Ռյոլոյի եռանկյուն

Վիքիպեդիայից՝ ազատ հանրագիտարանից
Jump to navigation Jump to search
Ռյոլոյի եռանկյան կառուցումը

Ռյոլոյի եռանկյուն[* 1], երեք այնպիսի հավասար շրջանների հատում, որոնց կենտրոնները հավասարակողմ եռանկյան գագաթներ են, իսկ շառավիղները հավասար են այդ կանոնավոր եռանկյան կողմին[1][2]։ Ոչ հարթ փակ կորը, որը սահմանափակում է այդ պատկերը, ևս կոչվում է Ռյոլոյի եռանկյուն։

Շրջանից հետո Ռյոլոյի եռանկյունն ամենապարզ անփոփոխ լայնության պատկերն է[1]։ Այսինքն, եթե Ռյոլոյի եռանկյանը տանենք երկու զուգահեռ հենակետային ուղիղներ[* 2], ապա անկախ ընտրված ուղղությունից նրանց միջև հեռավորությունն անփոփոխ կմնա[3]։ Այդ հեռավորությունը կոչվում է Ռյոլոյի եռանկյան լայնություն։

Այլ անփոփոխ լայնության պատկերների շարքում Ռյոլոյի եռանկյունն առանձնանում է մի շարք էքստրեմալ հատկություններով՝ նվազագույն մակերեսով[1], գագաթի հնարավոր նվազագույն անկյունով[4], կենտրոնի նկատմամբ նվազագույն համաչափությամբ[5]։ Եռանկյունը տեխնիկայում մեծ տարածում է ստացել։ Նրա հիմքով են պատրաստվել ճանկավոր ու գրեյֆերավոր մեխանիզմները, Վանկելի ռոտորա-մխոցային շարժիչները, անգամ շաղափիչները, որոնք հնարավորություն են տալիս քառակուսաձև անցքեր ծակել[6]:

Պատկերի անվանումն առաջացել է գերմանացի մեխանիկ Ֆրանց Ռյոլոյի ազգանունից։ Նա, հավանաբար, առաջինն էր, ով ուսումնասիրեց այս եռանկյան բնութագրիչ հատկությունները և դրանք օգտագործեց իր մեխանիզմներում[7]։

Պատմություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Mappamundi. Լեոնարդո դա Վինչի, մոտավորապես 1514 թվական

Ռյոլոն այս պատկերի առաջին հայտնագործողը չէր, չնայած նա մանրամասնորեն ուսումնասիրել է այն։ Մասնավորապես, նա հետազոտել է այն հարցը, թե քանի կոնտակտ է (կինեմատիկ զույգերով) անհրաժեշտ հարթ պատկերի շարժումը կանխելու համար, և քառակուսուն ներգծված կորացած եռանկյան օրինակով ցույց է տվել, որ անգամ երեք կոնտակտը կարող է բավական չլինել պատկերի շարժումը կանխելու համար[8]։

Լեոնարդո դա Վինչի, A հին ձեռագիր, 15-րդ դարի թուղթ

Որոշ մաթեմատիկոսներ կարծում են, որ շրջանագծի հավասար աղեղներով կառուցված եռանկյունն առաջին անգամ կիրառել է Լեոնարդ Էյլերը 18-րդ դարում[9]։ Սակայն նման պատկեր հանդիպում է նաև առավել վաղ շրջանի՝ 15-րդ դարի ձեռագրերում. այդպիսի եռանկյուններ գծագրել է նաև Լեոնարդո դա Վինչին։ Ռյոլոյի եռանկյունը կա նրա A և B հին ձեռագրերում, որոնք պահպանվում են Ֆրանսիայի Ինստիտուտում[10], ինչպես նաև Մադրիդյան կոդեքսում[9]:

Մոտավորապես 1514 թվականին Լեոնարդո դա Վինչին ստեղծում է որպես այդպիսին առաջին աշխարհի քարտեզներից մեկը։ Երկրագնդի մակերևույթն այդ քարտեզում հասարակածով և երկու այլ միջօրեականներով (այդ միջօրեականների հարթությունների միջև անկյունը հավասար է 90°) нբաժանված է ութ սֆերիկ եռանկյունների, որոնք քարտեզի հարթությունում պատկերված էին Ռյոլոյի եռանկյունների ձևով, որոնք յուրաքանչյուր բևեռի մոտ չորսական հավաքված են[11]:

Ավելի վաղ՝ 13-րդ դարում, Բրյուգգեի Աստվածամոր տաճարի կառուցողները որոշ պատուհաններ կառուցել են հենց Ռյոլոյի եռանկյան ձևով[9]։

Հատկություններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Ռյոլոյի եռանկյունը իրենից ներկայացնում է հարթ ուռուցիկ երկրաչափական պատկեր[12]։

Հիմնական երկրաչափական բնութագրեր[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Reuleaux triangle, incircle and circumcircle.svg

Եթե Ռյոլոյի եռանկյան լայնությունը նշանակենք , ապա նրա մակերեսը հավասար կլինի[13] պարագիծը՝ նեգծյալ շրջանագծի շառավիղը՝ իսկ արտագծյալ շրջանագծի շառավիղը՝ ։

Համաչափություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Ռյոլոյի եռանկյունն ունի առանցքային համաչափություն։ Այն ունի երկրորդ կարգի երեք համաչափության առանցքներ, որոնցից յուրաքանչյուրն անցնում է եռանկյան որևէ գագաթով և հանդիպակաց աղեղի միջնակետով։ Բացի այդ Ռյոլոյի եռանկյունն ունի երրորդ կարգի ևս մեկ համաչափության առանցք, որն ուղղահայաց է եռանկյան հարթությանը և անցնում է նրա կենտրոնով[* 3]։ Այսպիսով, Ռյոլոյի եռանկյան համաչափության խումբը բաղկացած է վեց արտացոլումներից (ներառյալ նույնանունները) և համընկնում է հավասարակողմ եռանկյան խմբի համաչափության հետ։

Կառուցումը կարկինով[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Ռյոլոյի եռանկյուն կարելի է կառուցել օգտվելով միայն կարկինից (կարելի է նույնիսկ քանոն չօգտագործել)։ Որպեսզի կառուցենք Ռյոլոյի եռանկյունը, պետք է հետևենք շրջանագծերը գծելու հետևյալ երեք կանոններին։ Առաջին շրջանագծի կենտրոնը ընտրում ենք կամայական ձևով, երկրորդ շրջանագծի կենտրոնը պետք է գտնվի առաջին շրջանագծի վրա, իսկ երրորդ շրջանագծի կենտրոնը պետք է լինի նախորդ երկու շրջանագծերի երկու հատման կետերից որևէ մեկը։

Հատկություններ, որոնք ընդհանուր են հավասար լայնություն ունեցող պատկերների համար[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Քանի որ Ռյոլոյի եռանկյան լայնությունը հաստատուն է, ապա այն օժտված է այդ դասին պատկանող բոլոր պատկերների հատկություններով։ Մասնավորապես՝

  • լայնություն ունեցող Ռյոլոյի եռանկյան երկու կամայական կետերի միջև հեռավորությունը չի կարող գերազանցել -ն,
  • այն շրջանագծի շառավիղը, որը Ռյոլոյի եռանկյան հետ ունի ամենաքիչը երեք ընդհանուր կետ, չի գերազանցում եռանկյան լայնությունը,
  • ըստ Հանֆրիդ Լենցի թեորեմի Ռյոլոյի եռանկյունը չի կարելի բաժանել այնպիսի երկու հավասար պատկերների, որոնց տրամագիծը փոքր կլինի եռանկյան լայնությունից[14][15],
  • Ռյոլոյի եռանկյանը կարելի է ներգծել քառակուսի, ինչպես նաև կանոնավոր վեցանկյուն,
  • ըստ Բարբեի թեորեմի Ռյոլոյի եռանկյան պարագծի բանաձևը գործում է այլ նույն լայնությունն ունեցող պատկերների համար[16][17]։

Էքստրեմալ հատկություններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Նվազագույն մակերես[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

հաստատուն լայնություն ունեցող պատկերներից նվազագույն մակերեսն ունի Ռյոլոյի եռնակյունը։ Այս պնդումը կրում է Բլաշկե-Լեբեգի թեորեմ անվանումը[18]։ Թեորեմն անվանվել է գերմանացի մաթեմատիկոս Վիլհելմ Յոհան Բլաշկեի (տպագրել է այս թեորեմը 1915 թվականին[19]) և ֆրանսիացի մաթեմատիկոս Հենրի Լեբեգի (սահմանել է այս թեորեմը 1914 թվականին[20]) պատվին։ Տարբեր ժամանակաշրջաններում այս թեորեմը փորձել են ապացուցել Մացուսաբուրո Ֆուձիվարան (1927 և 1931 թվականներ[21][22]), Անթոն Մեյերը (1935 թվական[23]), Հարոլդ Էգլստոնը (1952 թվական[24]), Աբրամ Բեզիմովիչը (1963 թվական[25]), Դոնալդ Չակերիանը (1966 թվական[26]), Էվանս Հարելը (2002 թվական[27]) և այլ մաթեմատիկոսներ։

Որպեսզի գտնենք Ռյոլոյի եռանկյան մակերեսը, անհրաժեշտ է գումարել ներքին հավասարակողմ եռանկյան մակերեսը՝ , 60° անկյան վրա հենված երեք մնացած նույնատիպ շրջանագծային սեգմենտների գումարային մակերեսի հետ՝ ։ Մակերեսի համար կստանանք հետևյալ արտահայտությունը՝ [28]։

Շրջանագիծն այն պատկերն է, որն օժտված է հակառակ էքստրեմալ հատկություններով։ լայնություն ունեցող շրջանագծի մակերեսը հավասար է , որը համարվում է մաքսիմալ մակերես այն պատկերների համար, որոնք ունեն հաստատուն լայնություն[29][* 4]։ Համապատասխան Ռյոլոյի եռանկյան մակերեսը փոքր է շրջանագծի մակերեսից ≈10, 27 %-ով։ Այս սահմաններում են ընկնում մնացած երկրաչափական պատկերների մակերեսները։

Ռյոլոյի եռանկյան գլորումը քառակուսու մեջ

Գլորում քառակուսիով[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Կամայական հաստատուն լայնությամբ պատկեր կարող է ներգծվել այնպիսի քառակուսու, որի կողմը հավասար է պատկերի լայնությանը, ընդ որում քառակուսու գագաթների ուղղությունը կարելի է ընտրել կամայական ձևով[* 5]։ Ռյոլոյի եռանկյանը կարելի է արտագծել քառակուսի, որի մեջ այն կգլորվի՝ անընդհատ շոշափելով բոլոր չորս կողմերը[30]։

Գլորման ընթացքում եռանկյան յուրաքանչյուր գագաթ «անցնում է» քառակուսու պարագծին մոտ «ճանապարհ»։ Շեղումը հիմնականում գրանցվում է քառակուսու անկյուններում, որտեղ եռանկյան գագաթը գծում է էլիպսի աղեղ։ Այդ էլիպսի կենտրոնը գտնվում է քառակուսու հանդիպակաց անկյունում, իսկ նրա մեծ և փոքր առանցքները քառակուսու կողմերի նկատմամբ թեքված են 45° անկյան տակ և հավասար են՝ որտեղ -ն՝ եռանկյան լայնությունն է[31]։ Չորս էլիպսներից յուրաքանչյուրը շոշափում է քառակուսու երկու կից կողմերը քառակուսու անկյունից հեռավորության վրա[28]։

Reuleaux triangle rotation corners.svg Reuleaux shape corner.svg
Էլիպս (ընդգծված է կարմիր գույնով), որը Ռյոլոյի եռանկյան քառակուսիով գլորվելու ժամանակ գծում է պատկերի եզրերից մեկը (նրա սահմանը ցուցադրված է սև գույնով)
Պատկերի գլորումից առաջացած անկյունը, պատկերված են նաև եռանկյան և քառակուսու հատման կետերը

Ռյոլոյի եռանկյան կենտրոնը շարժվում է չորս միատեսակ էլիպսների աղեղներով առաջացած հետագծով։ Այդ էլիպսների կենտրոնները տեղակայված են քառակուսու գագաթներում, իսկ առանցքները թեքված են քառակուսու կողմերի նկատմամբ 45° անկյան տակ և հավասար են[31]` :

Սովորաբար իրականության մեջ կենտրոնի շարժման հետագիծը համարում են ոչ թե չորս միատեսակ էլիպսների աղեղներով առաջացած պատկերը, այլ նրա մակերեսին մոտ շրջանագիծը[32]:

Reuleaux triangle rotation center.svg Trajectory of center of rotating Reuleaux triangle.svg
Էլիպս (ընդգծված է կարմիր գույնով), որն ընդգրկում է Ռյոլոյի եռանկյան կենտրոնի անցած ճանապարհի մեկ չորրորդ մասը
Սա այն հետագիծն է, որով շարժվում է Ռյոլոյի եռանկյան կենտրոնը, կապույտով ընդգծված է իդեալականացված շրջանագիծը, իսկ սևով՝ էլիպսը

Գլորումով պայմանավորված յուրաքանչյուր ազատ անկյան մասի մակերեսը հավասար[33] է ։ Քառակուսու մակերեսից հանելով այս մակերեսը, կարելի է ստանալ այն պատկերի մակերեսը, որն առաջանում է Ռյոլոյի եռանկյունը քառակուսու մեջ գլորվելուց հետո, այսպիսով[28][33][34]` :

Այս մակերեսը տարբերվում է քառակուսու մակերեսից ≈1, 2 %-ով, այդ իսկ պատճառով Ռյոլոյի եռանկյան մոդելով ստեղծում են շաղափիչներ, որոնցից հնարավոր է ստանալ համարյա քառակուսի անցքեր[31]:

Կիրառությունը[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Քառակուսաձև անցքերի բացումը[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

«Մենք բոլորս լսել ենք մանեկադարձիչների մասին, որոնք նախատեսված են ձախ պարուրակով մանեկների համար, որոնք հանգույցի մասում ամրացված են ջրատար և այլ խողովակներին։ Մենք նմանատիպ իրերը ծիծաղելի էինք համարում և հրաժարվում էնք անգամ հավատալ, որ մի օր իրականում կհանդիպենք դրանց։ Եվ հանկարծ ի հայտ է գալիս գործիք, որը քառակուսաձև անցքեր է բացում։»

Watts Brothers Tool Works ընկերության գովազդային թերթիկ[35][* 6]

Ֆրեզերը, որոնցում կիրառված է կտրող սուր ծայրերով Ռյոլոյի եռանկյուն, հնարավորություն են տալիս ստանալ քառակուսաձև անցքեր։ Նմանատիպ անցքերը սովորական քառակուսուց տարբերվում են փոքր-ինչ կլորացած գագաթներով[36]: Այսպիսի ֆրեզների մյուս յուրահատկությունն այն է, որ նրանց կենտրոնը պտտվելիս անշարժ չի մնում, ինչպես առօրյայում կիրառվող պարուրաձև շաղափների դեպքում։ Այս դեպքում կենտրոնը գծում է կոր, որը կազմված է չորս էլիպսային աղեղներից։ Այդ իսկ պատճառով պատրոնը, որին ամրացված է ֆրեզը չպետք է խոչընդոտի այդ շարժմանը[31]:

Առաջին անգամ նման կառուցվածք ստացավ ԱՄՆ-ում աշխատող անգլիացի ինժեներ Գարի Ուատսը։ Անցք բացելու համար նա օգտագործում էր քառակուսաձև կտրվածքով ուղղիչ շաբլոնը, որում շարժվում էր շաղափը, որում տեղադրված էր «լողացող պատրոն»[36]։ Պատրոնի պատենտներն[37] ու շաղափը[38] ստացվել էին Ուատսի կողմից, 1917 թվականին։ Նոր նմանատիպ շաղափիչների վաճառքն իրականացնում էր Watts Brothers Tool Works[en][39][40]։ Այս հայտնագործություն հիման վրա 1978 թվականին ԱՄՆ-ն ևս մի պատենտ թողարկեց[41]։

Վանկելի շարժիչ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Վանկելի շարժիչի աշխատանքի սխեման

Կիրառության այլ օրինակ կարելի է գտնել Վանկելի շարժիչում. այստեղ ռոտորը Ռյոլոյի եռանկյան ձևով է[6]։ Այն պտտվում է էպիտրոհոիդային ձևի խցի ներսում[42]։ Ռոտորի գլանը կոպտորեն միացված է ատամնանիվի, որը կապված է այլ անշարժ ատամնանիվի։ Նման եռանիստ ռոտորը գլորվում է ատամնանիվի շուրջը անընդհատ հպվելով շարժիչի պատերին՝ առաջացնելով փոփոխական ծավալներով երեք խոռոչ, որոնցից յուրաքանչյուրը հերթով դառնում է այրման խցիկ[6]։ Այդպիսի կառուցվածքի շնորհիվ շարժիչը երեք լիարժեք աշխատանքային ցիկլ է իրականացնում մեկ պտույտի ընթացքում։

Վանկելի շարժիչը հնարավորություն է տալիս իրականացնել յուրաքանչյուր քառատակտ ջերմադինամիկական ցիկլ առտանց գազաբաշխման մեխանիզմի կիրառության։ Խառնուրդաձևավորումը, այրումը, յուղումը, սառեցումը և անկումը այստեղ կատարվում է նույն սկզբունքով, ինչպես մյուս ներքին այրման շարժիչներում[42]:

Մեկնաբանություններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

  1. Հանդիպում են նաև Reuleaux ազգանվան տառադարձման այլ տարբերակներ։ Օրինակ, Իսահակ Մոիսեևիչ Յագլոմն ու Վլադիմիր Գրիգորևիչ Բոլտյանսկին իրենց «Ուռուցիկ պատկերներ» գրքում անվանում են «Ռելոյի եռանկյուն».
  2. Հենակետային ուղիղն անցնւմ է պատկերի կողմի կետերից մեկով, առանց պատկերը մասերի բաժանելու
  3. Ռելոյի եռանկյան կենտրոնը հավասարակողմ եռանկյան կիսորդների, բարձրությունների և միջնագծերի հատման կետն է։
  4. Սա երկու թեորեմների` Դիդոնի խնդրի և Բարբեի թեորեմի հետևանք է։
  5. Յուրաքանչյուր պատկեր, որին կարելի է արտագծել քառակուսի, համարվում է հաստատուն լայնությամբ պատկեր:
  6. Օրիգինալ տեքստը՝ «We have all heard about left-handed monkey wrenches, fur-lined bathtubs, cast-iron bananas. We have all classed these things with the ridiculous and refused to believe that anything like that could ever happen, and right then along comes a tool that drills square holes!»

Ծանոթագրություններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

  1. 1,0 1,1 1,2 Соколов Д. Д. Постоянной ширины кривая // Математическая энциклопедия / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: Советская энциклопедия, 1984. — Т. 4. — С. 519. — 608 с. — 150 000 экз.
  2. Яглом, Болтянский. Выпуклые фигуры, 1951, էջ 91
  3. Яглом, Болтянский. Выпуклые фигуры, 1951, էջ 90
  4. Радемахер, Тёплиц, 1962, էջ 206—207
  5. Finch S. R. Reuleaux Triangle Constants // Mathematical Constants. — Cambridge: Cambridge University Press, 2003. — P. 513—515. — 624 p. — (Encyclopedia of Mathematics and its Applications, Vol. 94). — ISBN 0-5218-1805-2 (անգլ.)
  6. 6,0 6,1 6,2 Андреев Н. Н.։ «Круглый треугольник Рело»։ Математические этюды։ Արխիվացված է օրիգինալից 2012-05-23-ին։ Վերցված է 2011-10-11 
  7. Pickover C. A. Reuleaux Triangle // The Math Book: From Pythagoras to the 57th Dimension, 250 Milestones in the History of Mathematics. — New York; London: Sterling, 2009. — P. 266—267. — 528 p. — ISBN 1-4027-5796-4 (անգլ.)
  8. Moon. The Machines of Leonardo Da Vinci and Franz Reuleaux, 2007, էջ 240
  9. 9,0 9,1 9,2 Taimina D., Henderson D. W.։ «Reuleaux Triangle»։ Kinematic Models for Design Digital Library (անգլերեն)։ Cornell University։ Արխիվացված է օրիգինալից 2012-05-10-ին։ Վերցված է 2011-10-11 
  10. Moon. The Machines of Leonardo Da Vinci and Franz Reuleaux, 2007, էջ 241
  11. Snyder J. P. Emergence of Map Projections: Classical Through Renaissance // Flattening the Earth: Two Thousand Years of Map Projections. — Chicago; London: University Of Chicago Press, 1997. — P. 40. — 384 p. — ISBN 0-2267-6747-7 (անգլ.)
  12. Постоянной ширины кривая // Математический энциклопедический словарь / Гл. ред. Ю. В. Прохоров. — Советская энциклопедия, 1988. — С. 478. — 847 с. — 150 000 экз.
  13. «WolframAlpha: Reuleaux Triangle»։ WolframAlpha (անգլերեն)։ Wolfram Research։ Վերցված է 2011-11-18 
  14. Lenz H. Zur Zerlegung von Punktmengen in solche kleineren Durchmessers(գերմ.) // Archiv der Mathematik. — Basel: Birkhäuser Verlag, 1955. — Vol. 6. — № 5. — P. 413—416. — ISSN 0003-889X. — doi:10.1007/BF01900515
  15. Райгородский А. М. Проблема Борсука. Универсальные покрышки // Математическое просвещение. — МЦНМО, 2008. — В. 12. — С. 216. — ISBN 978-5-94057-354-8.
  16. Barbier E. Note sur le problème de l’aiguille et le jeu du joint couvert(ֆր.) // Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. — Paris: Imprimerie de Mallet-Hachelier, 1860. — Vol. 5. — P. 273—286. — ISSN 0021-7824.
  17. Bogomolny A.։ «The Theorem of Barbier»։ Cut the Knot (անգլերեն)։ Արխիվացված է օրիգինալից 2012-05-23-ին։ Վերցված է 2011-10-11 
  18. Берже М. Геометрия = Géométrie / Пер. с франц. Ю. Н. Сударева, А. В. Пажитнова, С. В. Чмутова. — Мир, 1984. — Т. 1. — С. 529—531. — 560 с.
  19. Blaschke W. Konvexe Bereiche gegebener konstanter Breite und kleinsten Inhalts(գերմ.) // Mathematische Annalen. — Leipzig: Druck und Verlag von B. G. Teubner, 1915. — Vol. 76. — № 4. — P. 504—513. — ISSN 0025-5831. — doi:10.1007/BF01458221
  20. Lebesgue H. Sur le problème des isopérimètres et sur les domaines de largeur constant(ֆր.) // Bulletin de la Société Mathématique de France, Comptes Rendus des Séances. — 1914. — Vol. 42. — P. 72—76.
  21. Fujiwara M. Analytic Proof of Blaschke’s Theorem on the Curve of Constant Breadth with Minimum Area(անգլ.) // Proceedings of the Imperial Academy. — Tokyo: Japan Academy, 1927. — Vol. 3. — № 6. — P. 307—309. — ISSN 0369-9846. — doi:10.2183/pjab1912.3.307
  22. Fujiwara M. Analytic Proof of Blaschke’s Theorem on the Curve of Constant Breadth with Minimum Area, II(անգլ.) // Proceedings of the Imperial Academy. — Tokyo: Japan Academy, 1931. — Vol. 7. — № 8. — P. 300—302. — ISSN 0369-9846. — doi:10.2183/pjab1912.7.300
  23. Mayer A. E. Der Inhalt der Gleichdicke: Abschätzungen für ebene Gleichdicke(գերմ.) // Mathematische Annalen. — Berlin: Verlag von Julius Springer, 1935. — Vol. 110. — № 1. — P. 97—127. — ISSN 0025-5831. — doi:10.1007/BF01448020
  24. Eggleston H. G. A Proof of Blaschke’s Theorem on the Reuleaux Triangle(անգլ.) // Quarterly Journal of Mathematics. — London: Oxford University Press, 1952. — Vol. 3. — № 1. — P. 296—297. — ISSN 0033-5606. — doi:10.1093/qmath/3.1.296
  25. Besicovitch A. S. Minimum Area of a Set of Constant Width(անգլ.) // Proceedings of Symposia in Pure Mathematics. — Providence: American Mathematical Society, 1963. — Vol. 7 (Convexity). — P. 13—14. — ISBN 0-8218-1407-9. — ISSN 0082-0717.
  26. Chakerian G. D. Sets of Constant Width(անգլ.) // Pacific Journal of Mathematics. — Berkeley: Pacific Journal of Mathematics Corporation, 1966. — Vol. 19. — № 1. — P. 13—21. — ISSN 0030-8730.
  27. Harrell E. M. A Direct Proof of a Theorem of Blaschke and Lebesgue(անգլ.) // Journal of Geometric Analysis. — St. Louis: Mathematica Josephina, 2002. — Vol. 12. — № 1. — P. 81—88. — ISSN 1050-6926. — doi:10.1007/BF02930861
  28. 28,0 28,1 28,2 Weisstein E. W.։ «Reuleaux Triangle»։ Wolfram MathWorld (անգլերեն)։ Վերցված է 2011-11-06 
  29. Болтянский В. Г. О вращении отрезка // Квант. — Наука, 1973. — № 4. — С. 29. — ISSN 0130-2221.
  30. Андреев Н. Н.։ «Изобретая колесо»։ Математические этюды։ Արխիվացված է օրիգինալից 2012-05-23-ին։ Վերցված է 2011-10-11 
  31. 31,0 31,1 31,2 31,3 Андреев Н. Н.։ «Сверление квадратных отверстий»։ Математические этюды։ Արխիվացված է օրիգինալից 2012-05-23-ին։ Վերցված է 2011-10-11 
  32. Белильцев В. Плюс геометрия! // Техника и наука. — Профиздат, 1982. — № 7. — С. 14. — ISSN 0321-3269.
  33. 33,0 33,1 Klee V., Wagon S. Old and New Unsolved Problems in Plane Geometry and Number Theory. — Washington D.C.: Mathematical Association of America, 1996. — P. 22. — 356 p. — (Dolciani Mathematical Expositions, Vol. 11). — ISBN 0-8838-5315-9(անգլ.)
  34. Wilson R. G.։ «A066666: Decimal Expansion of Area Cut Out by a Rotating Reuleaux Triangle»։ OEIS (անգլերեն)։ Արխիվացված է օրիգինալից 2012-05-23-ին։ Վերցված է 2011-10-11 
  35. Цитата по книге Гарднер М. Математические досуги / Пер. с англ. Ю. А. Данилова. Под ред. А. Я. Смородинского. — М.: Мир, 1972. — С. 292. — 496 с.
  36. 36,0 36,1 Егупова М. Можно ли просверлить квадратное отверстие?. — Наука и жизнь. — М.: АНО «Редакция журнала „Наука и жизнь“», 2010. — С. 84—85.
  37. Watts H. J.։ «U.S. patent 1, 241, 175 (Floating Tool-Chuck)» (անգլերեն)։ Վերցված է 2011-10-11 
  38. Watts H. J.։ «U.S. patent 1, 241, 176 (Drill or Boring Member)» (անգլերեն)։ Վերցված է 2011-10-11 
  39. Smith. Drilling Square Holes, 1993
  40. Darling D. J. Reuleaux Triangle // The Universal Book of Mathematics: From Abracadabra to Zeno’s Paradoxes. — Hoboken: Wiley, 2004. — P. 272. — 400 p. — ISBN 0-4712-7047-4 (անգլ.)
  41. Morrell R. J., Gunn J. A., Gore G. D.։ «U.S. patent 4, 074, 778 (Square Hole Drill)» (անգլերեն)։ Վերցված է 2011-10-11 
  42. 42,0 42,1 Ванкеля двигатель // Политехнический словарь / Редкол.: А. Ю. Ишлинский (гл. ред.) и др.. — 3-е изд., перераб. и доп. — М.: Советская энциклопедия, 1989. — С. 72. — 656 с. — ISBN 5-8527-0003-7

Գրականություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Ռուսերեն լեզվով[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Անգլերեն լեզվով[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Արտաքին հղումներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]