Զոնոնիստ

Վիքիպեդիայից՝ ազատ հանրագիտարանից
Jump to navigation Jump to search

Զոնոնիստ, ուռուցիկ բազմանիստ է կետային համաչափությամբ, որի յուրաքանչյուր նիստը կետային համաչափությամբ բազմանկյուն է: Յուրաքանչյուր զոնոնիստ հնարավոր է համապատասխանորեն նկարագրել որպես եռաչափ տարածությունում գծերի բազմության Մինկովսկու գումար կամ հիպերխորանարդի պրոյեկցիան եռաչափ տարածությունում: Սկբզնապես զոնոնիստը սահմանվել և ուսումնասիրել է ռուս բյուրեղագետ Ե. Ֆեոդորովը: Ավելի ընդհանրացված՝ կամայական չափանի տարածության մեջ, հատվածների Մինկովսկու գումարը ձևավորում է բազմանիստ,որը կոչվում է զոնոտոպ[1]:

Զոնոնիստ, որը ծածկում է տարածություններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Զոնոնիստի ուսումնասիրման հիմնական մոտիվացիան այն է, որ կամայական ցանցի համար Վորոնեի դիագրամը ստեղծում է ուռուցիկ հավասարաչափ բջիջներ, որի բջիջները զոնոնիստ են: Կամայական զոնոնիստ, որը ձևավորվել է այս ձևով, կարող է ծածկել եռաչափ տարածություն և կոչվում է հիմնական զուգահեռանիստ: Յուրաքանչյուր հիմնական զուգահեռանիստ կոմբինատորապես հավասար է հետևյալ 5 տեսակներից մեկին՝ շեղանկյունանիստ (ներառյալ խորանարդ), վեցանկյուն պրիզմա, հատված ութանիստ, շեղանկյուն դոդեկաեդր և երկարացված դոդեկաեդր:

Զոնոնիստը Մինկովսկու գումարից[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Minkowski addition of four line-segments. The left-hand pane displays four sets, which are displayed in a two-by-two array. Each of the sets contains exactly two points, which are displayed in red. In each set, the two points are joined by a pink line-segment, which is the convex hull of the original set. Each set has exactly one point that is indicated with a plus-symbol. In the top row of the two-by-two array, the plus-symbol lies in the interior of the line segment; in the bottom row, the plus-symbol coincides with one of the red-points. This completes the description of the left-hand pane of the diagram. The right-hand pane displays the Minkowski sum of the sets, which is the union of the sums having exactly one point from each summand-set; for the displayed sets, the sixteen sums are distinct points, which are displayed in red: The right-hand red sum-points are the sums of the left-hand red summand-points. The convex hull of the sixteen red-points is shaded in pink. In the pink interior of the right-hand sumset lies exactly one plus-symbol, which is the (unique) sum of the plus-symbols from the right-hand side. The right-hand plus-symbol is indeed the sum of the four plus-symbols from the left-hand sets, precisely two points from the original non-convex summand-sets and two points from the convex hulls of the remaining summand-sets.
Զոնոտոպը հատվածների Մինկովսկու գումարն է: 16 մուգ կարմիր կետերով (ձախ կողմում) ձևավորվում է 4 ոչ ուռուցիկ բազմությունների (աջ կողմում) Մինկովսկու գումարով: Որից յուրաքանչյուրը կազմված է 2 զույգ կարմիր կետերից: Իրենց ուռուցիկ լրացումները պարունակում են + նշան: Աջ կողմի + նշանը այդ 4 + նշանի գումարի կետն է:

Ընդունենք {v0, v1, ...} եռաչափ տարածության վեկտորների հավաքածու: Յուրաքանչյուր vi վեկտորի հետ, մենք կարող ենք ասոցացնել {xivi|0≤xi≤1} հատված: Վեկտորների Մինկովսկու գումարը {Σxivi|0≤xi≤1} ձևավորում է զոնոնիստ, և բոլոր այն զոնոնիստերը, որոնք պարունակում են կորդինատային կենտրոնը ունեն այս տեսքը: Այն վեկտորները,որի միջոցով ստեղծվում է զոնոնիստը կոչվում են զոնոնիստի ծնիչներ: Այս բնութագիրը թույլ է զոնոնիստի սահմանումը գեներացնել բարձր չափերի համար՝ ստանալով զոնոտոպեր:

Յուրաքանչյուր եզրագիծ զուգահեռ է առնվազն մեկ ծնիչի, իսկ երկարությունը հավասար է, այն ծնիչների երկարության գումարին, որոնք իրեն զուգահեռ են: Այդ պատճառով, ընտրելով իրար ոչ զուգահեռ և հավասար երկարություն ունեցող ծնիչների բազմություն՝ մենք կձևավորենք կամայական կոմիբանտորիկական տեսակի զոնոնիստի հավասարակողմ տարբերակ:

Ընտրելով վեկտորների բազմությունը համաչափության բարձր մակարդակի՝ այս կերպ մենք կարող ենք ձևավորել մաքսիմալ շատ համաչափություն ունեցող զոնոնիստ: Օրինակ՝ ծնիչներ, որոնք հավասարաչափ են տեղադրված սֆերայի հասարակածի շուրջ՝ իրենց հետ ունենալով զույգեր սֆերայի բևեռներում, ձևավորում են զոնոնիստ զույգանկյուն պրիզմայի տեսքով՝ խորանարդ, վեցանկյուն պրիզմա, ութնանկյուն պրիզմա և այլն: Ծնիչները, որոնք զուգահեռ են ութանիսիտի կողմերին, ձևավորում են հատած ութանիստ, և ծնիչները, որոնք զուգահեռ են խորանարդի երկար անկյունագծերին, ձևավորում են շեղանկյուն դոդեկաեդր:

Կամայական երկու զոնոնիստի մինկովսկու գումար այլ զոնոնիստ է՝ ձևավորված երկու զոնոնիստերի ծնիչներից:


Զոնոնիստը կարգավորություններից[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Կամայական ուռուցիկ բազմանիստի Գաոսյան քարտեզը ցույց է տալիս յուրաքանչյուր երեսի բազմանկյունը միավոր սֆերայի կետի վրա, և ներկայացնում է յուրաքանչյուր բազմանիստի եզրը առանձնացնող երեսների զույգը Մեծ շրջանի աղեղից կապող համապատասխան երկու կետերի:

Զոնոնիստի տեսակներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

զոնոնիստ նկար ծնիչների

քանակ

կանոնավոր

կողմեր

նույնանիստ

կողմեր

նման

եզրեր

Ուղղահայաց

անցումային

Զուգահեռանիստ
(տարածք-լցնող)
պարզ
Խորանարդ
4.4.4
Cube 3 Այո Այո Այո Այո Yes Այո
Վեցանիստ պրիզմա
4.4.6
Hexagonal prism 4 Այո Ոչ Ոչ Այո Այո Այո
2n-պրիզմա (n > 3)
4.4.2n
2n prism n + 1 Այո Ոչ Ոչ Այո Ոչ Այո
Հատած ութանիստ
4.6.6
Truncated octahedron 6 Այո Ոչ Ոչ Այո Այո Այո
Հատած կուբոկտաեդր
4.6.8
Truncated cuboctahedron 9 Այո Ոչ Ոչ Այո Ոչ Այո
Հատած իկոսիդոդեկանիստ
4.6.10
Truncated icosidodecahedron 15 Այո Ոչ Ոչ Այո Ոչ Այո
Զուգահեռանիստ Parallelopiped 3 Ոչ Այո Ոչ Ոչ Այո Այո
Շեղանկյուն դոդեկաեդր
V3.4.3.4
Kepler’s rhombic dodecahedron 4 Ոչ Այո Այո Ոչ Այո Ոչ
Բիլինսկի դոդեկաեդր Bilinski’s rhombic dodecahedron 4 Ոչ Ոչ Ոչ Ոչ Այո Ոչ
Շեղանկյուն իկոսաեդր Rhombic icosahedron 5 Ոչ Ոչ Ոչ Ոչ Ոչ Ոչ
Շեղանկյուն եռեսունանիստ
V3.5.3.5
Rhombic triacontehedron 6 Ոչ Այո Այո Ոչ Ոչ Ոչ
Շեղանկյուն-հեքսագոնալ դոդեկաեդր
rhombo-hexagonal dodecahedron 5 Ոչ Ոչ Ոչ Ոչ Այո Ոչ
Հատած շեղանկյուն դոդեկաեդռ Truncated Rhombic dodecahedron 7 Ոչ Ոչ Ոչ Ոչ Ոչ Այո


Ծանոթագրություններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]