xʸ = yˣ հավասարում

$x^{y}=y^{x}$ հավասարման գրաֆիկը

Թեև աստիճանի բարձրացումը տեղափոխական չէ, բայց $x^{y}=y^{x}$ հավասարումը լուծում ունի որոշ $(x,y)$ թվերի համար, օրինակ՝ $x=2,y=4$։

Պատմություն

$x^{y}=y^{x}$ հավասարումը հիշատակվել է Դանիել Բեռնուլիի՝ Քրիստիան Գոլդբախին ուղղված նամակում (29 հունիսի, 1728)։ Նամակում ասվում է, որ $x\neq y$ դեպքում $(2,4)$ զույգն այդ հավասարման լուծում հանդիսացող միակ բնական թվերն են, չնայած գոյություն ունեն ռացիոնալ թվերով բազմաթիվ լուծումներ։ Գոլդբախի պատասխան նամակում (31 հունվարի, 1729) ներկայացվել է հավասարման լուծումը, որն ստացվել է $y=vx$ փոխարինմամբ։ Նմանատիպ լուծում է տվել Լեոնարդ Էյլերը։ Ի․ վան Հենգելը (J. van Hengel) նշել է, որ եթե $r,n$ դրական ամբողջ թվեր են, $r\geqslant 3$ կամ $n\geqslant 3,$ ապա $r^{r+n}>(r+n)^{r},$ այդպիսով՝ հավասարումը բնական թվերով լուծելու համար բավական է դիտարկել $x=1$ և $x=2$ դեպքերը։

Հավասարումը բազմիցս դիտարկվել է մաթեմատիկական գրականության մեջ։ 1960 թվականին այն ընդգրկվել է Պատնեմի անվան ուսանողական օլիմպիադայի առաջադրանքների ցանկում, ինչը Ա. Հաուսներին դրդել է ընդլայնել լուծումների թիվը հանրահաշվական թվերով։

Լուծում իրական թվերով

Դրական իրական թվերով տրիվիալ լուծումների անսահման բազմությունը $x=y$ հավասարման լուծումներն են։ Ոչ տրիվիալ լուծումներ կարելի է գտնել, եթե ընդունենք՝ $x\neq y,$ $y=vx$։ Այդ դեպքում՝

$(vx)^{x}=x^{vx}=(x^{v})^{x}$։

Հավասարման երկու կողմերն էլ ${\tfrac {1}{x}}$ աստիճան բարձրացնելու և հետո $x$-ի բաժանելու դեպքում ստանում ենք․

$v=x^{v-1}$։

Այդ դեպքում դրական իրական թվերով ոչ տրիվիալ լուծումներն արտահայտվում են որպես

$x=v^{\frac {1}{v-1}}$,

$y=v^{\frac {v}{v-1}}$։

Բնական թվերով $4^{2}=2^{4}$ ոչ տրիվիալ լուծում կարելի է ստանալ, եթե $v=2$ կամ $v={\tfrac {1}{2}}$։

Լուծում Լամբերտի W ֆունկցիայի տերմիններով

$y^{x}=x^{y}$ հավասարման լուծումը կարելի է արտահայտել Լամբերտի $W(x)$ ոչ տարրական W ֆունկցիայով $x$ փոփոխականով․

$y^{x}=x^{y}\Longleftrightarrow y^{\frac {1}{y}}=x^{\frac {1}{x}}$, կատարենք փոխարինում՝ $x={\frac {1}{z}}$:

$y^{\frac {1}{y}}={\biggl (}{\frac {1}{z}}{\biggr )}^{1\div {\frac {1}{z}}}\Longleftrightarrow {\biggl (}{\frac {1}{z}}{\biggr )}^{z}=y^{\frac {1}{y}}\Longleftrightarrow z^{-z}=y^{\frac {1}{y}}\Longleftrightarrow z^{z}=y^{-{\frac {1}{y}}}$

Այդ դեպքում $z$ փոփոխականը կարելի է արտահայտել Լամբերտի W ֆունկցիայով․ $z=e^{W{\bigl (}\ln {\bigl (}y^{-{\frac {1}{y}}}{\bigr )}{\bigr )}}$

Վերջնական լուծումը կունենա հետևյալ տեսքը․ $x=e^{-W{\bigl (}\ln {\bigl (}y^{-{\frac {1}{y}}}{\bigr )}{\bigr )}}$

Մասնավորապես, հաշվի առնելով տվյալ ֆունկցիայի ոչ միանշանակությունը, $e^{-{\frac {1}{e}}}\leqslant y^{-{\frac {1}{y}}}<1$ կամ $e^{\frac {1}{e}}\leqslant y^{\frac {1}{y}}<1$ միջակայքում հավասարումը կունենա երկու արմատ՝ $x_{1},x_{2}$։

Թե պարամետրերից որը ($y$ կամ $x$) կլինի փոփոխական, ըստ էության կարևոր չէ, և հավասարումը կմնա նույնը։

Եթե $x$(կամ $y$) փոփոխականի դեպքում ճիշտ է $y$(կամ $x$)<$e^{\frac {1}{e}}$ անհավասարությունը, ապա իրական թվերի մեջ արմատներ չկան։

Լուծում երկրորդ աստիճանի սուպերարմատի տերմիններով

$y^{x}=x^{y}$ հավասարումը $y^{x}=bx^{n},{\text{ }}y,b=const$ հավասարման մասնավոր դեպք է, երբ $b=1$ և $n=y$։ Այս արժեքները տեղադրելով լուծման ընդհանուր բանաձևում, հեշտ է գտնել սկզբնական հավասարման լուծումը․

$y^{x}=x^{y}\Longleftrightarrow x_{1,2,3}=y\log _{y}{\biggl (}{}^{\frac {1}{2}}{\Bigl (}y^{\pm {\frac {1}{y\times {\sqrt[{y}]{1}}}}}{\Bigr )}{\biggr )}^{-1}\Longleftrightarrow x_{1,2,3}=-y\log _{y}{\biggl (}{}^{\frac {1}{2}}{\Bigl (}y^{\pm {\frac {1}{y}}}{\Bigr )}{\biggr )}$

Այս լուծումը ավելի ամբողջական է, քանի որ այն թույլ է տալիս գտնել բացասական իրական արմատներ, եթե դրանք գոյություն ունեն (քանի որ լոգարիթմը, ի տարբերություն նախորդ լուծման աստիճանացույցների, կարող է զրոյից փոքր լինել)։ Երրորդ արմատի գոյությունը բացատրվում է զույգ $y$-ի դեպքում $y^{x}=x^{y}$ և $y^{x}=(-x)^{y}$ հավասարումների համարժեքությամբ, սակայն գործնականում գոյություն ունի առավելագույնը երկու վավեր արմատ (բանաձևի երրորդ արմատը պարտադիր է կողմնակի է) այն պատճառով, $f(z)={}^{\frac {1}{2}}z$ երկրորդ աստիճանի սուպերարմատի ֆունկցիան վերոնկարագրյալ $f(z)=z^{z}$ ֆունկցիայի հակադարձն է ($f(z)={}^{2}z$), որն արտահայտվում է Լամբերտի W ֆունկցիայի միջոցով, որն իր հերթին չի կարող ունենալ երկուսից ավելի վավեր արժեք։

Այս լուծումից բխում է նույնական հավասարում․ $-y\log _{y}{}^{\frac {1}{2}}(y^{-{\frac {1}{y}}})={\frac {1}{{}^{\frac {1}{2}}(y^{-{\frac {1}{y}}})}}$։ Դա հեշտ է ապացուցել՝ վերը նշված երկու լուծումները հավասարեցնելով միմյանց։

$-y\log _{y}{}^{\frac {1}{2}}(y^{-{\frac {1}{y}}})={\frac {1}{{}^{\frac {1}{2}}(y^{-{\frac {1}{y}}})}}\Longleftrightarrow {}^{\frac {1}{2}}(y^{-{\frac {1}{y}}})\log _{y}{}^{\frac {1}{2}}(y^{-{\frac {1}{y}}})=-{\frac {1}{y}}$, ապա, ըստ լոգարիթմի և երկրորդ աստիճանի սուպերարմատի հատկությունների․

$\log _{y}{\biggl (}{}^{\frac {1}{2}}(y^{-{\frac {1}{y}}}){\biggr )}^{{}^{\frac {1}{2}}(y^{-{\frac {1}{y}}})}=-{\frac {1}{y}}\Longleftrightarrow \log _{y}(y^{-{\frac {1}{y}}})=-{\frac {1}{y}}$։ Ապացուցված նույնությունը $b=-y$ առավել ընդհանուր դեպքի մասնավորն է։

Արտաքին հղումներ

• «Rational Solutions to x^y = y^x». CTK Wiki Math. Արխիվացված է օրիգինալից 2021 թ․ օգոստոսի 15-ին. Վերցված է 2022 թ․ նոյեմբերի 10-ին.
• «x^y = y^x - commuting powers». Arithmetical and Analytical Puzzles. Torsten Sillke. Արխիվացված է օրիգինալից 2015 թ․ դեկտեմբերի 28-ին.
• dborkovitz (2012 թ․ հունվարի 29). «Parametric Graph of x^y=y^x». GeoGebra.