Ինյեկցիա, սյուրյեկցիա և բիյեկցիա

	սյուրյեկտիվ	ոչ սյուրյեկտիվ
ինյեկտիվ	բիյեկտիվ	միայն ինյեկտիվ
ոչ ինյեկտիվ	միայն սյուրյեկտիվ	ընդհանուր

Ինյեկցիան, սյուրյեկցիան և բիյեկցիան մաթեմատիկական ֆունկցիաների դասեր են, որոնք տարբերակվում են նրանով, թե ինչ արգումենտներ (մուտքային արժեքներ որոշման տիրույթից) և արժեքների բազմություն (ելքային արժեքներ արժեքների տիրույթից) են կապված կամ արտապատկերված իրար մեջ։

Ֆունկցիան արտապատկերում է էլեմենտներ իր որոշման տիրույթից արժեքների տիրույթի էլեմենտների վրա։ Տրված է հետևյալ ֆունկցիան $f\colon X\to Y$ ․

Ֆունկցիան ինյեկտիվ (օբյեկտիվ) է, եթե արժեքների տիրույթի ցանկացած էլեմենտ արտապատկերված է ամենաշատը մեկ էլեմենտով, որը գտնվում է որոշման տիրույթում, կամ նույնն է ասել, որ որոշման տիրույթի որոշ արժեքներ արտապատկերված են արժեքների տիրույթի որոշ էլեմենտների մեջ^[1]։ Մաթեմատիկորեն՝

\forall x,x'\in X,f(x)=f(x')\implies x=x',

կամ, նույնն է ասել (օգտագործելով տրամաբանական փոխադրումը)․

\forall x,x'\in X,x\neq x'\implies f(x)\neq f(x')

^[2]^[3]^[4]։

Ֆունկցիան սյուրյետիվ (սուբյեկտիվ) է, եթե արժեքների տիրույթի ցանկացած էլեմենտ արտապատկերված է գոնե մեկ էլեմենտի մեջ, որը գտնվում է որոշման տիրույթում, կամ նույնն է ասել, որ ֆունկցիայի արժեքների բազմությունը և արժեքների տիրույթը իրար հավասար են։ Մաթեմատիկորեն՝

\forall y\in Y,\exists x\in X{\text{ such that }}y=f(x)

^[2]^[3]^[4]։

Ֆունկցիան բիյեկտիվ է, եթե արժեքների տիրույթի ցանկացած էլեմենտ արտապատկերված է միայն ու միայն մեկ որոշման տիրույթի էլեմենտով, նույնն է ասել, որ ֆունկցիան և՛ ինյեկտիվ է, և՛ սյուրյեկտիվ։ Բիյկետիվ ֆունկցիան կոչվում է նաև բիյեկցիա^[1]^[2]^[3]^[4]։ Այսպիսով, միացնելով ինյեկտիվ և սյույեկտիվ ֆունկցիաների սահմանումները, ստանում ենք հետևյալը․

\forall y\in Y,\exists !x\in X{\text{ such that }}y=f(x),

որտեղ $\exists !x$ -ը նշանակում է «գոյություն ունի միայն մեկ x»:

Ցանկացած դեպքում (ցանկացած ֆունկցիայի համար), կա հետևյալ նույնությունը․

\forall x\in X,\exists !y\in Y{\text{ such that }}y=f(x)

։

Ինյեկտիվ ֆունկցիան պարտադիր չէ, որ լինի սյուրյեկտիվ (արժեքների տիրույթի ոչ բոլոր էլեմենտները կարող են կապված լինել արգումենտների հետ), և սյուրյեկտիվ ֆունկցիան պարտադիր չէ, որ լինի իկնյեկտիվ (արժեքների բազմության որոշ էլեմենտներ կարող են կապված լինել մեկից ավելի արգումենտով)։ Չորս հնարավոր կապվածությունը ֆունկցիայի որոշման և արժեքների տիրույթի միջև ցուցադրված է կից դիագրամում։

Ինյեկցիա[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Ֆունկցիան ինյեկտիվ (oբյեկտիվ) է, եթե արժեքների տիրույթի ցանկացած էլեմենտ արտապատկերված է ամենաշատը մեկ էլեմենտով, որը գտնվում է որոշման տիրույթում, կամ նույնն է ասել, որ որոշման տիրույթի որոշ արժեքներ արտապատկերված են արժեքների տիրույթի որոշ էլեմենտների մեջ։ Ինյեկտիվ ֆունկցիան ինյեկցիա է^[1]։ Պաշտոնական սահմանումը հետևյալն է․

Ֆունկցիան $f\colon X\to Y$ ինյեկտիվ է, եթե բոլոր $x,x'\in X$ , $f(x)=f(x')\Rightarrow x=x'$ ^[2]^[3]^[4]։

Որոշ փաստեր կապված ինյեցիաների հետ․

Ֆունկցիան $f\colon X\to Y$ ինյեկտիվ է, միայն և միայն այն դեպքում, երբ $X$ -ը դատարկ է, կամ $f$ -ը ձախ-դարձելի է, որը նշանակում է, որ կա այնպիսի $g\colon f(X)\to X$ ֆունկցիա, որ $g\circ f=I$ (ֆունկցիա, որի մուտքային և ելքային արժեքները նույնն են) $X$ -ի վրա։ Այստեղ $f(X)$ -ը $f$ -ի արժեքների բազմության համապատասխան արժեքն է։
Քանի որ ցանկացած ֆունկցիա սյուրյեկտիվ է, երբ իր արժեքների տիրույթը սահմանափակված է արժեքների բազմությամբ, ամեն ինյեկցիա ձգում է բեյեկցիայի իր արժեքների բազմության վրա։ Ավելի կոնկրետ ասված, ամեն ինյեկցիա $f\colon X\to Y$ կարող է ֆակտորիզացվել բիեկցիայի,եթե կինի նաև սյույեկտիվ։ Ենթադրենք $f_{R}\colon X\rightarrow f(X)$ -ը ֆունկցիա է, որը ունի արժեքների տիրույթ սահմանափակված արժեքների բազմության մեջ, և ենթադրենք $i\colon f(X)\to Y$ -ն ներառման արտապատկերումն է $f(X)$ -ից դեպի $Y$ ։ Հետևաբար, $f=i\circ f_{R}$ ։
Երկու ինյեկիցաների համադրույթը ինյեկիցա է, բայց, եթե $g\circ f$ -ը ինյեկտիվ է, հետևաբար կարող է միայն հետևել, որ $f$ -ը ինյեկտիվ է։
Ցանկացած ներառված ֆունկցիա ինյեկտիվ է։

Սյուրյեկցիա[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Ֆունկցիան սյուրյետիվ (սուբյեկտիվ) է, եթե արժեքների տիրույթի ցանկացած էլեմենտ արտապատկերված է գոնե մեկ էլեմենտի մեջ, որը գտնվում է որոշման տիրույթում, կամ նույնն է ասել, որ արժեքների տիրույթի ամեն էլեմենտ ունի իր ոչ դատարկ նախապատկերը։ Նույնն է ասել, որ ֆունկցիայի արժեքների բազմությունը և արժեքների տիրույթը իրար հավասար են։ Սյույեկտիվ ֆունկցիան սյուրյեկցիա է^[1]։ Պաշտոնական սահմանումը հետևյալն է․

Ֆունկցիան $f\colon X\to Y$ ինյեկտիվ է, եթե բոլոր $y\in Y$ , գոյություն ունի $x\in X$ այնպես, որ $f(x)=y$ ^[2]^[3]^[4]։

Որոշ փաստեր կապված սյուրյեկցիաների հետ․

Ֆունկցիան $f\colon X\to Y$ սյուրյետիվ է միայն և միայն այն դեպքում, երբ այն աջ-դարձելի է, նույնն է ասել, որ, միայն և միայն այն դեպքում, երբ գոյություն ունի ֆունկցիա $g\colon Y\to X$ , որ $f\circ g=I$ (ֆունկցիա, որի մուտքային և ելքային արժեքները նույնն են) $Y$ -ի վրա(այս պնդումը նույնն է, ինչ ընտրության աքսիոմը)։
Տրված ֆիքսված պատկերի վրա արտապատկերվող բոլոր արգումենտների փլուզմամբ՝ յուրաքանչյուր երևույթ առաջացնում է բիյեկցիա իր տիրույթի գործակից բազմությունից դեպի իր արժեքների տիրույթը։ Ավելի կոնկրետ, $f$ -ի ներքո գտնվող $f$ -ի արժեքների բազմության էլեմենտների նախապատկերները համարժեքության կապի համարժեքության դասերն են $f$ -ի արժեքների որոշման տիրույթի վրա, այնպես, որ x-ը և y-ը հավասար են միայն ու միայն այն դեպքում, եթե նրանք ունեն նույն պատկերը $f$ -ի տակ։ Քանի որ այս համարժեքության դասերից որևէ մեկի բոլոր տարրերը արտապատկերված են $f$ արժեքների տիրույթի միևնույն տարրի վրա, դա առաջացնում է բիյեկցիա այս համարժեքության քանորդների բազմության (համարժեքության դասերի բազմության) և $f$ -ի պատկերի միջև (որն է նրա արժեքների բազմությունն է, երբ $f$ -ը սյուրյեկտիվ է)։ Ավելին, $f$ -ը $f$ -ից դեպի քանորդների բազմություն կանոնիկալ պրոյեկցիայի և քանորդների բազմության և $f$ -ի արժեքների տիրույթի բիյկեկցիայի համադրույթ է։
Երկու սյուրյեկցիաների համադրույթը սյուրյեկցիա է, բայց, եթե $g\circ f$ -ը սյուրյեկտիվ է, այդտեղից միայն կարող է հետևել,որ $g$ -ն է սյուրյեկտիվ։

Բիյեկցիա[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Ֆունկցիան բիյեկտիվ է, եթե ֆունկցիան և՛ ինյեկտիվ է, և՛ սյուրյեկտիվ։ Բիյկետիվ ֆունկցիան կոչվում է նաև բիյեկցիա։ Ֆունկցիան բիյեկտիվ է, եթե արժեքների տիրույթի ցանկացած էլեմենտ արտապատկերված է միայն ու միայն մեկ որոշման տիրույթի էլեմենտով^[1]։ Պաշտոնական սահմանումը հետևյալն է․

Ֆունկցիան

f\colon X\to Y

բիյեկտիվ է, եթե բոլոր

y\in Y

, գոյություն ունի բացառիկ

x\in X

,այնպես, որ

f(x)=y

^[2]^[3]^[4]:

Որոշ փաստեր կապված սյուրյեկցիաների հետ․

Ֆունկցիան $f\colon X\to Y$ բիյեկտիվ է միայն և միայն այն դեպքում, եթե այն դարձելի է, այսինքն կա այնպիսի $g\colon Y\to X$ ֆունկցիա, որ $g\circ f=I$ (ֆունկցիա, որի մուտքային և ելքային արժեքները նույնն են) $Y$ -ի վրա։ Ֆունկցիան արտապատկերում է ցանկացած պատկեր իր նախապատկերին։
Երկու բիյեկցիաների կոմպոզիցիան կրկին բիյեկիցա է, բայց եթե $g\circ f$ -ը բիյեկցիա է, հետևաբար կարող ենք միայն հետևություն կատարել, որ $f$ -ը ինյեկտիվ է և $g$ -ն սյուրյեկտիվ է։
Բիյեկցիաները բազմությունից դեպի իրենց կազմում են համադրույթ խմբի ներքո և կոչվում են սիմետրիկ խումբ։

Հզորություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Ենթադրենք, որ ցանկանում ենք սահմանել, թե ինչ է նշանակում «երկու բազմություններ ունեն նույն քանակով էլեմենտներ»։ Սահմանման մի ձև է ասել, որ «ունեն նույն քանակով էլեմենտներ», միայն և միայն անդ դեպքում, եթե բազմության բոլոր էլեմենտները կարող են զուգավորվել իրար հետ, այնպիսի ձևով, որ էլեմենտը զուգավորվածմէ միայն մեկ էլեմենտի հետ։ Հետևաբար, կարող ենք սահմանել այսպես․ «ունեն նույն քանակով էլեմենտներ», եթե կա բիյեկցիա նրանց միջև։ Այս դեպքում, կարող ենք ասել, որ բազմությունները ունեն նույն հզորությունը։

Նմանապես, կարող ենք ասել, որ $X$ -ը «ունի ավելի քիչ կամ նույն քանակի էլեմենտներ», ինչպես $Y$ -ը, եթե կա ինյեկցիա $X$ -ից $Y$ ։ Կարող ենք նաև ասել, որ $X$ -ը «ունի ավելի քիչ քանակի էլեմենտներ քան» $Y$ բազմությունում, եթե կա ինյեկցիա $X$ -ից $Y$ , բայց չկա բիյեցիա $X$ -ի և $Y$ -ի միջև։

Օրինակներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Կարևոր է մասնավորեցնել որոշման և արժեքների տիրույթը ամեն ֆունկցիայի համար, քանի որ, փոխելով դրանք, ֆունկցիաները, որոնք նույնն են, կարող են ունենալ տարբեր հատկանիշներ կախված տիրույթներից։

Ինյեկտիվ և սյուրյեկտիվ (բիյեկտիվ)

idX

ֆունկցիան (ֆունկցիա, որի մուտքային և ելքային արժեքները նույնն են) ամեն ոչ դատարկ

X

բազմության համար և, հետևաբար, մասնավորապես

\mathbf {R} \to \mathbf {R} :x\mapsto x

։

\mathbf {R} ^{+}\to \mathbf {R} ^{+}:x\mapsto x^{2}

, և հետևաբար, նաև իր հակադարձը,

\mathbf {R} ^{+}\to \mathbf {R} ^{+}:x\mapsto {\sqrt {x}}.

Ցուցչային ֆունկցիան

\exp \colon \mathbf {R} \to \mathbf {R} ^{+}:x\mapsto \mathrm {e} ^{x}

(այն է, ցուցչային ֆունկցիան իր արժեքների տիրույթի հետ սահմանափակված իր արժեքների բազմությամբ), հետևաբար դրա ինվերսը բնական լոգարիթմն է

\ln \colon \mathbf {R} ^{+}\to \mathbf {R} :x\mapsto \ln {x}

։

Ինյեկտիվ և ոչ սյուրյեկտիվ: Ցուցչային ֆունկցիան $\exp \colon \mathbf {R} \to \mathbf {R} :x\mapsto \mathrm {e} ^{x}.$

Ոչ ինյեկտիվ և սյուրյեկտիվ: $\mathbf {R} \to \mathbf {R} :x\mapsto (x-1)x(x+1)=x^{3}-x.$; $\mathbf {R} \to [-1,1]:x\mapsto \sin(x).$

Ոչ ինյեկտիվ և ոչ սյուրյեկտիվ: $\mathbf {R} \to \mathbf {R} :x\mapsto \sin(x).$

Հատկություններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Ամեն $f$ ֆունկցիա, որը $X$ -ի որոշման տիրույթի և $Y$ -ի արժեքների տիրույթի ենթաբազմություն է, $X \subset f -1 (f (X))$ և $f (f -1 (Y)) \subset Y$ ։ Եթե $f$ -ը ինյեկտիվ է, հետևաբար $X = f -1 (f (X))$ , և եթե $f$ -ը սյուրյեկտիվ է, հետևաբար, $f (f -1 (Y)) = Y$ ։
Ամեն $h : X \to Y$ , կարող է սահմանվել որպես սյուրյեկցիա $H : X \to h (X) : x \to h (x)$ և ինյեկցիա $I : h (X) \to Y : y \to y$ ։ Դրանից հետևում է, որ $I\circ H=h$ :

Դեկոմպոզիցիան բացառիկ համարժեք իզոմորֆություն է։

Կատեգորիայի թեորիա[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Բազմությունների կատեգորիայում, ինյեկցիաները, սյուրյեկցիաները և բիյեկցիաները համապատասխանում են կոնկրետ մոնոմորֆությանը, էֆիմորֆությանը և իզոմորֆությանը համապատասխանաբար^[5]։

Ծանոթագրություններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

↑ ^1,0 ^1,1 ^1,2 ^1,3 ^1,4 «Injective, Surjective and Bijective». www.mathsisfun.com. Վերցված է 2019 թ․ դեկտեմբերի 7-ին.
↑ ^2,0 ^2,1 ^2,2 ^2,3 ^2,4 ^2,5 «Bijection, Injection, And Surjection | Brilliant Math & Science Wiki». brilliant.org (ամերիկյան անգլերեն). Վերցված է 2019 թ․ դեկտեմբերի 7-ին.
↑ ^3,0 ^3,1 ^3,2 ^3,3 ^3,4 ^3,5 Farlow, S. J. «Injections, Surjections, and Bijections» (PDF). math.umaine.edu. Վերցված է 2019 թ․ դեկտեմբերի 6-ին.
↑ ^4,0 ^4,1 ^4,2 ^4,3 ^4,4 ^4,5 «6.3: Injections, Surjections, and Bijections». Mathematics LibreTexts (անգլերեն). 2017 թ․ սեպտեմբերի 20. Վերցված է 2019 թ․ դեկտեմբերի 7-ին.
↑ «Section 7.3 (00V5): Injective and surjective maps of presheaves—The Stacks project». stacks.math.columbia.edu. Վերցված է 2019 թ․ դեկտեմբերի 7-ին.

Արտաքին հղումներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Earliest Uses of Some of the Words of Mathematics: entry on Injection, Surjection and Bijection has the history of Injection and related terms.

[:1-1] 1,0 ^1,1 ^1,2 ^1,3 ^1,4 «Injective, Surjective and Bijective». www.mathsisfun.com. Վերցված է 2019 թ․ դեկտեմբերի 7-ին.

[:2-2] 2,0 ^2,1 ^2,2 ^2,3 ^2,4 ^2,5 «Bijection, Injection, And Surjection | Brilliant Math & Science Wiki». brilliant.org (ամերիկյան անգլերեն). Վերցված է 2019 թ․ դեկտեմբերի 7-ին.

[:3-3] 3,0 ^3,1 ^3,2 ^3,3 ^3,4 ^3,5 Farlow, S. J. «Injections, Surjections, and Bijections» (PDF). math.umaine.edu. Վերցված է 2019 թ․ դեկտեմբերի 6-ին.

[:4-4] 4,0 ^4,1 ^4,2 ^4,3 ^4,4 ^4,5 «6.3: Injections, Surjections, and Bijections». Mathematics LibreTexts (անգլերեն). 2017 թ․ սեպտեմբերի 20. Վերցված է 2019 թ․ դեկտեմբերի 7-ին.

[5] «Section 7.3 (00V5): Injective and surjective maps of presheaves—The Stacks project». stacks.math.columbia.edu. Վերցված է 2019 թ․ դեկտեմբերի 7-ին.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]