Մասնակից:Զաբելա Աբելյան/ավազարկղ15
Թվաբանության հիմնական թեորեմը [1][2]
Ցանկացած բնական թիվ կարելի է ներկայացնել տեսքի, որտեղ պարզ թվեր են, ընդ որում այդպիսի ներկայացումը միակն է մինչև հաջորդականության համաբազմապատկիչների հետևելու ճշգրտությամբ:
Միավորը նույնպես կարելի է հաշվել զրոյական քանակի պարզ թվերի արտադրյալ՝ «դատարկ արտադրյալ»:
Որպես հետևանք, ցանկացած բնական թիվ, միակ եղանակով ներկայացված է
- տեսքով, որտեղ պարզ թվեր են և որոշ բնական թվեր:
Այդպիսի թվի ներկայացումը, անվանում են նրա կանոնական վերլուծությունը պարզ համաբազմապատկիչների:
Պատմություն
[խմբագրել | խմբագրել կոդը]Հին հունական մաթեմատիկայում չի հանդիպում թվաբանության հիմնական թեորեմի ժամանակակից բանաձևումը:Բայց Էվկլիդեսի «Սկզբունքներում» կա առաջադրություն, որը նրան համարժեք է:Մասնավորապես, թեորեման հեշտությամբ հետևում է այսպես կոչված Էվկլիդեսի լեմմայից ( VII գրքի առաջադրություն 30):Չկա ճշգրիտ ձևակերպում Լեժանդրի «Թվերի տեսության ներմուծում » (ֆր.՝ Essai sur la Théorie des Nombres) գրքում , գրված 1798 թվականին: Նրա ճիշտ ձևակերպումը և ապացուցումը բերված է Գաուսի «Թվաբանական հետազոտություններ» (լատին․՝ Disquisitiones Arithmeticae) գրքում, հրատարակված 1801 թվականին:[3]
Հետևանքներ
[խմբագրել | խմբագրել կոդը]- Թվաբանության հիմնական թեորեման տալիս ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարի և ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկի համար նրբագեղ արտահայտություն:
- Ա. Ը. Բ.
- Ա. Ը. Բ.
- Գիտենալով թվի վերլուծումը բազմապատկիչների, կարելի է անմիջապես ցույց տալ այդ թվի բոլոր բաժանարարները:
բնական թվի բաժանարար հանդիսանում է այնպիսի բնական թիվ, որի համար , որտեղ այլ բնական թիվ է:
Օրինակ՝ .
Պարզ թվերի վերլուծության տարբեր համակցություններն օգտագործելով, կարելի է կազմել տրված թվի բոլոր բաժանարարների բազմությունը:Մեր օրինակի համար դա կլինի հետևալ բաժանարարները.
Դրա համար, որպեսզի գտնենք տրված թվի բոլոր բաժանարարների քանակը , բավարար է տեսնել հոդվածի սկզբում նշված կանոնական վերլուծությունը: բնական թվերը դա ոչ այլ ինչ է,եթե ոչ տրված թվերի վերլուծությունում համապատասխան պարզ թվերի քանակ: Այսպիսով, եթե ուզում ենք գտնել տրված թվի բոլոր բաժանարարների քանակը, բավարար է հաշվարկել թվի բոլոր հնարավոր համակցությունների արժեքը: Մեր օրինակում 2 թիվը հանդիպում է 2 անգամ: Հետևաբար, թվի բաժանարար գտնելիս, կարող է ընդունել 0-ից մինչև 2 ամբողջ արժեքները,այսինքն կա 3 արժեքներ:Նշանակում է, որպեսզի հաշվարկենք ընդհանուր բաժանարարների քանակը, պետք է բազմապատկել տարբեր բազմապիսի արտահայտությունների քանակը:Մեր դեպում ՝
- Այսպիսով կարելի է ներկայացնել երկու թվերի արտադրյալի հաշվումը
Օրինակ՝
- Երբեմն, գտնելով ընդհանուր բաժանարարը, կարելի է, ակներևաբար պարզեցնել երկու թվերի գումարի (տարբերության) հաշվումը:
Օրինակ՝ (պարզեցնել արտահայտությունը):
Ապացույց (ինդուկցիայի մեթոդ)
[խմբագրել | խմբագրել կոդը]Գոյություն: Ապացուցենք թվի վերլուծման գոյությունը, ենթադրենք, որ այն արդեն ապացուցված է ցանկացած ուրիշ թվի համար, որը փոքր է -ից:Եթե -ը, պարզ է, ուրեմն գոյությունը ապացուցված է: Եթե -ը բաղադրյալ է, ապա այն կարելի է ներկայացնել և երկու թվերի արտադրյալի տեսքով, որոնցից յուրաքանչյուրը մեծ 1-ից, բայց փոքր -ից:. և թվերը կամ հանդիսանում են պարզ, կամ կարող են վելուծվել պարզ թվերի արտադրյալի (արդեն վերևում ապացուցված է): Տեղադրենք նրանց վերլուծությունը -ի մեջ, կստանանք տրված թվի վերլուծությունը պարզ թվերի:Գոյությունը ապացուցված է[4]
Միակություն: Սկզբում ապացուցենք հետևյալ լեմմը: Եթե թվի վերլուծությունը պարզ թվերի միակն է, ապա յուրաքանչյուր պարզ բաժանարարը պետք է այդ վերլուծության մեջ մտնի:Ենթադրենք թիվը բաժանվում է -ի և ընդ որում -ն պարզ է: Այդ ժանանակ տրված թիվը կարելի ներկայացնել որպես , որտեղ , բնական թիվ է: Այդ ժամանակ -ի վերլուծությունը կլինի թվի վերլուծություն, ավելացրած բազմապատկիչը:Մեր ենթադրությամբ, գոյություն ունի թվի միակ վերլուծություն, հետևաբար, -ն պետք է հանդիպվի նրանում: Լեմմը ապացուցված է:
Այլ ապացույց (Էվկլիդեսի ապացույց)
[խմբագրել | խմբագրել կոդը]Կարելի է ապացուցել թվաբանության հիմնական թեորեմը Էվկլիդեսի ալգորիթմի օգնությամբ.[5] Այստեղ Էվկլիդեսի ալգորիթմը կմասնակցի ոչ բացահայտ տեսքով, այլ կօգտագործվի նրա հետևանք:
և ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը անգամ վերցրած a և b ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարն է:
Այդ հետևանքից կարող ենք ապացուցել Էվկլիդեսի թեորեմը:
թե p-ն պարզ թիվ է և երկու թվերի արտադրյալը բաժանվում է p-ի, ապա երկու բազմապատկիչներից գոնե մեկը կբաժանվի p-ի:
Հիմա օգտվենք տրված թեորեմից, որպեսզի ապացուցենք թվաբանության հիմնական թեորեմը:
Գոյություն: հանդիսանում է Էվկլիդեսի թեորեմայի հետևանք: Այդ թեորեմայի ապացուցման համար դիտարկենք p պարզ թիվը և արտադրյալը: Ենթադրենք -ն բաժանվում է p-ի, բայց a-ն չի բաժանվում p-ի: Քանի որ p-ն պարզ է, ապա նրա միակ բաժանարարը հանդիսանում է 1 և p. Այդ ժամանակ 1-ն p-ի և a-ի միակ ընդհանուր բաժանարարն է: Հետևաբար , Ա. Ը. Բ. և հավասար է n-ի: Ակնհայտ է, որ բաժանվում է p-ի: Հետևաբար, քանի որ երկու թվերի ցանկացած ընդհանուր բաժանարարը նույնպես հանդիսանում է և բաժանարար նրանց Ա. Ը. Բ-ի, իսկ p-ն հանդիսանում է և ընդհանուր բաժանարար, այսինքն n-ը բաժանվում է p-ի:
Միակություն: ենթադրենք n թիվը ունի երկու պարզ թվերի վերլուծություն.
Քանի որ բաժանվում է -ի, ապա կամ , կամ բաժանվում է -ի: Եթե -ն բաժանվում է -ի, ապա , քանի որ երկու այդ թվերը հանդիսանում են պարզ: Եթե բաժանվում է -ի, այդ դեպքում շարունակենք նախորդ դատողությունները: Վերջ ի վերջո, հասնում ենք արդյունքի, որ թվերից ցանկացածը հավասար է թվին: Հետևաբար հանգում ենք եզրակացության, երկու վերլուծություններն էլ համընկնում են: Այսպիսով միակությունը ապացուցված է:
ԹՀԹ օղակներում
[խմբագրել | խմբագրել կոդը]Դիտարկենք թվաբանության հիմնական թեորեման ավելի ընդհանուր դեպքում, սահմանված կարգով օղակներում և Էվկլիդեսյան օղակներում.
ԹՀԹ գաուսյան ամբողջ թվերի օղակում
[խմբագրել | խմբագրել կոդը]Թվաբանության հիմնական թեորեման ունի իր տեղը գաուսյան ամբողջ թվերի օղակում: Ապացուցման գաղափարը հանդիսանում է տրված օղակում թվերի մնացորդով բաժանման ալգորիթմի գտնելը:[6] Օղակը, որն ունի մնացորդով բաժանման ալգորիթմ, անվանում են էվկլիդեսյան. Ցանկացած էվկլիդեսյան օղակի համար, թվաբանության հիմնական թեորեմայի ապացուցումը կարելի է կատարել այնպես, ինչպես բնական թվերի համար:
Ոչ միակ վերլուծությունը օղակում
[խմբագրել | խմբագրել կոդը]Բայց տրված թեորեմի գործողությունը չի տարածվում ամբողջ օղակում [6]:
Դիտարկենք, օրինակ, տեսքի կոմպլեքս թիվ, որտեղ , ամբողջ թվեր են: Այդպիսի թվերի գումարը և արտադրյալը կլինեն նույն տեսքի թվեր: Այդ ժամանակ կստանանք սահմանված կարգով օղակ :
Այդ օղակում 6 թվի համար գոյություն ունի երկու տարբեր վերլուծություններ : Մնում է ապացուցել, որ թիվը հանդիսանում է պարզ: Ապացուցենք, որ 2 թիվը պարզ է:
Ենթադրենք . այդ ժամանակ . հետևաբար, .
Բայց մեր օղակում չկա սահմանված կարգով 2, հետևաբար, այդպիսի վերլուծություն հնարավոր չէ, դրա համար 2-ը պարզ է: Հանգունորեն քննարվում է թվերը:
Օղակը, որում թվաբանության հիմնական թեորեմը կատարվում է, անվանում ենք ֆակտորիալ.
Տես նաև
[խմբագրել | խմբագրել կոդը]- Основная теорема алгебры
- Основная теорема анализа
- Простое число
- Алгоритм Евклида
- Видео доказательство основной теоремы арифметики
Ծանոթագրություններ
[խմբագրել | խմբագրել կոդը]- ↑ Дэвенпорт, 1965
- ↑ Жиков, 2000, էջ 112
- ↑ Дэвенпорт, 1965, էջ 17
- ↑ Дэвенпорт, 1965, էջ 15-16
- ↑ Дэвенпорт, 1965, էջ 26-27
- ↑ 6,0 6,1 Жиков, 2000, էջ 116
Գրականություն
[խմբագրել | խմբագրել կոդը]- Жиков В.В. Основная теорема арифметики // Соросовский Образовательный Журнал. — 2000. — Т. 6. — № 3. — С. 112–117.
- Г. Дэвенпорт. Высшая арифметика. — Наука, 1965. — С. 15-38. — 176 с.
- Л. А. Калужин. Основная теорема арифметики. — Популярные лекции по математике. — М.: Наука, 1969. — 32 с.
- И. М. Виноградов. Основы теории чисел. — Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1952. — 180 с. — 10 000 экз.
- Р. Курант, Г. Роббинс. Дополнение к главе I, § 4.2 // Что такое математика? — МЦНМО, 2000. — 568 с.