Նևսիս

Նկ.1 Կառուցում նևսիսի օգնությամբ

Նևսիս (от հունարեն՝ νεῦσις), երկրաչափական կառուցման մեթոդ, որի նպատակն է տրված երկարությամբ հատվածը ներգծել երկու կոր գծերի մեջ այնպես, որ տրված հատվածը կամ նրա շարունակությունը անցնեն տրված կետով։ Մեթոդը հայտնագործվել է Հին Հունաստանում։ Անվանումը գալիս է հունարեն՝ νεύειν բառից, որը նշանակում է թեքվել (νεύσεις)առաջ։

Կառուցման խնդրի դրվածք

Տրված է 2 m և n, կորերը և P կետը(նկ. 1)։ Անհրաժեշտ է կառուցել տրված a երկարության AB հատվածը, այնպես, որ A և B կետերը գտնվեն համապատասխանաբար m և n կորերի վրա, իսկ AB հատվածը կամ նրա շարունակությունը անցնեն P կետով։ P կետը կոչվում է նևսիսի բևեռ, m կորը ուղղորդող իսկ n -ընպատակի գիծ։ a երկարությունը կրում է դիաստեմա (հունարեն՝ διάστημα,երկարություն)։

Կառուցման խնդրի լուծում

Կառուցումը իրականացվում է քանոնով, որի վրա նշվում է երկու կետ, որոնց միջև հեռավորությունը հավասար է а: Քանոնը պիտի սահի P կետի շուրջը, որի համար այդ կետում խրվում է մեխ կամ քորոց, որի վրա ձեռքով սեղմվում է քանոնը։ А կետի նախնական դիրքը որոշվում է այնպես, որ կետը A- ն ընկած է m կորի վրա, իսկ B-ն չի հասնում n կորին։

Քանոնը քորոցի վրա սեղմելով, սկսում ենք A կետը շարժել m կորով այնպես, որ В-ն մոտենա կորին։

Կիրառում

Նևսիսն օգնում է լուծել որոշ երկրաչափական խնդիրներ, որոնք հնարավոր չէ լուծել առանց նշում քանոնի և կարկինի օգնությամբ, օրինակ, անկյան երեք հավասար մասերի բաժանումը և կանոնավոր յոթանկյան կառուցումը։ Այնպիսի հայտնի մաթեմատիկոս ինչպիսիք են Արքիմեդեսը (Ք․ա 287—212 թվականներ), Իսահակ Նյուտոնը (290-350 թվականներ), լայնորեն օգտագործում էին նևսիսը։ Նևսիսն օգտագործվել է հավասարակողմ եռանկյուն կամ յոթանկյուն, իննանկյուն և տասներեքանկյուն կառուցելիս։ Ժամանակի ընթացքում դրա մասայական լինելը գնալով մարեց։

Մաթեմատիկայի պատմության մասնագետ Թոմաս Հիթը ենթադրում է, որ հունական մաթեմատիկոս Էնոպիդ Հիոսացին( Ք․ա․440 թվականին) առաջինն էր որ երկրաչափական կառուցման խնդիրներում նախընտրեց քանոնը և կարկինը։ Հիպոկրատ Քիոսացին(Ք․ա 430 թվական) սկսեց չընդունել նևսիսի օգտագործումը և դա նշում էր իր բոլոր աշխատություններում։ Նրանից 100 տարի հետո, Էվկլիդեսը նույնպես խուսափում նևսիսի օգտագործումից,որի մասին գրում էր իր հայտնի «Հիմունքներում»։

Ք․ա 4-րդ դարում Պլատոնի փիլիսոփայության ազդեցության տակ կառուցվեց երկրաչափական օբյեկտների «ափստրակտ և վեհ»-ից, «կոնկրետ և շոշափելի»-ի հերարխիան։

Այս օբյեկտները բաժանվում են երեք դասի․

1. Միայն ուղիղներից և շրջաններից բաղկացածներ․
2. Նախորդ կետին ավելացված կոնոսային հատույթներ (էլիպս, պարաբոլ, հիպերբոլ) պարունակողներ․
3. Նախորդ կետին ավելացված այնպիսի մարմիններ որոնց կառուցման համար անհրաժեշտ են հատուկ միջոցներ, օրինակ նևսիս։

Վերջին խումբը օգտագործվում էր միայն այն դեպքում, երբ խնդիրը լուծելու այլ մեթոդներ կիրառել հնարավոր չէր։

Անկյան եռաբաժանում

Նկ․2 Անկյան եռաբաժանումը նևսիսով․

Նկ․ 4. θ>135° անկյան երեք հավասար մասերի բաժանումը նևսիսի օգնությամբ։Քանոնի երկարությունը հավասար է շրջանագծի շառավղի կեսին։

Ենթադրենք, որ ունենք անկյուն α = POM (նկ․ 2)։Անհրաժեշտ է կռուցել անկյուն β, ընդորում՝α = 3β.

Շարունակենք անկյան OM կողմը և կառուցենք նրա վրա՝ ինչպես տրամագծի վրա ցանկացած a տրամագծով շրջանագիծ, որի կենտրոնը O կետն է։ Անկյան կողմերը շոշափում են շրջանագիծը P և M կետերում։ Վերցնենք նևսիսը և նշենք a դիաստեման (հատվածի երկարությունը), և օգտագործելով OM ուղիղը, որպես ուղղորդող , P կետը որպես բևեռ, իսկ կիսաշրջանը, որպես նպատակային գիծ։Կառուցենք AB հատվածը։ Կստանանք անկյուն BAM, որը α անկյան երրորդ մասն է։

Ապացույց

Նկ․ 3․Անկյան եռաբաժանում ապացույց

Ուսումնասիրենք եռանկյուն ABO (նկ․ 3). Քանի որ, AB = BO = a, ապա եռանկյունը հավասարասրուն է և նրա հիմքին առընթեր անկյունները հավասար է։

∟BAO = ∟BOA = β. Անկյուն PBO ,որպես եռանկյան արտաքին անկյուն ABO =2β.

Եռանկուն BPO նույնպես հավասարասրուն է և արտաքին անկյունները հավասար են 2β,իսկ գագաթի անկյունը γ = 180°–4β. Մյուս կողմից γ = 180°–β–α. Հետրապես, 180°–4β = 180°–β–α և α = 3β.

Կանոնավոր յոթանկյան կառուցում

Կառուցենք PQRO քառակուսին (նկ․5): Տանենք O կենտրոնով և OQ շառավղով շրջանագծի աղեղը։ Վերցնենք նևսիսի քանոնը a դիաստեմիայով, օգտագործելով քառակուսու համաչափության ուղղահայաց առանցքը որպես ուղղորդող, P կետը որպես բևեռ և շրջանագծի աղեղը, որպես նպատակային գիծ։ Կստանանք AB հատվածը,որը կանոնավոր յոփանկյան կողմն է։

Նկ․ 5. Կանոնավոր յոթանկյան կառուցումը նևսիսի օգնությամբ։

Խորանարդի կրկնապատկում

Նկ․6․Խորոնարդի կրկնապատկումը նևսիսով․

Վերցնենք a կողմով հավասարակողմ եռանկյուն MPN , շարունակենք PN կողմը և N կետից a հեռավորության վրա կառուցենք R կետը (նկ. 6)։ Շարունակենք դեպի ձախ NM և RM հատվածները , վերցնենք նևսիսը a դիաստեմիայով, օգտագործելով RM հատվածը որպես ուղղորդող, P կետը՝ որպես բևեռ։Ուղիղը որպես նպատակային գիծ։Կստանանք AB հատվածը։ BP հատվածի երկարությունը համապատասխանում է կրկնակի խորանարդի կողմի երկարությանըայսինքն հավասար է 2-ի խորանարդ արմատին բաղմապատկած 2-ով։

Տես նաև

• Անկյան եռաբաժանում
• Խորանարդի կրկնապատկում
• Շրջանագծի քառակուսայնացում

Աղբյուրներ

• Boeker R. Neusis // в кн.: Paulys Realencyclopädie der Classischen Altertumswissenschaft, G. Wissowa red. (1894–), Supplement 9 (1962) 415–461. Наиболее фундаментальный обзор; на немецком языке.
• Heath T. L. A history of Greek Mathematics (2 volumes; Oxford 1921).
• Zeuthen H. G. Die Lehre von den Kegelschnitten im Altertum (Կաղապար:Tr-de) Copenhagen 1886; перепечатка Hildesheim 1966.

Արտաքին հղումներ

• MathWorld page
• Angle Trisection by Paper Folding