Կոսինուսների թեորեմ

Եռանկյուն

Կոսինուսների թեորեմը կապ է հաստատում եռանկյան կողմերի երկարությունների և երկու կողմերի միջև ընկած անկյան կոսինուսի միջև։

Թեորմի ձևակերպումը.

Եռանկյան ցանկացած կողմի քառակուսին հավասար է մյուս երկու կողմերի քառակուսիների գումարին՝ հանած այդ կողմերի և նրանցով կազմված անկյան կոսինուսի կրկնապատիկ արտադրյալը՝

$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma \$։

Այն հանդիսանում է Պյութագորասի թեորեմի ընդհանրացված տարբերակը։ Երբ γ անկյունը ուղիղ է (90^° կամ π/2 ռադիան), կոսինուսների թեորեմը վերածվում է Պյութագորասի թեորեմին.

$c^{2}=a^{2}+b^{2}\,$

Եռանկյան տարբեր կողմերի միջև ընկած անկյունները ընտրելիս՝ այն կստանա հետևյալ տեսքը.

$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos \alpha \,$

$b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cos \beta \,$։

Ապացույց եռանկյունաչափական մեթոդով

Նկար 1

c կողմին ուղղահայաց տարեք (Նկար 1). այդ դեպքում

$c=a\cos \beta +b\cos \alpha \,.$

Երկու կողմերը բազմապատկելով c-ով՝, կստանաք

$c^{2}=ac\cos \beta +bc\cos \alpha .\,$

Մյուս ուղղահայացները տանելով՝ կստանաք

$a^{2}=ac\cos \beta +ab\cos \gamma ,\,$

$b^{2}=bc\cos \alpha +ab\cos \gamma .\,$

Վերջին երկու հավասարությունները գումարելով՝ կստանաք

$a^{2}+b^{2}=ac\cos \beta +bc\cos \alpha +2ab\cos \gamma .\,$

Առաջին հավասարումը երկրորդ հավասարումից հանելով՝ կստանանք

$a^{2}+b^{2}-c^{2}=-ac\cos \beta -bc\cos \alpha +ac\cos \beta +bc\cos \alpha +2ab\cos \gamma \,$,

որը կարելի է պարզեցնել հետևյալ տեսքի.

$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma .\,$

Այս ապացուցման հարմարությունն այն է, որ կարիք չկա առանձին դիտարկել սուր և բութ γ անկյան դեպքերը։

Ապացույց վեկտորների օգտագործմամբ

Թեորեմը կարելի է ապացուցել՝ օգտվելով վեկտորների գումարման կանոնից և վեկտորների սկալյար արտադրյալի բանաձևից

${\vec {b}}\cdot {\vec {c}}=\Vert {\vec {b}}\Vert \Vert {\vec {c}}\Vert \cos \theta$։

Նկար 2 — Վեկտորական եռանկյուն

Նկար 2-ից երևում է, որ

${\vec {a}}={\vec {b}}-{\vec {c}}\,,$։

Հաշվի առնելով դա՝

${\begin{aligned}\Vert {\vec {a}}\Vert ^{2}&=\Vert {\vec {b}}-{\vec {c}}\Vert ^{2}\\&=({\vec {b}}-{\vec {c}})\cdot ({\vec {b}}-{\vec {c}})\\&=\Vert {\vec {b}}\Vert ^{2}+\Vert {\vec {c}}\Vert ^{2}-2{\vec {b}}\cdot {\vec {c}}.\end{aligned}}$։

Այսպիսով, ստացանք

$\Vert {\vec {a}}\Vert ^{2}=\Vert {\vec {b}}\Vert ^{2}+\Vert {\vec {c}}\Vert ^{2}-2\Vert {\vec {b}}\Vert \Vert {\vec {c}}\Vert \cos(\theta ),\,$

որը համարժեք է կոսինուսների թեորեմի հավասարմանը։