Անդրեյ Բուշկովի առաջին զուգընկերուհին Յուլյա Լյաշենկոն էր, ում հետ նրանք, ներկայացնելով ԽՍՀՄ-ը, պատանիների 1988 թվականի աշխարհի առաջնությանը դարձել են բրոնզե մրցանակակիրներ։ Այնուհետև զույգ կազմեց Մարինա Ելցովայի հետ։ Նրա հետ ԽՍՀՄ վերջին առաջնությանը՝ 1991 թվականիդեկտեմբերին, նրանք եղել են երրորդը։ Ռուսաստանի առաջին առաջնությանը (1993 թվական) զույգը երկրորդն էր՝ զիջելով Եվգենյա Շիշկովա-Վադիմ Նաումով զույգին, իսկ նույն թվականին, Եվրոպայի առաջնությանը, հաղթեցին նրանց, ինչպես նաև Մանդի Վետցել-Ինգո Շտոյեր զույգին՝ հաղթելով առաջնությունը։
Զույգերի համար ամենահաջողը 1996 թվականի աշխարհի առաջնության ելույթն էր։ Կարճ ծրագրում երեք աննշան շեղվածքը, այդ թվում՝ հավասարակշռության կորուստը նրանց տվեց երկրորդ տեղը։ Ազատ ծրագրում նրանք կատարեցին եռակի տուլուպ և երկու կրկնակի ակսել (մեկը կասկադի մեջ), երկու եռակի պտույտ (մեկը ձեռքի հպումով) և դժվար լասսո-ակսել պահում՝ մի ձեռքի իջեցումով։ Ուժեղ մրցակցության արդյունքում հաղթողը որոշվեց դատավորական երկրորդ և ավելի բարձր գնահատականներով. Ելցովա-Բուշկով զույգին այդ տեղը տվեցին վեց դատավորներ, իսկ Վետցել-Շտոյեր զույգին՝ հինգ դատավոր։ Մեկ ձայնի առավելությունը հնարավորություն տվեց հաղթել զույգին։
Մասնակցել են 1998 թվականի Ձմեռային օլիմպիական խաղերին և զբաղեցրել յոթերորդ տեղը։ Կարճ ծրագրում Անդրեյը սխալ կատարեց եռակի տուլուպը, իսկ ազատ ծրագրում նորից եռակի տուլուպում կատարեց մեկ ակսել երկուսի փոխարեն։ Այդ պատճառով էլ Ավստրալիայի դատավորը զույգին տվեց երրորդ տեղը։ 1999 թվականիՌուսաստանի առաջնությանը նրանք միայն չորրորդն էին և չհայտնվեցին հավաքականի կազմում։ Ավարտելով սիրողական կարիերան՝ մեկնեցին ԱՄՆ։
Ներկա պահին Անդրեյ Բուշկովն աշխատում է ԱՄՆ-ում՝ որպես գեղասահքի մարզիչ։ Մասնավորապես, նա մարզել է իսրայելական Հեյլի-Էնն Սակս-Վադիմ Ակոլզին սպորտային զույգին։