Մինկովսկու գումար

Վիքիպեդիայից՝ ազատ հանրագիտարանից
Jump to navigation Jump to search
Կարմիր պատկերը կապույտ և կանաչ պատկերների Մինկովսկու գումարն է։

Երկրաչափությունում էվկլիդյան տարածության մեջ գտնվող դիրքային վեկտորների 2 բազմության Մինկովսկու գումարը ձևավորվում է առաջին բազմության յուրաքանչյուր վեկտորի և երկրորդ բազմության յուրաքանչյուր վեկտորի գումարներով․

Նման կերպ ստացվում է նաև Մինկովսկու տարբերության սահմանումը․

Կարևոր է նկատել, որ ընդհանուր առմամաբ ։ Մինկովսկու գումարի և տարբերության կապի ճշգրիտ բանաձևը ներկայացվում է հետևյալ տեսքով

Հասկացությունը կոչվել է գերմանացի մաթեմատիկոս Հերման Մինկովսկու անվամբ.

Օրինակներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Օրինակ, եթե մենք ունենք 2 բազմություններ, և յուրաքանչյուր բազմության մեջ կա երեք դիրքային վեկտոր՝ ներկայացնող 2 եռանկայան գագաթներ -ում, հետևյալ կոորդինատներով

և

ապա նրանց Մինկովսկու գումարը կստացվի

որը համընկնում է հեքսագոնի գագաթների հետ։

Մինկովսկու գումարի համար զրոյական բազմությունը՝ {0}, պարունակող միայն զրոյական վեկտորը, 0 միավոր էլեմենտ է կամայական S վեկտորական ենթաբազմության համար

Դատարկ բազմությունը կարևոր է Մինկովսկու գումարի համար, քանի որ դատարկ բազմությունը վերացնում է ամեն մի այլ ենթաբազմություն՝ կամայական վեկտորական տարածության S ենթաբազմության համար, իր և դատարկ բազմության գումարը դատարկ բազմություն է

Մինկովսկու գումարի ուռուցիկ գծային կոմբինացիան[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Մինկովսկու գումարը լավ է իրեն դրսևորում, երբ վերցնում ենք ուռուցիկ գծային կոմբինացիան, ինչպես նշված է հետևյալ հատկութկունում․

  • Յուրաքանչյուր ոչ դատարկ S1 և S2 ենթաբազմություննների Մինկովսկու գումարի ուռուցիկ գծային կոմբինացիան հավասար է իրենց ուռուցիկ գծային կոմբինացիաների Մինկովսկու գումարին․

Այս արդյունքը պահպանում է ավելի ընդհանուր կամայական ոչ դատարկ բազմությունների համար․

Մաթեմատիկայի տերմինաբանության մեջ Մինկովսկու գումարի օպերատորը և ուռուցիկ գծային կոմբինացիան կոմուտատիվ օպերատորներ են [1][2]։

Եթե S -ը ուռուցիկ բազմություն է, ապա նույնպես ուռուցիկ բազմություն է։ Ավելին

կամայական : Եվ հակառակը, եթե բաշխվածությունը տեղի ունի յուրաքանչյուր իրական -ի համար, ապա բազմությունը ուռուցիկ է․

Մինկովսկու գումարը գծայնորեն է գործում 2 չափանի տարածության մեջ գտնվող ուռուցիկ մարմնի պարամետրի վրա։ Ավելին, եթե K-ն հաստատուն լայնության կորի արտաքին մասն է․ ապա K-ի և իր 180° շրջման Մինկովսկու գումարը դիսկ է։ Այս երկու փաստերը կարող ենք միախառնել ստանալու Բարբիերի թեորեմի կարճ ապացույցը հաստատուն լայնության կորի պարամետրի վրա[3]։

Ծանոթագրություններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

  1. Theorem 3 (pages 562–563): Krein M., Šmulian V. (1940)։ «On regularly convex sets in the space conjugate to a Banach space»։ Annals of Mathematics։ Second Series 41։ էջեր 556–583։ JSTOR 1968735։ MR 2009։ doi:10.2307/1968735 
  2. For the commutativity of Minkowski addition and convexification, see Theorem 1.1.2 (pages 2–3) in Schneider; this reference discusses much of the literature on the convex hulls of Minkowski sumsets in its "Chapter 3 Minkowski addition" (pages 126–196): Schneider Rolf (1993)։ Convex bodies: The Brunn–Minkowski theory։ Encyclopedia of mathematics and its applications 44։ Cambridge: Cambridge University Press։ էջեր xiv+490։ ISBN 978-0-521-35220-8։ MR 1216521 
  3. The Theorem of Barbier (Java) at cut-the-knot.