Մասնակից:Արմինե Չատինյան/Ավազարկղ 1

Մաթեմատիկական մոդելավորման օպտիմիզացիայի խնդիրներ

Օպտիմիզացիա- բոլոր հնարավոր տարբերակներից լավագույնը գտնելու գործընթաց: Օպտիմիզացիայի խնդիրներում առկա են որոշակի թվով փոփոխականներ (պարամետրեր): Այդ փոփոխականների քանակն անվանում են օպտիմիզացիայի խնդրի չափ: Օպտիմիզացիայի խնդիրներում պահանջվում է գտնել պարամետրերի այնպիսի հավաքածու, որի դեպքում տրված ֆունկցիոնալը ընդունում է օպտիմալ արժեք կամ տրված մի քանի ֆունկցիոնալները ընդունում են օպտիմալ արժեքներ:

Օպտիմալ արժեք ասելով հասկանում ենք կամ մեծագույն արժեք կամ էլ փոքրագույն արժեք: Այն ֆունկցիոնալը, որի համար պահանջվում է գտնել օպտիմալ արժեք, անվանում են նպատակային ֆունկցիա կամ օպտիմալության չափանիշ:

Տնտեսագիտամաթեմատիկական օպտիմիզացիայի խնդիրների համար պարամետրերի թույլատրելի արժեքների հավաքածուներին անվանում են պլաններ: Այդ պլանները կարելի է ներկայացնել ȳ=(y₁,y₂,...,y_n) վեկտորի տեսքով: Նպատակային ֆունկցիան կարելի է գրառել F(Ȳ) կամ F(y₁,y₂,...,y_n) տեսքով: Նպատակային ֆունկցիայի փոքրագույն արժեքը գտնելու խնդրում ȳ*=(y₁*,y₂*,...,y_n*) պլանը կհամարվի օպտիմալ պլան, եթե կամայական Ȳ պլանի համար տեղի ունի F(Ȳ*)≤F(Ȳ): Նպատակային ֆունկցիայի մեծագույն արժեքը գտնելու խնդրում օպտիմալ կանվանենք այն (y₁*,y₂*,...,y_n*) պլանը, որ կամայական Ȳ պլանի համար տեղի ունի F(Ȳ*)≥F(Ȳ) :

Օպտիմիզացիայի տիպերը

Օպտիմիզացիայի խնդիրները լինում են 2 հիմնական տիպի.

1. անպայման օպտիմիզացիայի խնդիրներ
2. պայմանական օպտիմիզացիայի խնդիրներ:

Անպայման օպտիմիզացիայի խնդիրներում տրված է որոշակի տիրույթ, և պահանջվում է գտնել այդ տիրույթից այնպիսի պլան, որի դեպքում նպատակային ֆունկցիան ընդունում է օպտիմալ արժեք:

Պայմանական օպտիմիզացիայի խնդիրներում տրված է որոշակի տիրույթ, և պահանջվում է գտնել տիրույթից այնպիսի պլան, որը բավարարում է տրված սահմանափակումներին և որի վրա նպատակային ֆունկցիան ընդունում է օպտիմալ արժեք: Սահմանափակումները կարող են դրված լինել հավասարումների, անհավասարությունների տեսքով, կամ էլ հավասարումների և անհավասարությունների խառը տեսքով:

Օրինակ, սահմանափակումները կարող են տրված լինել հետևյալ տեսքի հավասարումների համակարգի միջոցով.

$\left\{{\begin{array}{lcr}f_{1}(y_{1},y_{2},...,y_{n})=0\\f_{1}(y_{1},y_{2},...,y_{n})=0\\....................\\f_{1}(y_{1},y_{2},...,y_{n})=0\\\end{array}}\right.$

կամ հետևյալ անհավասարությունների համակարգի միջոցով.

$\left\{{\begin{array}{lcr}a_{1}<=g_{1}(y_{1},y_{2},...,y_{n})<=b_{1}\\a_{2}<=g_{1}(y_{1},y_{2},...,y_{n})<=b_{2}\\.....................\\a_{n}<=g_{1}(y_{1},y_{2},...,y_{n})<=b_{n}\\\end{array}}\right.$

Սահմանափակումները կարող են տրված լինել նաև հավասարումների և անհավասարությունների խառը տեսքի հետևյալ համակարգի տեսքով.

$\left\{{\begin{array}{lcr}f_{1}(y_{1},y_{2},...,y_{n})=0\\f_{1}(y_{1},y_{2},...,y_{n})=0\\....................\\f_{1}(y_{1},y_{2},...,y_{n})=0\\a_{k+1}<=g_{k+1}(y_{1},y_{2},...,y_{n})<=b_{k+1}\\.............................\\a_{m}<=g_{m}(y_{1},y_{2},...,y_{n})<=b_{m}\\\end{array}}\right.$

Մաթեմատիկական ծրագրավորման խնդիրների տիպերը

Մաթեմատիկական ծրագրավորման խնդիրները սահմանափակումներով օպտիմիզացիայի խնդիրներն են:

Մաթեմատիկական ծրագրավորման խնդիրները լինում են 2 հիմնական տիպի:

1. Գծային ծրագրավորման խնդիրներ
2. Ոչ գծային ծրագրավորման խնդիրներ

Գծային ծրագրավորման խնդիրներում նպատակային ֆունկցիան և բոլոր սահմանափակումները գծայնորեն են կախված անկախ փոփոխականներից: Ոչ գծային ծրագրավորման խնդիրներում նպատակային ֆունկցիան կամ սահմանափակումների մեջ որևէ սահմանափակում ունի անկախ փոփոխականներից ոչ գծային կախվածություն:

Տես նաև

Մաթեմատիկական մոդել

Մաթեմատիկական մոդելավորում