1}}\cdot p_{2}^{d_{2}}\cdot \dots \cdot p_{k}^{d_{k}}$ տեսքով, որտեղ $p_{1}<p_{2}<\dots <p_{k}$պարզ թվեր են և $d_{1},\dots ,d_{k}$՝ որոշ բնական թվեր։

Այդպիսի $n$ թվի ներկայացումը անվանում են նրա կանոնական վերլուծությունը պարզ համաբազմապատկիչների։

Պատմություն

Հին հունական մաթեմատիկայում չի հանդիպում թվաբանության հիմնական թեորեմի ժամանակակից բանաձևումը։ Բայց Էվկլիդեսի «Սկզբունքներում» կա առաջադրություն, որը նրան համարժեք է։ Մասնավորապես, թեորեմը հեշտությամբ հետևում է այսպես կոչված Էվկլիդեսի լեմմայից ( VII գրքի առաջադրություն 30)։ Չկա ճշգրիտ ձևակերպում Լեժանդրի «Թվերի տեսության ներմուծում » (ֆր.՝ Essai sur la Théorie des Nombres) գրքում՝ գրված 1798 թվականին։ Նրա ճիշտ ձևակերպումը և ապացուցումը բերված է Գաուսի «Թվաբանական հետազոտություններ» (լատին․՝ Disquisitiones Arithmeticae) գրքում՝ հրատարակված 1801 թվականին։

Հետևանքներ

• Թվաբանության հիմնական թեորեմը տալիս է ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարի և ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկի համար նրբագեղ արտահայտություն։

Ա. Ը. Բ.$(a,b)=p_{1}^{min(d_{1},d_{1}')}\cdot p_{2}^{min(d_{2},d_{2}')}\cdot p_{3}^{min(d_{3},d_{3}')}\cdot p_{4}^{min(d_{4},d_{4}')}\cdots =\prod p_{i}^{min(d_{i},d_{i}')},$

Ա. Ը. Բ.$(a,b)=p_{1}^{max(d_{1},d_{1}')}\cdot p_{2}^{max(d_{2},d_{2}')}\cdot p_{3}^{max(d_{3},d_{3}')}\cdot p_{4}^{max(d_{4},d_{4}')}\cdots =\prod p_{i}^{max(d_{i},d_{i}')},$

• Գիտենալով թվի վերլուծումը բազմապատկիչների՝ կարելի է անմիջապես ցույց տալ այդ թվի բոլոր բաժանարարները։

$N$ բնական թվի բաժանարար հանդիսանում է այնպիսի $k$ բնական թիվ, որի համար $N=k\cdot l$, որտեղ $l$ այլ բնական թիվ է։

Օրինակ՝ $N=1164=97\cdot 3\cdot 2\cdot 2=97^{1}\cdot 3^{1}\cdot 2^{2}$.

Պարզ թվերի վերլուծության տարբեր համակցություններն օգտագործելով՝ կարելի է կազմել տրված թվի բոլոր բաժանարարների բազմությունը։ Մեր օրինակի համար դա կլինի հետևալ բաժանարարները.

$1,2,3,97,2\cdot 2,2\cdot 3,2\cdot 97,3\cdot 97,2\cdot 2\cdot 3,2\cdot 2\cdot 97,2\cdot 3\cdot 97,2\cdot 2\cdot 3\cdot 97$

Դրա համար, որպեսզի գտնենք տրված թվի բոլոր բաժանարարների քանակը , բավարար է տեսնել հոդվածի սկզբում նշված կանոնական վերլուծությունը։ $d_{1},...,d_{k}$ բնական թվերը ոչ այլ ինչ են, եթե ոչ $p_{1},...,p_{k}$ տրված թվերի վերլուծությունում համապատասխան պարզ թվերը։ Այսպիսով՝ եթե ուզում ենք գտնել տրված թվի բոլոր բաժանարարների քանակը, բավարար է հաշվարկել $d_{1},...,d_{k}$ թվի բոլոր հնարավոր համակցությունների արժեքը։ Մեր օրինակում 2 թիվը հանդիպում է 2 անգամ։ Հետևաբար, $N$ թվի բաժանարար գտնելիս, $d_{3}$ կարող է ընդունել 0-ից մինչև 2 ամբողջ արժեքները, այսինքն՝ կա 3 արժեք։ Նշանակում է, որ ընդհանուր բաժանարարների քանակը հաշվարկելու համար պետք է բազմապատկել $d_{k}$ տարբեր բազմապիսի արտահայտությունների քանակը։ Մեր դեպում ՝ $m_{del}=2\cdot 2\cdot 3=12$

• Այսպիսով կարելի է ներկայացնել երկու թվերի արտադրյալի հաշվումը՝

$a\cdot b=p_{1}^{d_{1}+d_{1}'}\,p_{2}^{d_{2}+d_{2}'}\,p_{3}^{d_{3}+d_{3}'}\,p_{4}^{d_{4}+d_{4}'}\cdots =\prod p_{i}^{d_{i}+d_{i}'}.$

Օրինակ՝ $68\cdot 36=(2\cdot 2\cdot 17)\cdot (2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\cdot )=2^{4}\cdot 3^{2}\cdot 17$

• Երբեմն, գտնելով ընդհանուր բաժանարարը, կարելի է ակներևաբար պարզեցնել երկու թվերի գումարի (տարբերության) հաշվումը։

Օրինակ՝ (պարզեցնել արտահայտությունը)։ $8^{5}+8^{3}\cdot 61=8^{3}\cdot (8^{2}+61)=8^{3}\cdot 125=8^{3}\cdot 5^{3}=...$

Ապացույց (ինդուկցիայի մեթոդ)

Գոյություն։ Ապացուցենք $n$ թվի վերլուծման գոյությունը։ Ենթադրենք, որ այն արդեն ապացուցված է ցանկացած ուրիշ թվի համար, որը փոքր է $n$-ից։ Եթե $n$-ը պարզ է, ուրեմն գոյությունը ապացուցված է։ Եթե $n$-ը բաղադրյալ է, ապա այն կարելի է ներկայացնել $a$ և $b$ երկու թվերի արտադրյալի տեսքով, որոնցից յուրաքանչյուրը մեծ է 1-ից, բայց փոքր $n$-ից։. $a$ և $b$ թվերը կամ հանդիսանում են պարզ, կամ կարող են վելուծվել պարզ թվերի արտադրյալի (արդեն վերևում ապացուցված է)։ Տեղադրելով նրանց վերլուծությունը $n=a\cdot b$ - ի մեջ՝ կստանանք տրված $n$ թվի վերլուծությունը պարզ թվերի։ Գոյությունը ապացուցված է:

Միակություն։ Սկզբում ապացուցենք հետևյալ լեմման։ Եթե $m$ թվի վերլուծությունը պարզ թվերի միակն է, ապա յուրաքանչյուր $m$ պարզ բաժանարարը պետք է այդ վերլուծության մեջ մտնի։ Ենթադրենք $m$ թիվը բաժանվում է $p$-ի, և $p$-ն պարզ է։ Այդ դեպքում տրված թիվը կարելի ներկայացնել որպես $m=p\cdot m^{(1)}$, որտեղ $m^{(1)}$, բնական թիվ է։ Այդ ժամանակ $m$-ի վերլուծությունը կլինի $m^{(1)}$ թվի վերլուծությունը՝ ավելացրած $p$ բազմապատկիչը։ Մեր ենթադրությամբ գոյություն ունի $m$ թվի միակ վերլուծություն, հետևաբար $p$ թիվը պետք է հանդիպի նրանում։ Լեմման ապացուցված է։

Այլ ապացույց (Էվկլիդեսի ապացույց)

Կարելի է ապացուցել թվաբանության հիմնական թեորեմը Էվկլիդեսի ալգորիթմի օգնությամբ: Այստեղ Էվկլիդեսի ալգորիթմը կմասնակցի ոչ բացահայտ տեսքով, այլ կօգտագործվի նրա հետևանքը։

$n\cdot a$ և $n\cdot b$ ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը $n$ անգամ վերցրած a և b ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարն է։

Այդ հետևանքից կարող ենք ապացուցել Էվկլիդեսի թեորեմը։

Եթե p-ն պարզ թիվ է, և երկու թվերի արտադրյալը բաժանվում է p-ի, ապա երկու բազմապատկիչներից գոնե մեկը կբաժանվի p-ի։

Հիմա օգտվենք տրված թեորեմից, որպեսզի ապացուցենք թվաբանության հիմնական թեորեմը։

Գոյություն։ հանդիսանում է Էվկլիդեսի թեորեմի հետևանք։ Այդ թեորեմի ապացուցման համար դիտարկենք p պարզ թիվը և $n\cdot a$ արտադրյալը։ Ենթադրենք $n\cdot a$-ն բաժանվում է p-ի, բայց a-ն չի բաժանվում p-ի։ Քանի որ p-ն պարզ է, ապա նրա միակ բաժանարարներն են 1 և p թվերը։ Այդ դեպքում 1-ը p-ի և a-ի միակ ընդհանուր բաժանարարն է։ Հետևաբար Ա. Ը. Բ. $n\cdot p$ և $n\cdot a$ հավասար է n-ի։ Ակնհայտ է, որ $n\cdot p$ բաժանվում է p-ի։ Հետևաբար, քանի որ երկու թվերի ցանկացած ընդհանուր բաժանարար հանդիսանում է բաժանարար նաև նրանց Ա. Ը. Բ-ի համար, իսկ p-ն հանդիսանում է $n\cdot p$ և $n\cdot a$ թվերի ընդհանուր բաժանարար, այսինքն՝ n-ը բաժանվում է p-ի։

Միակություն։ ենթադրենք n թիվը ունի երկու պարզ թվերի վերլուծություն.

$n=p_{1}\cdot p_{2}\cdot p_{3}\cdot ...=p'_{1}\cdot p'_{2}\cdot p'_{3}\cdot ...$

Քանի որ $p'_{1}\cdot p'_{2}\cdot p'_{3}\cdot ...$ բաժանվում է $p_{1}$-ի, ապա կամ $p'_{1}$, կամ $p'_{2}\cdot p'_{3}\cdot ...$ բաժանվում է $p_{1}$-ի։ Եթե $p'_{1}$-ն բաժանվում է $p_{1}$-ի, ապա $p'_{1}=p_{1}$, քանի որ երկու այդ թվերը հանդիսանում են պարզ։ Եթե $p'_{2}\cdot p'_{3}\cdot ...$ բաժանվում է $p_{1}$-ի, ապա շարունակենք նախորդ դատողությունները։ Վերջ ի վերջո, հասնում ենք արդյունքի, որ $p'_{1},p'_{2},p'_{3},...$ թվերից ցանկացածը հավասար է $p_{1}$ թվին։ Հետևաբար հանգում ենք եզրակացության, որ երկու վերլուծություններն էլ համընկնում են։ Այսպիսով միակություն ապացուցված է։

ԹՀԹ օղակներում

Դիտարկենք թվաբանության հիմնական թեորեմն ավելի ընդհանուր դեպքում՝ սահմանված կարգով օղակներում և Էվկլիդեսյան օղակներում։

ԹՀԹ գաուսյան ամբողջ թվերի օղակում

Թվաբանության հիմնական թեորեման ունի իր տեղը գաուսյան ամբողջ թվերի օղակում։ Ապացուցման գաղափարը հանդիսանում է տրված օղակում թվերի մնացորդով բաժանման ալգորիթմի գտնելը։ Օղակը, որն ունի մնացորդով բաժանման ալգորիթմ, անվանում են էվկլիդեսյան։ Ցանկացած էվկլիդեսյան օղակի համար թվաբանության հիմնական թեորեմի ապացուցումը կարելի է կատարել այնպես, ինչպես բնական թվերի համար։

Ոչ միակ վերլուծությունը օղակում

Բայց տրված թեորեմի գործողությունը չի տարածվում ամբողջ օղակում ։

Դիտարկենք, օրինակ, $a=m+i\cdot n\cdot {\sqrt {5}}$ տեսքի կոմպլեքս թիվ, որտեղ $m$, $n$ ամբողջ թվեր են։ Այդպիսի թվերի գումարը և արտադրյալը կլինեն նույն տեսքի թվեր։ Այդ ժամանակ կստանանք սահմանված կարգով օղակ $N(a)=m^{2}+5\cdot n^{2}=a^{2}$:

Այդ օղակում 6 թվի համար գոյություն ունեն երկու տարբեր վերլուծություններ $6=2\cdot 3=(1-i\cdot {\sqrt {5}})\cdot (1+i\cdot {\sqrt {5}})$: Մնում է ապացուցել, որ $2,3,1\pm i\cdot {\sqrt {5}}$ թիվը հանդիսանում է պարզ։ Ապացուցենք, որ 2 թիվը պարզ է։

Ենթադրենք $2=(m_{1}+i\cdot n_{1}\cdot {\sqrt {5}})\cdot (m_{2}+i\cdot n_{2}\cdot {\sqrt {5}})$. այդ ժամանակ $4=(m_{1}^{2}+5\cdot n_{1}^{2})\cdot (m_{2}^{2}+5\cdot n_{2}^{2})$. հետևաբար, $m_{1}^{2}+5\cdot n_{1}^{2}=m_{2}^{2}+5\cdot n_{2}^{2}=2$.

Բայց մեր օղակում չկա սահմանված կարգով 2, հետևաբար այդպիսի վերլուծություն հնարավոր չէ, դրա համար 2-ը պարզ է։ Հանգունորեն դիտարկվում են $3,1\pm i\cdot {\sqrt {5}}$ թվերը։

Օղակը, որում թվաբանության հիմնական թեորեմը կատարվում է, կոչվում է ֆակտորիալ։

Տես նաև

• Հանրահաշվի հիմնական թեորեմ
• Անալիզի հիմնական թեորեմ
• Պարզ թիվ
• Էվկլիդեսի ալգորիթ
• Թվաբանության հիմնական թեորեմն ապացուցող տեսանյութ

Գրականություն

• Жиков В.В. Основная теорема арифметики // Соросовский Образовательный Журнал. — 2000. — Т. 6. — № 3. — С. 112–117.
• Г. Дэвенпорт. Высшая арифметика. — Наука, 1965. — С. 15-38. — 176 с.
• Л. А. Калужин. Основная теорема арифметики. — Популярные лекции по математике. — М.: Наука, 1969. — 32 с.
• И. М. Виноградов. Основы теории чисел. — Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1952. — 180 с. — 10 000 экз.
• Р. Курант, Г. Роббинс. Дополнение к главе I, § 4.2 // Что такое математика? — МЦНМО, 2000. — 568 с.