Վիքիպեդիայից՝ ազատ հանրագիտարանից
Հակադարձ հիպերբոլական ֆունկցիա (հայտնի է նաև արեաֆունկցիա կամ արեա-ֆունկցիա), տարրական ֆունկցիաների ընտանիք՝ սահմանվող որպես հիպերբոլական ֆունկցիաներին հակադարձ ֆունկցիաներ։ Այս ֆունկցիաները որոշում են միավոր հիպերբոլի սեկտորի մակերեսը x 2 − y 2 = 1եռանկյունաչափական ֆուկցիաները որոշում են միավոր շրջանագծի աղեղի երկարությունը x 2 + y 2 = 1arcus ), իսկ ar նշանակում է մակերես (area )[1]
Իրական արգումենտի արեասինուս Իրական արգումենտի արեակոսինուս Իրական արգումենտի արեատանգենս Իրական արգումենտի արեակոտանգենս Իրական արգումենտի արեասեկանս Իրական արգումենտի արեակոսեկանս Կոմպլեքսային հարթության մեջ այդ ֆունկցիաները պարբերական են, իսկ նրանց հակադարձ ֆունկցիաները` բազմարժեք։
ֆունկցիայի անուն
Նշանակում
Անգլերեն նշանակում
Արեասինուս
arsh
arsinh, sinh−1
Արեակոսինուս
arch
arcosh, cosh−1
Արեատանգենս
arth
artanh, tanh−1
Արեակոտանգենս
arcth
arcotanh, cotanh−1
Արեասեկանս
arsch, arsech
arsech, sech−1
Արեակոսեկանս
arcsch
arcsch, csch−1
Կոմպլեքսային հարթության մեջ ֆունկցիայի գլխավոր արժեքները կարելի է որոշել հետևյալ բանաձևերով․
arsh
z
=
ln
(
z
+
z
2
+
1
)
;
{\displaystyle \operatorname {arsh} \,z=\ln(z+{\sqrt {z^{2}+1}}\,);}
arch
z
=
ln
(
z
+
z
+
1
z
−
1
)
;
{\displaystyle \operatorname {arch} \,z=\ln(z+{\sqrt {z+1}}{\sqrt {z-1}}\,);}
arth
z
=
1
2
ln
(
1
+
z
1
−
z
)
;
{\displaystyle \operatorname {arth} \,z={\tfrac {1}{2}}\ln \left({\frac {1+z}{1-z}}\right);}
arcth
z
=
1
2
ln
(
z
+
1
z
−
1
)
;
{\displaystyle \operatorname {arcth} \,z={\tfrac {1}{2}}\ln \left({\frac {z+1}{z-1}}\right);}
arsech
z
=
ln
(
1
z
+
1
z
+
1
1
z
−
1
)
;
{\displaystyle \operatorname {arsech} \,z=\ln \left({\frac {1}{z}}+{\sqrt {{\frac {1}{z}}+1}}\,{\sqrt {{\frac {1}{z}}-1}}\,\right);}
arcsch
z
=
ln
(
1
z
+
1
z
2
+
1
)
.
{\displaystyle \operatorname {arcsch} \,z=\ln \left({\frac {1}{z}}+{\sqrt {{\frac {1}{z^{2}}}+1}}\,\right).}
Քառակուսի արմատները այս բանաձևերում հանդիսանում են քառակուսի արմատի գլխավոր արժեքները։ Z կոմպլեքս թիվը, եթե ներկայացնենք որպես
z
=
r
e
i
φ
{\displaystyle z=re^{i\varphi }}
−
π
<
φ
≤
π
{\displaystyle -\pi <\varphi \leq \pi }
լոգարիթմական ֆունկցիաները հանդիսանում են կոմպլեքս փոփոխականի ֆունկցիաներ, ապա կարող ենք կատարել որոշակի պարզեցում։
Օրինակ՝
x
+
1
x
−
1
=
x
2
−
1
,
{\displaystyle {\sqrt {x+1}}{\sqrt {x-1}}={\sqrt {x^{2}-1}},}
քառակուսի արմատի գլխավոր արժեքի համար։
arsh
x
=
x
−
(
1
2
)
x
3
3
+
(
1
⋅
3
2
⋅
4
)
x
5
5
−
(
1
⋅
3
⋅
5
2
⋅
4
⋅
6
)
x
7
7
+
⋯
=
∑
n
=
0
∞
(
(
−
1
)
n
(
2
n
)
!
2
2
n
(
n
!
)
2
)
x
2
n
+
1
(
2
n
+
1
)
,
|
x
|
<
1.
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arsh} \,x&=x-\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{5}}{5}}-\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{7}}{7}}+\cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(-1)^{n}(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)}},\qquad \left|x\right|<1.\end{aligned}}}
arch
x
=
ln
2
x
−
(
(
1
2
)
x
−
2
2
+
(
1
⋅
3
2
⋅
4
)
x
−
4
4
+
(
1
⋅
3
⋅
5
2
⋅
4
⋅
6
)
x
−
6
6
+
⋯
)
=
ln
2
x
−
∑
n
=
1
∞
(
(
2
n
)
!
2
2
n
(
n
!
)
2
)
x
−
2
n
(
2
n
)
,
x
>
1.
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arch} \,x&=\ln 2x-\left(\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{-2}}{2}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{-4}}{4}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{-6}}{6}}+\cdots \right)\\&=\ln 2x-\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{-2n}}{(2n)}},\qquad x>1.\end{aligned}}}
arth
x
=
x
+
x
3
3
+
x
5
5
+
x
7
7
+
⋯
=
∑
n
=
0
∞
x
2
n
+
1
(
2
n
+
1
)
,
|
x
|
<
1.
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arth} \,x&=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}+{\frac {x^{7}}{7}}+\cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)}},\qquad \left|x\right|<1.\end{aligned}}}
arcsch
x
=
arsh
1
x
=
x
−
1
−
(
1
2
)
x
−
3
3
+
(
1
⋅
3
2
⋅
4
)
x
−
5
5
−
(
1
⋅
3
⋅
5
2
⋅
4
⋅
6
)
x
−
7
7
+
⋯
=
∑
n
=
0
∞
(
(
−
1
)
n
(
2
n
)
!
2
2
n
(
n
!
)
2
)
x
−
(
2
n
+
1
)
(
2
n
+
1
)
,
|
x
|
>
1.
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arcsch} \,x=\operatorname {arsh} {\frac {1}{x}}&=x^{-1}-\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{-3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{-5}}{5}}-\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{-7}}{7}}+\cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(-1)^{n}(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{-(2n+1)}}{(2n+1)}},\qquad \left|x\right|>1.\end{aligned}}}
arsech
x
=
arch
1
x
=
ln
2
x
−
(
(
1
2
)
x
2
2
+
(
1
⋅
3
2
⋅
4
)
x
4
4
+
(
1
⋅
3
⋅
5
2
⋅
4
⋅
6
)
x
6
6
+
⋯
)
=
ln
2
x
−
∑
n
=
1
∞
(
(
2
n
)
!
2
2
n
(
n
!
)
2
)
x
2
n
2
n
,
0
<
x
≤
1.
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arsech} \,x=\operatorname {arch} {\frac {1}{x}}&=\ln {\frac {2}{x}}-\left(\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{2}}{2}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{4}}{4}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{6}}{6}}+\cdots \right)\\&=\ln {\frac {2}{x}}-\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{2n}}{2n}},\qquad 0<x\leq 1.\end{aligned}}}
arcth
x
=
arth
1
x
=
x
−
1
+
x
−
3
3
+
x
−
5
5
+
x
−
7
7
+
⋯
=
∑
n
=
0
∞
x
−
(
2
n
+
1
)
(
2
n
+
1
)
,
|
x
|
>
1.
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arcth} \,x=\operatorname {arth} {\frac {1}{x}}&=x^{-1}+{\frac {x^{-3}}{3}}+{\frac {x^{-5}}{5}}+{\frac {x^{-7}}{7}}+\cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{-(2n+1)}}{(2n+1)}},\qquad \left|x\right|>1.\end{aligned}}}
Ասիմպտոտիկ ներկայացումը arsh x տրվում է բանաձևով․
arsh
x
=
ln
2
x
+
∑
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
−
1
(
2
n
−
1
)
!
!
2
n
(
2
n
)
!
!
1
x
2
n
.
{\displaystyle \operatorname {arsh} \,x=\ln 2x+\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\left({-1}\right)^{n-1}{\frac {\left({2n-1}\right)!!}{2n\left({2n}\right)!!}}}{\frac {1}{x^{2n}}}.}
d
d
x
arsh
x
=
1
1
+
x
2
.
d
d
x
arch
x
=
1
x
2
−
1
.
d
d
x
arth
x
=
1
1
−
x
2
.
d
d
x
arcth
x
=
1
1
−
x
2
.
d
d
x
arsech
x
=
−
1
x
(
x
+
1
)
1
−
x
1
+
x
.
d
d
x
arcsch
x
=
−
1
x
2
1
+
1
x
2
.
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\operatorname {arsh} \,x&{}={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}.\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arch} \,x&{}={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}.\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arth} \,x&{}={\frac {1}{1-x^{2}}}.\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcth} \,x&{}={\frac {1}{1-x^{2}}}.\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arsech} \,x&{}={\frac {-1}{x(x+1)\,{\sqrt {\frac {1-x}{1+x}}}}}.\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcsch} \,x&{}={\frac {-1}{x^{2}\,{\sqrt {1+{\frac {1}{x^{2}}}}}}}.\\\end{aligned}}}
Իրական x
d
d
x
arsech
x
=
∓
1
x
1
−
x
2
;
ℜ
{
x
}
≷
0.
d
d
x
arcsch
x
=
∓
1
x
1
+
x
2
;
ℜ
{
x
}
≷
0.
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\operatorname {arsech} \,x&{}={\frac {\mp 1}{x\,{\sqrt {1-x^{2}}}}};\qquad \Re \{x\}\gtrless 0.\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcsch} \,x&{}={\frac {\mp 1}{x\,{\sqrt {1+x^{2}}}}};\qquad \Re \{x\}\gtrless 0.\end{aligned}}}
Ածանցման օրինակ, եթե θ = arsh x , ապա՝
d
arsh
x
d
x
=
d
θ
d
sh
θ
=
1
ch
θ
=
1
1
+
sh
2
θ
=
1
1
+
x
2
.
{\displaystyle {\frac {d\,\operatorname {arsh} \,x}{dx}}={\frac {d\theta }{d\operatorname {sh} \theta }}={\frac {1}{\operatorname {ch} \theta }}={\frac {1}{\sqrt {1+\operatorname {sh} ^{2}\theta }}}={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}.}
Հիպերբոլական և հակադարձ հիպերբոլական ֆունկցկիաների կոմբինացիա [ խմբագրել | խմբագրել կոդը ]
sh
(
arch
x
)
=
x
2
−
1
,
|
x
|
>
1
;
sh
(
arth
x
)
=
x
1
−
x
2
,
−
1
<
x
<
1
;
ch
(
arsh
x
)
=
1
+
x
2
;
ch
(
arth
x
)
=
1
1
−
x
2
,
−
1
<
x
<
1
;
th
(
arsh
x
)
=
x
1
+
x
2
;
th
(
arch
x
)
=
x
2
−
1
x
,
|
x
|
>
1.
{\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {sh} (\operatorname {arch} \,x)={\sqrt {x^{2}-1}},\quad \quad |x|>1;\\&\operatorname {sh} (\operatorname {arth} \,x)={\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}},\quad \quad -1<x<1;\\&\operatorname {ch} (\operatorname {arsh} \,x)={\sqrt {1+x^{2}}};\\&\operatorname {ch} (\operatorname {arth} \,x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}},\quad \quad -1<x<1;\\&\operatorname {th} (\operatorname {arsh} \,x)={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}};\\&\operatorname {th} (\operatorname {arch} \,x)={\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x}},\quad \quad |x|>1.\end{aligned}}}
