Պասկալի թեորեմ

Վեցանկյունը ներգծված է էլիպսին և երեք զույգ հանդիպակած կողմերի հատման կետերը գտնվում են միևնույն ուղղի վրա,Պասկալի ուղղի վրա։

Պասկալի թեորեմ, պրոեկտիվ երկրաչափության դասական թեորեմ։

Ձևակերպում

Եթե վեցանկյունը ներգծված է շրջանագծին կամ որևէ այլ կոնական հատմանը (Էլիպս, պարաբոլ, հիպերբոլ կամ նույնիսկ զույգ ուղիղներ), ապա երեք զույգ հանդիպակած կողմերի հատման կետերը գտնվում են միևնույն ուղղի վրա։

Պատմություն

Առաջին անգամ ձևակերպվել և ապացուցվել է Բլեզ Պասկալի կողմից 16 տարեկանում, որպես Պապպի թեորեմի ամփոփում։ Այս թեորեմը Պասկալը դրել է կոնական հատումների մասին իր տրակտատի հիմքում։ Տրակտատը կորել է և հայտնի է միայն Լայբնիցի նամակի համառոտ բովանդակությունը, որը Փարիզում իր պաշտոնավարման ընթացքում պահպանել է իր մոտ, և այդ տրակտատի հիմնական տեսությունների համառոտ շարադրանքը, որը կազմվել է Պասկալի կողմից (փորձը կոնական հատումների մասին)։ Պասկալը ինքը Պապպի թեորեմում զույգ ուղիղները համարում էր կոնական հատույթ, իսկ Պապպի թեորեմը՝ իր թեորեմի մասնավոր դեպք է համարում ։

Ապացույցների մասին

• Ապացույցներից մեկն օգտագործում է երկակի հարաբերությունների հաշիվը։
• Հնարավոր ապացույցը հիմնված է Մենելի թեորեմի հետևողական կիրառման վրա։
• Նախագծային վերափոխումը կարելի է թարգմանել նկարագրված կոնական հատույթը շրջանագծի բերելով, և պահպանելով թեորեմի պայմանը։ Շրջանագծի համար թեորեմը կարող է ապացուցվել իզոգոնալ ձգտման գոյության դեպքում։
• Ուռուցիկ բազմանկյան շրջանագծին ներգծման դեպքում կարելի է իրականացնել պրոեկցիոն ձևափոխություն՝ շրջանագիծը թողնել տեղում, իսկ զույգ ուղիղների հատման կետով անցնող ուղիղը տեղափոխել անվերջություն։ Այս դեպքում թեորեմիապացույցը ակնհայտ կդառնա։
• Թեորեմի ապացույցը հնարավոր կդառնա նաև, եթե հենվենք խորանարդ աստիճան կորի «9 կետերի մասին» թեորեմի վրա։

Լրացուցիչ ցուցադրումներ

Վեց ուղիղ Պասկալ GHK ինքնախոստովանական (չվճարված) Պասկալի 6 ուղիղներն են ABCDEF ոչ ուռուցիկ ինքնահատվող վեցանկյան մեջ։ Նրա երեք զույգ հակառակ կողմերի ներկված են տարբեր գույներով (մեկ զույգը կարմիր, մեկ այլը դեղին և երրորդը՝ կապույտ)։ Հատման կետերը մեկ ուղղի վրա են և դա Պասկալի ուղիղն է,ներկված սպիտակ։

Անկանոն վեցանկյուն, ներգծված շրջանագծի մեջ: Նրա երեք զույգ հակառակ կողմերն անցնում են արտաքին ձևով, այնպես, որ նրանք հատվում են մեկ ուղղի/Պասկալի/։ Նրա հակառակ կողմերի երեք զույգերից յուրաքանչյուրը հատվում է արտաքին ճանապարհով ։ Այդ երեք զույգերը ցուցադրվում են երեք գույներով՝առաջին զույգը կարմիր, երկրորդը դեղին և երրորդը՝ կապույտ: Պասկալի ուղիղը սպիտակ է։

Թեորեմը ճիշտ է նույնիսկ նման վեցանկյան համար: Այստեղ կա արտաքին հատման կետ ունեցող երեք զույգ հակառակ կողմեր ուռուցիկ ABCDEF վեցանկյան մեջ , ներգծված է շրջանագծին։ Նրա երեք զույգ հակառակ կողմերը հատվում են երեք կետերում M, N և P և ընկած են մեկ ուղղի վրա։Պասկալի ուղիղը կապւյտ է։

Գրականություն

• Котельников К. Шестиугольник Паскаля // В.О.Ф.Э.М.. — 1888. — № 50. — С. 34—35.
• Паскаль. Опыт о конических сечениях с приложением письма Лейбница к Э. Перье. Перевод и комментарии Г. И. Игнациуса. // Историко-математические исследования. Выпуск XIV.
• Фрейверт Д. М. Новая тема в евклидовой геометрии на плоскости: теория «точек Паскаля», формируемых с помощью окружности на сторонах четырехугольника. — 2019. — С. 37—42.
• Шаль. Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов. Гл. 2, § 16-19. М., 1883.
• Р.Курант, Г.Роббинс, Что такое математика? Глава IV, § 8.4.
• Живые чертежи (на Java)
  • Pascal’s theorem на Cut the knot
  • Pascal’s theorem
• D. Fraivert The theory of a convex quadrilateral and a circle that forms Pascal points - the properties of Pascal points on the sides of a convex quadrilateral // Journal of Mathematical Sciences: Advances and Applications. — 2016. — Т. 40. — P. 1–34. —
• D. Fraivert. Properties of a Pascal points circle in a quadrilateral with perpendicular diagonals // Forum Geometricorum. — 2017. — Vol. 17. — P. 509–526.