Շուռի անհավասարում

Մաթեմատիկայում Շուռիի անհավասարումը, որն անվանվել է ի պատիվ հրեա մաթեմատիկոս Եսա Շուռի, պնդում է, որ բոլոր x, y, z և t > 0 ոչ բացասական իրական թվերի համար ճիշտ է

$x^{t}(x-y)(x-z)+y^{t}(y-z)(y-x)+z^{t}(z-x)(z-y)\geq 0$

անհավասարումը, այն և միայն այն դեպքում, երբ x = y = z կամ դրանցից երկուսը հավասար են, իսկ մյուսը հավասար է զրոյի։ Երբ t-ն զույգ դրական ամբողջ թիվ է, անհավասարումը ճիշտ է բոլոր իրական x, y և z թվերի համար։

Երբ $t=1$, ստացվում է հայտնի մասնավոր դեպք.

$x^{3}+y^{3}+z^{3}+3xyz\geq xy(x+y)+xz(x+z)+yz(y+z)$

Ապացույց

Քանի որ անհավասարումը սիմետրկ է $x,y,z$ նկատմամբ, կարող ենք ենթադրել, որ $x\geq y\geq z$։ Որից հետո

$(x-y)[x^{t}(x-z)-y^{t}(y-z)]+z^{t}(x-z)(y-z)\geq 0$

անհավասարումը ակնհայտ ճիշտ է, քանի որ անհավասարման ձախ կողմի յուրաքանչյուր անդամ ոչ բացասական է։

Ընդհանրացում

Շուռի անվասարման ընդհանրացումը հետևյալն է.

Ենթադրենք տրված է $a,b$ և $c$ դրական իրական թվերը։ Եթե $(a,b,c)$ և $(x,y,z)$ եռյակները նմանապես դասավորված են, ապա ճիշտ է հետևյալ անհավասարումը.

$a(x-y)(x-z)+b(y-z)(y-x)+c(z-x)(z-y)\geq 0$։

2007 թվականին ռումինիացի մաթեմատիկոս Վալենտին Վորնիկուն ցույց է տվել, որ գոյություն ունի անհավասարման ավելի ընդհանրացված տարբերակ.

Ենթադրենք $a,b,c,x,y,z\in \mathbb {R}$, որտեղ $a\geq b\geq c$, և կամ $x\geq y\geq z$, կամ $z\geq y\geq x$։ Եթե $k\in \mathbb {Z} ^{+}$ և $f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} _{0}^{+}$-ը ուռուցիկ է կամ մոնոտոն, ապա

${f(x)(a-b)^{k}(a-c)^{k}+f(y)(b-a)^{k}(b-c)^{k}+f(z)(c-a)^{k}(c-b)^{k}\geq 0}$։

Այս անհավասարման մեջ x = a, y = b, z = c, k = 1, ƒ(m) = m^r տեղադրելով ստանում ենք Շուռիի անհավասարումը։

Շուռիի անհավասարման նման անվասարում տեղի ունի հինգ փոփոխականի համար։ Ենթադրենք $x,y,z,v,t\in R$, այնպես որ $x,y,z,v,\geq 0$ և $t>0$, ապա

$x^{t}(x-y)(x-z)(x-v)+y^{t}(y-x)(y-z)(y-v)+z^{t}(z-x)(z-y)(z-v)+v^{t}(v-x)(v-y)(v-z)\geq 0$։