Զոնոնիստ

Վիքիպեդիայից՝ ազատ հանրագիտարանից

Զոնոնիստ, ուռուցիկ բազմանիստ է կետային համաչափությամբ, որի յուրաքանչյուր նիստը կետային համաչափությամբ բազմանկյուն է։ Յուրաքանչյուր զոնոնիստ հնարավոր է համապատասխանորեն նկարագրել որպես եռաչափ տարածությունում գծերի բազմության Մինկովսկու գումար կամ հիպերխորանարդի պրոյեկցիան եռաչափ տարածությունում։ Սկբզնապես զոնոնիստը սահմանվել և ուսումնասիրել է ռուս բյուրեղագետ Ե. Ֆեոդորովը։ Ավելի ընդհանրացված՝ կամայական չափանի տարածության մեջ, հատվածների Մինկովսկու գումարը ձևավորում է բազմանիստ,որը կոչվում է զոնոտոպ[1]։

Զոնոնիստ, որը ծածկում է տարածություններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Զոնոնիստի ուսումնասիրման հիմնական մոտիվացիան այն է, որ կամայական ցանցի համար Վորոնեի դիագրամը ստեղծում է ուռուցիկ հավասարաչափ բջիջներ, որի բջիջները զոնոնիստ են։ Կամայական զոնոնիստ, որը ձևավորվել է այս ձևով, կարող է ծածկել եռաչափ տարածություն և կոչվում է հիմնական զուգահեռանիստ։ Յուրաքանչյուր հիմնական զուգահեռանիստ կոմբինատորապես հավասար է հետևյալ 5 տեսակներից մեկին՝ շեղանկյունանիստ (ներառյալ խորանարդ), վեցանկյուն պրիզմա, հատված ութանիստ, շեղանկյուն դոդեկաեդր և երկարացված դոդեկաեդր։

Զոնոնիստը Մինկովսկու գումարից[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Minkowski addition of four line-segments. The left-hand pane displays four sets, which are displayed in a two-by-two array. Each of the sets contains exactly two points, which are displayed in red. In each set, the two points are joined by a pink line-segment, which is the convex hull of the original set. Each set has exactly one point that is indicated with a plus-symbol. In the top row of the two-by-two array, the plus-symbol lies in the interior of the line segment; in the bottom row, the plus-symbol coincides with one of the red-points. This completes the description of the left-hand pane of the diagram. The right-hand pane displays the Minkowski sum of the sets, which is the union of the sums having exactly one point from each summand-set; for the displayed sets, the sixteen sums are distinct points, which are displayed in red: The right-hand red sum-points are the sums of the left-hand red summand-points. The convex hull of the sixteen red-points is shaded in pink. In the pink interior of the right-hand sumset lies exactly one plus-symbol, which is the (unique) sum of the plus-symbols from the right-hand side. The right-hand plus-symbol is indeed the sum of the four plus-symbols from the left-hand sets, precisely two points from the original non-convex summand-sets and two points from the convex hulls of the remaining summand-sets.
Զոնոտոպը հատվածների Մինկովսկու գումարն է: 16 մուգ կարմիր կետերով (ձախ կողմում) ձևավորվում է 4 ոչ ուռուցիկ բազմությունների (աջ կողմում) Մինկովսկու գումարով: Որից յուրաքանչյուրը կազմված է 2 զույգ կարմիր կետերից: Իրենց ուռուցիկ լրացումները պարունակում են + նշան: Աջ կողմի + նշանը այդ 4 + նշանի գումարի կետն է:

Ընդունենք {v0, v1, ...} եռաչափ տարածության վեկտորների հավաքածու։ Յուրաքանչյուր vi վեկտորի հետ, մենք կարող ենք ասոցացնել {xivi|0≤xi≤1} հատված։ Վեկտորների Մինկովսկու գումարը {Σxivi|0≤xi≤1} ձևավորում է զոնոնիստ, և բոլոր այն զոնոնիստերը, որոնք պարունակում են կորդինատային կենտրոնը ունեն այս տեսքը։ Այն վեկտորները,որի միջոցով ստեղծվում է զոնոնիստը կոչվում են զոնոնիստի ծնիչներ: Այս բնութագիրը թույլ է զոնոնիստի սահմանումը գեներացնել բարձր չափերի համար՝ ստանալով զոնոտոպեր։

Յուրաքանչյուր եզրագիծ զուգահեռ է առնվազն մեկ ծնիչի, իսկ երկարությունը հավասար է, այն ծնիչների երկարության գումարին, որոնք իրեն զուգահեռ են։ Այդ պատճառով, ընտրելով իրար ոչ զուգահեռ և հավասար երկարություն ունեցող ծնիչների բազմություն՝ մենք կձևավորենք կամայական կոմիբանտորիկական տեսակի զոնոնիստի հավասարակողմ տարբերակ։

Ընտրելով վեկտորների բազմությունը համաչափության բարձր մակարդակի՝ այս կերպ մենք կարող ենք ձևավորել մաքսիմալ շատ համաչափություն ունեցող զոնոնիստ։ Օրինակ՝ ծնիչներ, որոնք հավասարաչափ են տեղադրված սֆերայի հասարակածի շուրջ՝ իրենց հետ ունենալով զույգեր սֆերայի բևեռներում, ձևավորում են զոնոնիստ զույգանկյուն պրիզմայի տեսքով՝ խորանարդ, վեցանկյուն պրիզմա, ութնանկյուն պրիզմա և այլն։ Ծնիչները, որոնք զուգահեռ են ութանիսիտի կողմերին, ձևավորում են հատած ութանիստ, և ծնիչները, որոնք զուգահեռ են խորանարդի երկար անկյունագծերին, ձևավորում են շեղանկյուն դոդեկաեդր։

Կամայական երկու զոնոնիստի մինկովսկու գումար այլ զոնոնիստ է՝ ձևավորված երկու զոնոնիստերի ծնիչներից։

Զոնոնիստը կարգավորություններից[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Կամայական ուռուցիկ բազմանիստի Գաոսյան քարտեզը ցույց է տալիս յուրաքանչյուր երեսի բազմանկյունը միավոր սֆերայի կետի վրա, և ներկայացնում է յուրաքանչյուր բազմանիստի եզրը առանձնացնող երեսների զույգը Մեծ շրջանի աղեղից կապող համապատասխան երկու կետերի։

Զոնոնիստի տեսակներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

զոնոնիստ նկար ծնիչների

քանակ

կանոնավոր

կողմեր

նույնանիստ

կողմեր

նման

եզրեր

Ուղղահայաց

անցումային

Զուգահեռանիստ
(տարածք-լցնող) 		պարզ
Խորանարդ
4.4.4 		Cube 3 Այո Այո Այո Այո Yes Այո
Վեցանիստ պրիզմա
4.4.6 		Hexagonal prism 4 Այո Ոչ Ոչ Այո Այո Այո
2n-պրիզմա (n > 3)
4.4.2n 		2n prism n + 1 Այո Ոչ Ոչ Այո Ոչ Այո
Հատած ութանիստ
4.6.6 		Truncated octahedron 6 Այո Ոչ Ոչ Այո Այո Այո
Հատած կուբոկտաեդր
4.6.8 		Truncated cuboctahedron 9 Այո Ոչ Ոչ Այո Ոչ Այո
Հատած իկոսիդոդեկանիստ
4.6.10 		Truncated icosidodecahedron 15 Այո Ոչ Ոչ Այո Ոչ Այո
Զուգահեռանիստ Parallelopiped 3 Ոչ Այո Ոչ Ոչ Այո Այո
Շեղանկյուն դոդեկաեդր
V3.4.3.4 		Kepler’s rhombic dodecahedron 4 Ոչ Այո Այո Ոչ Այո Ոչ
Բիլինսկի դոդեկաեդր Bilinski’s rhombic dodecahedron 4 Ոչ Ոչ Ոչ Ոչ Այո Ոչ
Շեղանկյուն իկոսաեդր Rhombic icosahedron 5 Ոչ Ոչ Ոչ Ոչ Ոչ Ոչ
Շեղանկյուն եռեսունանիստ
V3.5.3.5 		Rhombic triacontehedron 6 Ոչ Այո Այո Ոչ Ոչ Ոչ
Շեղանկյուն-հեքսագոնալ դոդեկաեդր
 rhombo-hexagonal dodecahedron 5 Ոչ Ոչ Ոչ Ոչ Այո Ոչ
Հատած շեղանկյուն դոդեկաեդռ Truncated Rhombic dodecahedron 7 Ոչ Ոչ Ոչ Ոչ Ոչ Այո

Ծանոթագրություններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

  1. ↑ «Zonohedra».
Ստացված է «https://hy.wikipedia.org/w/index.php?title=Զոնոնիստ&oldid=7774688» էջից