Ռյոլոյի եռանկյուն
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c2/Construction_of_Reuleaux_triangle.svg/220px-Construction_of_Reuleaux_triangle.svg.png)
Ռյոլոյի եռանկյուն[* 1], երեք այնպիսի հավասար շրջանների հատում, որոնց կենտրոնները հավասարակողմ եռանկյան գագաթներ են, իսկ շառավիղները հավասար են այդ կանոնավոր եռանկյան կողմին[1][2]։ Ոչ հարթ փակ կորը, որը սահմանափակում է այդ պատկերը, ևս կոչվում է Ռյոլոյի եռանկյուն։
Շրջանից հետո Ռյոլոյի եռանկյունն ամենապարզ անփոփոխ լայնության պատկերն է[1]։ Այսինքն, եթե Ռյոլոյի եռանկյանը տանենք երկու զուգահեռ հենակետային ուղիղներ[* 2], ապա անկախ ընտրված ուղղությունից նրանց միջև հեռավորությունն անփոփոխ կմնա[3]։ Այդ հեռավորությունը կոչվում է Ռյոլոյի եռանկյան լայնություն։
Այլ անփոփոխ լայնության պատկերների շարքում Ռյոլոյի եռանկյունն առանձնանում է մի շարք էքստրեմալ հատկություններով՝ նվազագույն մակերեսով[1], գագաթի հնարավոր նվազագույն անկյունով[4], կենտրոնի նկատմամբ նվազագույն համաչափությամբ[5]։ Եռանկյունը տեխնիկայում մեծ տարածում է ստացել։ Նրա հիմքով են պատրաստվել ճանկավոր ու գրեյֆերավոր մեխանիզմները, Վանկելի ռոտորա-մխոցային շարժիչները, անգամ շաղափիչները, որոնք հնարավորություն են տալիս քառակուսաձև անցքեր ծակել[6]։
Պատկերի անվանումն առաջացել է գերմանացի մեխանիկ Ֆրանց Ռյոլոյի ազգանունից։ Նա, հավանաբար, առաջինն էր, ով ուսումնասիրեց այս եռանկյան բնութագրիչ հատկությունները և դրանք օգտագործեց իր մեխանիզմներում[7]։
Պատմություն
[խմբագրել | խմբագրել կոդը]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/9b/Leonardo_da_Vinci%E2%80%99s_Mappamundi.jpg/220px-Leonardo_da_Vinci%E2%80%99s_Mappamundi.jpg)
Ռյոլոն այս պատկերի առաջին հայտնագործողը չէր, չնայած նա մանրամասնորեն ուսումնասիրել է այն։ Մասնավորապես, նա հետազոտել է այն հարցը, թե քանի կոնտակտ է (կինեմատիկ զույգերով) անհրաժեշտ հարթ պատկերի շարժումը կանխելու համար, և քառակուսուն ներգծված կորացած եռանկյան օրինակով ցույց է տվել, որ անգամ երեք կոնտակտը կարող է բավական չլինել պատկերի շարժումը կանխելու համար[8]։
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/51/Lunate_drawing_of_Leonardo_da_Vinci_%28manuscript_A%2C_folio_15v%2C_part%29.jpg/220px-Lunate_drawing_of_Leonardo_da_Vinci_%28manuscript_A%2C_folio_15v%2C_part%29.jpg)
Որոշ մաթեմատիկոսներ կարծում են, որ շրջանագծի հավասար աղեղներով կառուցված եռանկյունն առաջին անգամ կիրառել է Լեոնարդ Էյլերը 18-րդ դարում[9]։ Սակայն նման պատկեր հանդիպում է նաև առավել վաղ շրջանի՝ 15-րդ դարի ձեռագրերում. այդպիսի եռանկյուններ գծագրել է նաև Լեոնարդո դա Վինչին։ Ռյոլոյի եռանկյունը կա նրա A և B հին ձեռագրերում, որոնք պահպանվում են Ֆրանսիայի Ինստիտուտում[10], ինչպես նաև Մադրիդյան կոդեքսում[9]։
Մոտավորապես 1514 թվականին Լեոնարդո դա Վինչին ստեղծում է որպես այդպիսին առաջին աշխարհի քարտեզներից մեկը։ Երկրագնդի մակերևույթն այդ քարտեզում հասարակածով և երկու այլ միջօրեականներով (այդ միջօրեականների հարթությունների միջև անկյունը հավասար է 90°) нբաժանված է ութ սֆերիկ եռանկյունների, որոնք քարտեզի հարթությունում պատկերված էին Ռյոլոյի եռանկյունների ձևով, որոնք յուրաքանչյուր բևեռի մոտ չորսական հավաքված են[11]։
Ավելի վաղ՝ 13-րդ դարում, Բրյուգգեի Աստվածամոր տաճարի կառուցողները որոշ պատուհաններ կառուցել են հենց Ռյոլոյի եռանկյան ձևով[9]։
Հատկություններ
[խմբագրել | խմբագրել կոդը]Ռյոլոյի եռանկյունը իրենից ներկայացնում է հարթ ուռուցիկ երկրաչափական պատկեր[12]։
Հիմնական երկրաչափական բնութագրեր
[խմբագրել | խմբագրել կոդը]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b2/Reuleaux_triangle%2C_incircle_and_circumcircle.svg/250px-Reuleaux_triangle%2C_incircle_and_circumcircle.svg.png)
Եթե Ռյոլոյի եռանկյան լայնությունը նշանակենք , ապա նրա մակերեսը հավասար կլինի[13] պարագիծը՝ նեգծյալ շրջանագծի շառավիղը՝ իսկ արտագծյալ շրջանագծի շառավիղը՝ ։
Համաչափություն
[խմբագրել | խմբագրել կոդը]Ռյոլոյի եռանկյունն ունի առանցքային համաչափություն։ Այն ունի երկրորդ կարգի երեք համաչափության առանցքներ, որոնցից յուրաքանչյուրն անցնում է եռանկյան որևէ գագաթով և հանդիպակաց աղեղի միջնակետով։ Բացի այդ Ռյոլոյի եռանկյունն ունի երրորդ կարգի ևս մեկ համաչափության առանցք, որն ուղղահայաց է եռանկյան հարթությանը և անցնում է նրա կենտրոնով[* 3]։ Այսպիսով, Ռյոլոյի եռանկյան համաչափության խումբը բաղկացած է վեց արտացոլումներից (ներառյալ նույնանունները) և համընկնում է հավասարակողմ եռանկյան խմբի համաչափության հետ։
Կառուցումը կարկինով
[խմբագրել | խմբագրել կոդը]Ռյոլոյի եռանկյուն կարելի է կառուցել օգտվելով միայն կարկինից (կարելի է նույնիսկ քանոն չօգտագործել)։ Որպեսզի կառուցենք Ռյոլոյի եռանկյունը, պետք է հետևենք շրջանագծերը գծելու հետևյալ երեք կանոններին։ Առաջին շրջանագծի կենտրոնը ընտրում ենք կամայական ձևով, երկրորդ շրջանագծի կենտրոնը պետք է գտնվի առաջին շրջանագծի վրա, իսկ երրորդ շրջանագծի կենտրոնը պետք է լինի նախորդ երկու շրջանագծերի երկու հատման կետերից որևէ մեկը։
Հատկություններ, որոնք ընդհանուր են հավասար լայնություն ունեցող պատկերների համար
[խմբագրել | խմբագրել կոդը]Քանի որ Ռյոլոյի եռանկյան լայնությունը հաստատուն է, ապա այն օժտված է այդ դասին պատկանող բոլոր պատկերների հատկություններով։ Մասնավորապես՝
- լայնություն ունեցող Ռյոլոյի եռանկյան երկու կամայական կետերի միջև հեռավորությունը չի կարող գերազանցել -ն,
- այն շրջանագծի շառավիղը, որը Ռյոլոյի եռանկյան հետ ունի ամենաքիչը երեք ընդհանուր կետ, չի գերազանցում եռանկյան լայնությունը,
- ըստ Հանֆրիդ Լենցի թեորեմի Ռյոլոյի եռանկյունը չի կարելի բաժանել այնպիսի երկու հավասար պատկերների, որոնց տրամագիծը փոքր կլինի եռանկյան լայնությունից[14][15],
- Ռյոլոյի եռանկյանը կարելի է ներգծել քառակուսի, ինչպես նաև կանոնավոր վեցանկյուն,
- ըստ Բարբեի թեորեմի Ռյոլոյի եռանկյան պարագծի բանաձևը գործում է այլ նույն լայնությունն ունեցող պատկերների համար[16][17]։
Էքստրեմալ հատկություններ
[խմբագրել | խմբագրել կոդը]Նվազագույն մակերես
[խմբագրել | խմբագրել կոդը]հաստատուն լայնություն ունեցող պատկերներից նվազագույն մակերեսն ունի Ռյոլոյի եռնակյունը։ Այս պնդումը կրում է Բլաշկե-Լեբեգի թեորեմ անվանումը[18]։ Թեորեմն անվանվել է գերմանացի մաթեմատիկոս Վիլհելմ Յոհան Բլաշկեի (տպագրել է այս թեորեմը 1915 թվականին[19]) և ֆրանսիացի մաթեմատիկոս Հենրի Լեբեգի (սահմանել է այս թեորեմը 1914 թվականին[20]) պատվին։ Տարբեր ժամանակաշրջաններում այս թեորեմը փորձել են ապացուցել Մացուսաբուրո Ֆուձիվարան (1927 և 1931 թվականներ[21][22]), Անթոն Մեյերը (1935 թվական[23]), Հարոլդ Էգլստոնը (1952 թվական[24]), Աբրամ Բեզիմովիչը (1963 թվական[25]), Դոնալդ Չակերիանը (1966 թվական[26]), Էվանս Հարելը (2002 թվական[27]) և այլ մաթեմատիկոսներ։
Որպեսզի գտնենք Ռյոլոյի եռանկյան մակերեսը, անհրաժեշտ է գումարել ներքին հավասարակողմ եռանկյան մակերեսը՝ , 60° անկյան վրա հենված երեք մնացած նույնատիպ շրջանագծային սեգմենտների գումարային մակերեսի հետ՝ ։ Մակերեսի համար կստանանք հետևյալ արտահայտությունը՝ [28]։
Շրջանագիծն այն պատկերն է, որն օժտված է հակառակ էքստրեմալ հատկություններով։ լայնություն ունեցող շրջանագծի մակերեսը հավասար է , որը համարվում է մաքսիմալ մակերես այն պատկերների համար, որոնք ունեն հաստատուն լայնություն[29][* 4]։ Համապատասխան Ռյոլոյի եռանկյան մակերեսը փոքր է շրջանագծի մակերեսից ≈10, 27 %-ով։ Այս սահմաններում են ընկնում մնացած երկրաչափական պատկերների մակերեսները։
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/22/Rotation_of_Reuleaux_triangle.gif)
Գլորում քառակուսիով
[խմբագրել | խմբագրել կոդը]Կամայական հաստատուն լայնությամբ պատկեր կարող է ներգծվել այնպիսի քառակուսու, որի կողմը հավասար է պատկերի լայնությանը, ընդ որում քառակուսու գագաթների ուղղությունը կարելի է ընտրել կամայական ձևով[* 5]։ Ռյոլոյի եռանկյանը կարելի է արտագծել քառակուսի, որի մեջ այն կգլորվի՝ անընդհատ շոշափելով բոլոր չորս կողմերը[30]։
Գլորման ընթացքում եռանկյան յուրաքանչյուր գագաթ «անցնում է» քառակուսու պարագծին մոտ «ճանապարհ»։ Շեղումը հիմնականում գրանցվում է քառակուսու անկյուններում, որտեղ եռանկյան գագաթը գծում է էլիպսի աղեղ։ Այդ էլիպսի կենտրոնը գտնվում է քառակուսու հանդիպակաց անկյունում, իսկ նրա մեծ և փոքր առանցքները քառակուսու կողմերի նկատմամբ թեքված են 45° անկյան տակ և հավասար են՝ որտեղ -ն՝ եռանկյան լայնությունն է[31]։ Չորս էլիպսներից յուրաքանչյուրը շոշափում է քառակուսու երկու կից կողմերը քառակուսու անկյունից հեռավորության վրա[28]։
Ռյոլոյի եռանկյան կենտրոնը շարժվում է չորս միատեսակ էլիպսների աղեղներով առաջացած հետագծով։ Այդ էլիպսների կենտրոնները տեղակայված են քառակուսու գագաթներում, իսկ առանցքները թեքված են քառակուսու կողմերի նկատմամբ 45° անկյան տակ և հավասար են[31]` :
Սովորաբար իրականության մեջ կենտրոնի շարժման հետագիծը համարում են ոչ թե չորս միատեսակ էլիպսների աղեղներով առաջացած պատկերը, այլ նրա մակերեսին մոտ շրջանագիծը[32]։
Գլորումով պայմանավորված յուրաքանչյուր ազատ անկյան մասի մակերեսը հավասար[33] է ։ Քառակուսու մակերեսից հանելով այս մակերեսը, կարելի է ստանալ այն պատկերի մակերեսը, որն առաջանում է Ռյոլոյի եռանկյունը քառակուսու մեջ գլորվելուց հետո, այսպիսով[28][33][34]` :
Այս մակերեսը տարբերվում է քառակուսու մակերեսից ≈1, 2 %-ով, այդ իսկ պատճառով Ռյոլոյի եռանկյան մոդելով ստեղծում են շաղափիչներ, որոնցից հնարավոր է ստանալ համարյա քառակուսի անցքեր[31]։
Կիրառությունը
[խմբագրել | խմբագրել կոդը]Քառակուսաձև անցքերի բացումը
[խմբագրել | խմբագրել կոդը]«Մենք բոլորս լսել ենք մանեկադարձիչների մասին, որոնք նախատեսված են ձախ պարուրակով մանեկների համար, որոնք հանգույցի մասում ամրացված են ջրատար և այլ խողովակներին։ Մենք նմանատիպ իրերը ծիծաղելի էինք համարում և հրաժարվում էնք անգամ հավատալ, որ մի օր իրականում կհանդիպենք դրանց։ Եվ հանկարծ ի հայտ է գալիս գործիք, որը քառակուսաձև անցքեր է բացում։»
Ֆրեզերը, որոնցում կիրառված է կտրող սուր ծայրերով Ռյոլոյի եռանկյուն, հնարավորություն են տալիս ստանալ քառակուսաձև անցքեր։ Նմանատիպ անցքերը սովորական քառակուսուց տարբերվում են փոքր-ինչ կլորացած գագաթներով[36]։ Այսպիսի ֆրեզների մյուս յուրահատկությունն այն է, որ նրանց կենտրոնը պտտվելիս անշարժ չի մնում, ինչպես առօրյայում կիրառվող պարուրաձև շաղափների դեպքում։ Այս դեպքում կենտրոնը գծում է կոր, որը կազմված է չորս էլիպսային աղեղներից։ Այդ իսկ պատճառով պատրոնը, որին ամրացված է ֆրեզը չպետք է խոչընդոտի այդ շարժմանը[31]։
Առաջին անգամ նման կառուցվածք ստացավ ԱՄՆ-ում աշխատող անգլիացի ինժեներ Գարի Ուատսը։ Անցք բացելու համար նա օգտագործում էր քառակուսաձև կտրվածքով ուղղիչ շաբլոնը, որում շարժվում էր շաղափը, որում տեղադրված էր «լողացող պատրոն»[36]։ Պատրոնի պատենտներն[37] ու շաղափը[38] ստացվել էին Ուատսի կողմից, 1917 թվականին։ Նոր նմանատիպ շաղափիչների վաճառքն իրականացնում էր Watts Brothers Tool Works[en][39][40]։ Այս հայտնագործություն հիման վրա 1978 թվականին ԱՄՆ-ն ևս մի պատենտ թողարկեց[41]։
Վանկելի շարժիչ
[խմբագրել | խմբագրել կոդը]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/da/Wankel_Cycle_anim.gif/200px-Wankel_Cycle_anim.gif)
Կիրառության այլ օրինակ կարելի է գտնել Վանկելի շարժիչում. այստեղ ռոտորը Ռյոլոյի եռանկյան ձևով է[6]։ Այն պտտվում է էպիտրոհոիդային ձևի խցի ներսում[42]։ Ռոտորի գլանը կոպտորեն միացված է ատամնանիվի, որը կապված է այլ անշարժ ատամնանիվի։ Նման եռանիստ ռոտորը գլորվում է ատամնանիվի շուրջը անընդհատ հպվելով շարժիչի պատերին՝ առաջացնելով փոփոխական ծավալներով երեք խոռոչ, որոնցից յուրաքանչյուրը հերթով դառնում է այրման խցիկ[6]։ Այդպիսի կառուցվածքի շնորհիվ շարժիչը երեք լիարժեք աշխատանքային ցիկլ է իրականացնում մեկ պտույտի ընթացքում։
Վանկելի շարժիչը հնարավորություն է տալիս իրականացնել յուրաքանչյուր քառատակտ ջերմադինամիկական ցիկլ առտանց գազաբաշխման մեխանիզմի կիրառության։ Խառնուրդաձևավորումը, այրումը, յուղումը, սառեցումը և անկումը այստեղ կատարվում է նույն սկզբունքով, ինչպես մյուս ներքին այրման շարժիչներում[42]։
Մեկնաբանություններ
[խմբագրել | խմբագրել կոդը]- ↑ Հանդիպում են նաև Reuleaux ազգանվան տառադարձման այլ տարբերակներ։ Օրինակ, Իսահակ Մոիսեևիչ Յագլոմն ու Վլադիմիր Գրիգորևիչ Բոլտյանսկին իրենց «Ուռուցիկ պատկերներ» գրքում անվանում են «Ռելոյի եռանկյուն».
- ↑ Հենակետային ուղիղն անցնւմ է պատկերի կողմի կետերից մեկով, առանց պատկերը մասերի բաժանելու
- ↑ Ռելոյի եռանկյան կենտրոնը հավասարակողմ եռանկյան կիսորդների, բարձրությունների և միջնագծերի հատման կետն է։
- ↑ Սա երկու թեորեմների` Դիդոնի խնդրի և Բարբեի թեորեմի հետևանք է։
- ↑ Յուրաքանչյուր պատկեր, որին կարելի է արտագծել քառակուսի, համարվում է հաստատուն լայնությամբ պատկեր։
- ↑ Օրիգինալ տեքստը՝ «We have all heard about left-handed monkey wrenches, fur-lined bathtubs, cast-iron bananas. We have all classed these things with the ridiculous and refused to believe that anything like that could ever happen, and right then along comes a tool that drills square holes!»
Ծանոթագրություններ
[խմբագրել | խմբագրել կոդը]- ↑ 1,0 1,1 1,2 Соколов Д. Д. Постоянной ширины кривая // Математическая энциклопедия / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: Советская энциклопедия, 1984. — Т. 4. — С. 519. — 608 с. — 150 000 экз.
- ↑ Яглом, Болтянский. Выпуклые фигуры, 1951, էջ 91
- ↑ Яглом, Болтянский. Выпуклые фигуры, 1951, էջ 90
- ↑ Радемахер, Тёплиц, 1962, էջ 206—207
- ↑ Finch S. R. Reuleaux Triangle Constants // Mathematical Constants. — Cambridge: Cambridge University Press, 2003. — P. 513—515. — 624 p. — (Encyclopedia of Mathematics and its Applications, Vol. 94). — ISBN 0-5218-1805-2 (անգլ.)
- ↑ 6,0 6,1 6,2 Андреев Н. Н. «Круглый треугольник Рело». Математические этюды. Արխիվացված օրիգինալից 2012 թ․ մայիսի 23-ին. Վերցված է 2011 թ․ հոկտեմբերի 11-ին.
- ↑ Pickover C. A. Reuleaux Triangle // The Math Book: From Pythagoras to the 57th Dimension, 250 Milestones in the History of Mathematics. — New York; London: Sterling, 2009. — P. 266—267. — 528 p. — ISBN 1-4027-5796-4 (անգլ.)
- ↑ Moon. The Machines of Leonardo Da Vinci and Franz Reuleaux, 2007, էջ 240
- ↑ 9,0 9,1 9,2 Taimina D., Henderson D. W. «Reuleaux Triangle». Kinematic Models for Design Digital Library (անգլերեն). Cornell University. Արխիվացված օրիգինալից 2012 թ․ մայիսի 10-ին. Վերցված է 2011 թ․ հոկտեմբերի 11-ին.
{{cite web}}
: CS1 սպաս․ բազմաթիվ անուններ: authors list (link) - ↑ Moon. The Machines of Leonardo Da Vinci and Franz Reuleaux, 2007, էջ 241
- ↑ Snyder J. P. Emergence of Map Projections: Classical Through Renaissance // Flattening the Earth: Two Thousand Years of Map Projections. — Chicago; London: University Of Chicago Press, 1997. — P. 40. — 384 p. — ISBN 0-2267-6747-7 (անգլ.)
- ↑ Постоянной ширины кривая // Математический энциклопедический словарь / Гл. ред. Ю. В. Прохоров. — Советская энциклопедия, 1988. — С. 478. — 847 с. — 150 000 экз.
- ↑ «WolframAlpha: Reuleaux Triangle». WolframAlpha (անգլերեն). Wolfram Research. Վերցված է 2011 թ․ նոյեմբերի 18-ին.(չաշխատող հղում)
- ↑ Lenz H. Zur Zerlegung von Punktmengen in solche kleineren Durchmessers(գերմ.) // Archiv der Mathematik. — Basel: Birkhäuser Verlag, 1955. — Vol. 6. — № 5. — P. 413—416. — ISSN 0003-889X. —
- ↑ Райгородский А. М. Проблема Борсука. Универсальные покрышки // Математическое просвещение. — МЦНМО, 2008. — В. 12. — С. 216. — ISBN 978-5-94057-354-8.
- ↑ Barbier E. Note sur le problème de l’aiguille et le jeu du joint couvert(ֆր.) // Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. — Paris: Imprimerie de Mallet-Hachelier, 1860. — Vol. 5. — P. 273—286. — ISSN 0021-7824.(չաշխատող հղում)
- ↑ Bogomolny A. «The Theorem of Barbier». Cut the Knot (անգլերեն). Արխիվացված օրիգինալից 2012 թ․ մայիսի 23-ին. Վերցված է 2011 թ․ հոկտեմբերի 11-ին.
- ↑ Берже М. Геометрия = Géométrie / Пер. с франц. Ю. Н. Сударева, А. В. Пажитнова, С. В. Чмутова. — Мир, 1984. — Т. 1. — С. 529—531. — 560 с.
- ↑ Blaschke W. Konvexe Bereiche gegebener konstanter Breite und kleinsten Inhalts(գերմ.) // Mathematische Annalen. — Leipzig: Druck und Verlag von B. G. Teubner, 1915. — Vol. 76. — № 4. — P. 504—513. — ISSN 0025-5831. —
- ↑ Lebesgue H. Sur le problème des isopérimètres et sur les domaines de largeur constant(ֆր.) // Bulletin de la Société Mathématique de France, Comptes Rendus des Séances. — 1914. — Vol. 42. — P. 72—76.
- ↑ Fujiwara M. Analytic Proof of Blaschke’s Theorem on the Curve of Constant Breadth with Minimum Area(անգլ.) // Proceedings of the Imperial Academy. — Tokyo: Japan Academy, 1927. — Vol. 3. — № 6. — P. 307—309. — ISSN 0369-9846. —
- ↑ Fujiwara M. Analytic Proof of Blaschke’s Theorem on the Curve of Constant Breadth with Minimum Area, II(անգլ.) // Proceedings of the Imperial Academy. — Tokyo: Japan Academy, 1931. — Vol. 7. — № 8. — P. 300—302. — ISSN 0369-9846. —
- ↑ Mayer A. E. Der Inhalt der Gleichdicke: Abschätzungen für ebene Gleichdicke(գերմ.) // Mathematische Annalen. — Berlin: Verlag von Julius Springer, 1935. — Vol. 110. — № 1. — P. 97—127. — ISSN 0025-5831. —
- ↑ Eggleston H. G. A Proof of Blaschke’s Theorem on the Reuleaux Triangle(անգլ.) // Quarterly Journal of Mathematics. — London: Oxford University Press, 1952. — Vol. 3. — № 1. — P. 296—297. — ISSN 0033-5606. —
- ↑ Besicovitch A. S. Minimum Area of a Set of Constant Width(անգլ.) // Proceedings of Symposia in Pure Mathematics. — Providence: American Mathematical Society, 1963. — Vol. 7 (Convexity). — P. 13—14. — ISBN 0-8218-1407-9. — ISSN 0082-0717.
- ↑ Chakerian G. D. Sets of Constant Width(անգլ.) // Pacific Journal of Mathematics. — Berkeley: Pacific Journal of Mathematics Corporation, 1966. — Vol. 19. — № 1. — P. 13—21. — ISSN 0030-8730.
- ↑ Harrell E. M. A Direct Proof of a Theorem of Blaschke and Lebesgue(անգլ.) // Journal of Geometric Analysis. — St. Louis: Mathematica Josephina, 2002. — Vol. 12. — № 1. — P. 81—88. — ISSN 1050-6926. —
- ↑ 28,0 28,1 28,2 Weisstein E. W. «Reuleaux Triangle». Wolfram MathWorld (անգլերեն). Վերցված է 2011 թ․ նոյեմբերի 6-ին.
- ↑ Болтянский В. Г. О вращении отрезка // Квант. — Наука, 1973. — № 4. — С. 29. — ISSN 0130-2221.
- ↑ Андреев Н. Н. «Изобретая колесо». Математические этюды. Արխիվացված օրիգինալից 2012 թ․ մայիսի 23-ին. Վերցված է 2011 թ․ հոկտեմբերի 11-ին.
- ↑ 31,0 31,1 31,2 31,3 Андреев Н. Н. «Сверление квадратных отверстий». Математические этюды. Արխիվացված օրիգինալից 2012 թ․ մայիսի 23-ին. Վերցված է 2011 թ․ հոկտեմբերի 11-ին.
- ↑ Белильцев В. Плюс геометрия! // Техника и наука. — Профиздат, 1982. — № 7. — С. 14. — ISSN 0321-3269.
- ↑ 33,0 33,1 Klee V., Wagon S. Old and New Unsolved Problems in Plane Geometry and Number Theory. — Washington D.C.: Mathematical Association of America, 1996. — P. 22. — 356 p. — (Dolciani Mathematical Expositions, Vol. 11). — ISBN 0-8838-5315-9(անգլ.)
- ↑ Wilson R. G. «A066666: Decimal Expansion of Area Cut Out by a Rotating Reuleaux Triangle». OEIS (անգլերեն). Արխիվացված օրիգինալից 2012 թ․ մայիսի 23-ին. Վերցված է 2011 թ․ հոկտեմբերի 11-ին.
- ↑ Цитата по книге Гарднер М. Математические досуги / Пер. с англ. Ю. А. Данилова. Под ред. А. Я. Смородинского. — М.: Мир, 1972. — С. 292. — 496 с.
- ↑ 36,0 36,1 Егупова М. Можно ли просверлить квадратное отверстие?. — Наука и жизнь. — М.: АНО «Редакция журнала „Наука и жизнь“», 2010. — С. 84—85.
- ↑ Watts H. J. «U.S. patent 1, 241, 175 (Floating Tool-Chuck)» (անգլերեն). Վերցված է 2011 թ․ հոկտեմբերի 11-ին.
- ↑ Watts H. J. «U.S. patent 1, 241, 176 (Drill or Boring Member)» (անգլերեն). Վերցված է 2011 թ․ հոկտեմբերի 11-ին.
- ↑ Smith. Drilling Square Holes, 1993
- ↑ Darling D. J. Reuleaux Triangle // The Universal Book of Mathematics: From Abracadabra to Zeno’s Paradoxes. — Hoboken: Wiley, 2004. — P. 272. — 400 p. — ISBN 0-4712-7047-4 (անգլ.)
- ↑ Morrell R. J., Gunn J. A., Gore G. D. «U.S. patent 4, 074, 778 (Square Hole Drill)» (անգլերեն). Վերցված է 2011 թ․ հոկտեմբերի 11-ին.
{{cite web}}
: CS1 սպաս․ բազմաթիվ անուններ: authors list (link) - ↑ 42,0 42,1 Ванкеля двигатель // Политехнический словарь / Редкол.: А. Ю. Ишлинский (гл. ред.) и др.. — 3-е изд., перераб. и доп. — М.: Советская энциклопедия, 1989. — С. 72. — 656 с. — ISBN 5-8527-0003-7
Գրականություն
[խմբագրել | խմբագրել կոդը]Ռուսերեն լեզվով
[խմբագրել | խմբագրել կոդը]- Радемахер Г., Тёплиц О. Кривые постоянной ширины // Числа и фигуры. Опыты математического мышления / Пер. с нем. В. И. Контовта. — М.: Физматгиз, 1962. — С. 195—211. — 263 с. — («Библиотека математического кружка», выпуск 10). — 40 000 экз.
- Яглом И. М., Болтянский В. Г. Фигуры постоянной ширины // Выпуклые фигуры. — М.—Л.: ГТТИ, 1951. — С. 90—105. — 343 с. — («Библиотека математического кружка», выпуск 4). — 25 000 экз.
Անգլերեն լեզվով
[խմբագրել | խմբագրել կոդը]- Eggleston H. G. Sets of Constant Width // Convexity. — London: Cambridge University Press, 1958. — P. 122—131. — 136 p. — (Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics, Vol. 47). — ISBN 0-5210-7734-6
- Gardner M. Curves of Constant Width // The Unexpected Hanging and Other Mathematical Diversions. — Chicago; London: University of Chicago Press, 1991. — P. 212—221. — 264 p. — ISBN 978-0-2262-8256-5
- Gleißner W., Zeitler H. The Reuleaux Triangle and Its Center of Mass. — Results in Mathematics. — 2000. — Vol. 37. — P. 335—344.
- Moon F. C. Curves of Constant Breadth // The Machines of Leonardo Da Vinci and Franz Reuleaux: Kinematics of Machines from the Renaissance to the 20th Century. — Dordrecht: Springer, 2007. — P. 239—241. — 451 p. — (History of Mechanism and Machine Science, Vol. 2). — ISBN 978-1-4020-5598-0
- Peterson I. Rolling with Reuleaux // Mathematical Treks: From Surreal Numbers to Magic Circles. — Washington D.C.: Mathematical Association of America, 2002. — P. 141—144. — 180 p. — (Spectrum Series). — ISBN 0-8838-5537-2
- Reuleaux F. Pairs of Elements // The Kinematics of Machinery. Outlines of a Theory of Machines / Tr. and ed. by Alexander B. W. Kennedy. — London: Macmillan and Co, 1876. — P. 86—168. — 622 p.
- Smith S. Drilling Square Holes. — Mathematics Teacher. — Reston: National Council of Teachers of Mathematics, 1993. — Vol. 86. — P. 579—583.
Արտաքին հղումներ
[խմբագրել | խմբագրել կոդը]- «Մաթեմատիկական էտյուդներ» շարքի Ռյոլոյի եռանկյանը նվիրված հոլովակների սերիա.
- Bogomolny A. «Shapes of Constant Width». Cut the Knot (անգլերեն). Արխիվացված օրիգինալից 2012 թ․ մայիսի 10-ին. Վերցված է 2011 թ․ հոկտեմբերի 11-ին.
- Eppstein D. «Reuleaux Triangles». Geometry Junkyard (անգլերեն). Արխիվացված օրիգինալից 2012 թ․ մայիսի 10-ին. Վերցված է 2011 թ․ հոկտեմբերի 11-ին.
- Kunkel P. «Reuleaux Triangle». Whistler Alley Mathematics (անգլերեն). Արխիվացված օրիգինալից 2012 թ․ մայիսի 10-ին. Վերցված է 2011 թ․ հոկտեմբերի 11-ին.
- Peterson I. «Rolling with Reuleaux». Ivars Peterson’s MathLand (անգլերեն). Mathematical Association of America. Արխիվացված օրիգինալից 2012 թ․ մայիսի 10-ին. Վերցված է 2011 թ․ հոկտեմբերի 11-ին.
- Taimina D., Henderson D. W. «Reuleaux Triangle». Kinematic Models for Design Digital Library (անգլերեն). Cornell University. Արխիվացված օրիգինալից 2012 թ․ մայիսի 10-ին. Վերցված է 2011 թ․ հոկտեմբերի 11-ին.
{{cite web}}
: CS1 սպաս․ բազմաթիվ անուններ: authors list (link) - Weisstein E. W. [in անգլերեն]. «Reuleaux Triangle». Wolfram MathWorld (անգլերեն). Վերցված է 2011 թ․ նոյեմբերի 6-ին.