Մաթեմատիկական մոդելավորում

Մաթեմատիկական մոդելավորում, նշանային մոդելավորման մի տեսակ, գիտական հետազոտության մեթոդներից։ Մաթեմատիկական մոդելավորման էությունն այն է, որ հետազոտության օբյեկտի մասին հայտնի փաստերը արտապատկերում են ինչ-որ հարաբերությամբ օբյեկտին իզոմորֆ (կամ հոմոմորֆ) որևէ մաթեմատիկական ձևով (բանաձևեր, դիֆերենցիալ հավասարում, բազմություն, խումբ և այլն), իսկ օրինաչափությունների հետագա իմացությունը կատարվում է այդ ձևի (մոդելի) ձևափոխության ու վերլուծության միջոցով։

Իրական համակարգի մոդելն այնպիսի համակարգ է, որը կոչված է փոխարինելու իրական համակարգին այն իմաստով, որ մոդելի հետազոտմամբ ստացված արդյունքները հետագայում տարածվեն իրական համակարգի վրա։ Մոդելավորման տակ հասկանում են մոդելի կառուցման և նրա հետազոտման գործընթաց։ Մոդելավորման ժամանակ առկա են 3 հիմնական կողմեր.

1. Սուբյեկտ, որի դերում հանդես է գալիս մարդ հետազոտողը,
2. Օբյեկտ, որի դերում հանդես է գալիս իրական համակարգը,
3. Մոդել, որը հանդիսանում է միջանկյալ օղակ օբյեկտի և սուբյեկտի միջև։

Մոդելավորման հիմնական փուլերն են.

• Խնդրի դրվածք, հետազոտման նպատակների մշակում, մուտքային նախադրյալների մշակում։
• Անցում իրական համակարգից մոդելի, այսինքն` մոդելի կառուցում։
• Մոդելի հետազոտում, որի ընթացքում դրվում է տարբեր խնդիրներ։ Խնդիրների լուծման համար օգտագործում են մաթեմատիկական մեթոդներ և այդ խնդիրների լուծմամբ ստանում են որոշակի տեղեկատվություն։
• Մոդելի հետազոտմամբ ստացված տեղեկատվության տարածում իրական համակարգի վրա։

Մոդելավորումն ունի ցիկլիկ բնույթ այն իմաստով, որ մոդելի հետազոտման ընթացքում անընդհատ կատարելագործվում է մոդելը և նմանեցվում իրական համակարգին։

Մաթեմատիկական մոդելավորումը տարբեր բնագավառներում

Գիտության տարբեր բնագավառներում մաթեմատիկական մոդելավորման հնարավորությունները տարբեր են։ մեխանիկաում, օպտիկայում,էլեկտրադինամիկայում և այլն, որպես կանոն, կառուցվում են ուսումնասիրվող երևույթի ճշգրիտ մաթեմատիկական մոդելներ։ Իսկ քիմիայում, տնտեսագիտությունում, կենսաբանությունում հիմնական օրենքները մաթեմատիկական մոդելավորման չեն ենթարկվել, սակայն այն կարևոր դեր է խաղում մի շարք հարցեր ուսումնասիրելիս։ Սոցիոլոգիայում, հոգեբանությունում, մանկավարժությունում և հասարակական այլ գիտություններում մաթեմատիկական մոդելավորումը դեռևս գտնվում է ձևավորման փուլում։

Կիրառություն

Մաթեմատիկական (տրամաբանական) մոդելավորումը լայն կիրառություն ունի նաև կիբեռնետիկայում և հաշվողական տեխնիկայում։ Մաթեմատիկական մոդելավորումը պետք է տարբերել մաթեմատիկայում կիրառվող մոդելավորումից։ Այստեղ առանձնապես կարևոր են մեկնաբանող մոդելները, որոնց հատկությունները ուսումնասիրում է մոդելների տեսությունը։ Այդ տեսությամբ ուսումնասիրվում են նաև աքսիոմացված դասերի ընդհանուր հատկությունները, այն կիրառություն է գտել մաթեմատիկայի մյուս ճյուղերում նույնպես։ Հաճախ որպես մեկնաբանող մոդել հանդես է գալիս օբյեկտների համախումբը, որոնց հատկությունները և դրանց միջև հարաբերությունները բավարարում են աքսիոմների տվյալ համակարգին։ Բացառված չէ, որ |աքսիոմների համակարգի կամ տեսության մոդել հանդես գա մաթեմատիկական այլ տեսություն, որի նույնականությունը ապացուցված է գործնականում (օրինակ, Լոբաչևսկու երկրաչափություն, Բելտրամիի ու Ֆ․ Կլայնի մոդելները)։

Մաթեմատիկական տրամաբանության մեջ որևէ բովանդակալից տեսության մոդել համարվում է այն ձևական համակարգը (հաշիվը), որի մեկնաբանումը այդ տեսությունն է։ Համանման բնույթ ունի մոդելի օգտագործումը լեզվաբանության մեջ։ Լեզվաբանական մոդելները կարևոր դեր են խաղում ինչպես տեսական լեզվաբանական հետազոտություններում (լեզվաբանական հասկացությունների ու դրանց միջև կապերի ճշտում, կառուցվածքների բացահայտում, որոնք կան լեզվական երևույթների անսահման բազմազանության մեջ և այլն), այնպես էլ ինֆորմացիոն լեզուների կառուցման, մեքենայական թարգմանության մշակման և այլ խնդիրների լուծման գործում։

Օպտիմիզացիայի խնդիրներ

Օպտիմիզացիայի խնդիրներում առկա են որոշակի թվով փոփոխականներ (պարամետրեր)։ Այդ փոփոխականների քանակն անվանում են օպտիմիզացիայի խնդրի չափ։ Օպտիմիզացիայի խնդիրներում պահանջվում է գտնել պարամետրերի այնպիսի հավաքածու, որի դեպքում տրված ֆունկցիոնալը ընդունում է օպտիմալ արժեք կամ տրված մի քանի ֆունկցիոնալները ընդունում են օպտիմալ արժեքներ։

Օպտիմալ արժեք ասելով հասկանում ենք կամ մեծագույն արժեք կամ էլ փոքրագույն արժեք։ Այն ֆունկցիոնալը, որի համար պահանջվում է գտնել օպտիմալ արժեք, անվանում են նպատակային ֆունկցիա կամ օպտիմալության չափանիշ։

Տնտեսագիտամաթեմատիկական օպտիմիզացիայի խնդիրների համար պարամետրերի թույլատրելի արժեքների հավաքածուներին անվանում են պլաններ։ Այդ պլանները կարելի է ներկայացնել ȳ=(y₁,y₂,...,y_n) վեկտորի տեսքով։ Նպատակային ֆունկցիան կարելի է գրառել F(Ȳ) կամ F(y₁,y₂,...,y_n) տեսքով։ Նպատակային ֆունկցիայի փոքրագույն արժեքը գտնելու խնդրում ȳ*=(y₁*,y₂*,...,y_n*) պլանը կհամարվի օպտիմալ պլան, եթե կամայական Ȳ պլանի համար տեղի ունի F(Ȳ*)≤F(Ȳ): Նպատակային ֆունկցիայի մեծագույն արժեքը գտնելու խնդրում օպտիմալ կանվանենք այն (y₁*,y₂*,...,y_n*) պլանը, որ կամայական Ȳ պլանի համար տեղի ունի F(Ȳ*)≥F(Ȳ)։

Օպտիմիզացիայի տիպեր

Օպտիմիզացիայի խնդիրները լինում են 2 հիմնական տիպի.

1. անպայման օպտիմիզացիայի խնդիրներ
2. պայմանական օպտիմիզացիայի խնդիրներ։

Անպայման օպտիմիզացիայի խնդիրներում տրված է որոշակի տիրույթ, և պահանջվում է գտնել այդ տիրույթից այնպիսի պլան, որի դեպքում նպատակային ֆունկցիան ընդունում է օպտիմալ արժեք։

Պայմանական օպտիմիզացիայի խնդիրներում տրված է որոշակի տիրույթ, և պահանջվում է գտնել տիրույթից այնպիսի պլան, որը բավարարում է տրված սահմանափակումներին և որի վրա նպատակային ֆունկցիան ընդունում է օպտիմալ արժեք։ Սահմանափակումները կարող են դրված լինել հավասարումների, անհավասարությունների տեսքով, կամ էլ հավասարումների և անհավասարությունների խառը տեսքով։

Օրինակ, սահմանափակումները կարող են տրված լինել հետևյալ տեսքի հավասարումների համակարգի միջոցով.

$\left\{{\begin{array}{lcr}f_{1}(y_{1},y_{2},...,y_{n})=0\\f_{1}(y_{1},y_{2},...,y_{n})=0\\....................\\f_{1}(y_{1},y_{2},...,y_{n})=0\\\end{array}}\right.$

կամ հետևյալ անհավասարությունների համակարգի միջոցով.

$\left\{{\begin{array}{lcr}a_{1}<=g_{1}(y_{1},y_{2},...,y_{n})<=b_{1}\\a_{2}<=g_{1}(y_{1},y_{2},...,y_{n})<=b_{2}\\.....................\\a_{n}<=g_{1}(y_{1},y_{2},...,y_{n})<=b_{n}\\\end{array}}\right.$

Սահմանափակումները կարող են տրված լինել նաև հավասարումների և անհավասարությունների խառը տեսքի հետևյալ համակարգի տեսքով.

$\left\{{\begin{array}{lcr}f_{1}(y_{1},y_{2},...,y_{n})=0\\f_{1}(y_{1},y_{2},...,y_{n})=0\\....................\\f_{1}(y_{1},y_{2},...,y_{n})=0\\a_{k+1}<=g_{k+1}(y_{1},y_{2},...,y_{n})<=b_{k+1}\\.............................\\a_{m}<=g_{m}(y_{1},y_{2},...,y_{n})<=b_{m}\\\end{array}}\right.$

Մաթեմատիկական ծրագրավորման խնդիրների տիպեր

Մաթեմատիկական ծրագրավորման խնդիրները սահմանափակումներով օպտիմիզացիայի խնդիրներն են։

Մաթեմատիկական ծրագրավորման խնդիրները լինում են 2 հիմնական տիպի։

1. Գծային ծրագրավորման խնդիրներ
2. Ոչ գծային ծրագրավորման խնդիրներ

Գծային ծրագրավորման խնդիրներում նպատակային ֆունկցիան և բոլոր սահմանափակումները գծայնորեն են կախված անկախ փոփոխականներից։ Ոչ գծային ծրագրավորման խնդիրներում նպատակային ֆունկցիան կամ սահմանափակումների մեջ որևէ սահմանափակում ունի անկախ փոփոխականներից ոչ գծային կախվածություն։

Տես նաև

• Մաթեմատիկական մոդել

Այս հոդվածի կամ նրա բաժնի որոշակի հատվածի սկզբնական կամ ներկայիս տարբերակը վերցված է Քրիեյթիվ Քոմմոնս Նշում–Համանման տարածում 3.0 (Creative Commons BY-SA 3.0) ազատ թույլատրագրով թողարկված Հայկական սովետական հանրագիտարանից  (հ․ 7, էջ 663)։