Տատանողական կոնտուր

Տատանողական կոնտուր, օսցիլյատոր, որն իրենից ներկայացնում է էլեկտրական շղթա, որը պարունակում է իրար միացված (զուգորդված) ինդուկտիվություն ու կոնդենսատոր։ Նման շղթայում կարող են առաջանալ հոսանքի (ինչպես նաև լարման) տատանումներ։

Տատանողական կոնտուրը պարզագույն համակարգ է, որի մեջ կարող են ի հայտ գալ ազատ էլեկտրամագնիսական տատանումներ։ Կոնտուրի ռեզոնանսային հաճախականությունը կարող է բնութագրվել այսպես կոչված Թոմսոնի բանաձևով։

$f_{0}={1 \over 2\pi {\sqrt {LC}}}$

Շահագործման սկզբունքը

Ենթադրենք C ունակությամբ կոնդենսատորը լիցքավորված է մինչև U_0 լարում։ Կոնդենսատորուի էներգիան կլինի. C(U^2)/2

Կոնդենսատորը կոճի ինդուկտիվության հետ միացնելիս շղթայի մեջ կհոսի հոսանք, ինչը կոճում կառաջացնի էլեկտրաշարժիչ ինքնաինդուկցիայի ուժ, որը ուղղված կլինի շղթայում հոսանքի նվազեցմանը։ Հոսանքը, որն առաջանում է այդ էլեկտրաշարժիչ ուժի հետևանքով (այն պայմանով, որ ինդուկտիվության կորուստ չի լինի) սկզբնականում հավասար կլինի կոնդենսատորի լիցքի հոսանքին, այսինքն ` արդյունահան հոսանքը հավասար կլինի զրոյի։ Գագաթի մագնիսական հոսանքը այդ սկզբնական պահին հավասար է զրոյի։

Այնուհետև շղթայում արդյունահան հոսանքը կաճի, իսկ կոնդենսատորի էներգիան կանցնի կոճ մինչ կոնդենսատորի լիակատար լիցքաթափումը։ Այդ պահին կոնդենսատորի էլետրական էներգիան հավասար է` $E_{C}=0$։ Իսկ ահա մագնիսական էներգիան, որը կենտրոնացված է կաճում, հակառակը, առավելագույնն է ու հավասար.

$E_{L}={\frac {LI_{0}^{2}}{2}}$, Որտեղ $L$ — ը կոճի ինդուկտիվությունն է, $I_{0}$ — ը` հոսանքի առավելագույն արժեքը։ Դրանից հետո կսկսվի կոնդենսատորի վերալիցքավորում, այսինքն` հակառակ բևեռի լարումով կոնդենսատորի լիցքավորում։ Վերալիցքավորումը կլինի այնքան ժամանակ, քանի կոճի մագնիսական էներգիան չի վերածվել կոնդենսատորի էլեկտրական էներգիայի։ Կոնդենսատորը, այդ դեպքում, նորից կլիցքավորվի մինչև $-U_{0}$ լարում։

Արդյունքում շղթայում առաջանում են տատանումներ, որոնց տևողությունը հակառակ համեմատական է կոնտուրի ներսում էներգիայի կորուստներին։ Ընդհանուր առմամբ, վեր նկարագրված գործընթացները զուգահեռ տատանողական կոնտուրներում կոչվում են հոսանքների ռեզոնանսներ, ինչը նշանակում է, որ ինդուկտիվության և ունակության շրջանակներում հոսում են հոսանքներ, տոկի մեծ մասը հոսում է ամբողջ կոնտուրով, ըստ որում՝ այդ հոսանքները ավելին են որոշակի թիվ անգամ, որը կոչվում է դիմացկունություն։ Այդ մեծ հոսանքերը չեն լքում կոնտուրի սահմանները, քանի որ դրանք հակափուլային են ու իրենք իրենց են փոխհատուցում։ Պետք է նշել նաև, որ զուգահեռ տատանողական կոնտուրի դիմադրությունը ռեզոնանսային հաճախության մեջ ձգտում է անսահմանության (ի տարբերություն հաջորդական տատանողական կոնտուրի, որի դիմադրությունը ռեզոնանսային հաճախականության շրջանակներում ձգտում է զրոյի), իսկ դա նրան անփոխարինելի ֆիլտրի է վերածում։

Պետք է նշել, որ պարզագույն տատանողական կոնտուրին զուգահեռ գոյություն ունեն նաև առաջին, երկրորդ և երրորդ տեսակի տատանողական կոնտուրներ, որոք հաշվի են առնում կորուստները ու ունեն այլ առանձնահատկություններ։

Գործընթացների մաթեմատիկական նկարագրությունը

Ինդուկտիվության իդեալական կոճի վրա առկա լարումը ընթացիկ հոսանքի փոփոխման դեպքում.

$u_{L}=-L{\frac {di_{L}}{dt}}$

Հոսանքը, որն անցնոմ է իդեալական կոնդեսատորի միջով, այն պայմանով, որ նրանում առկա լարումը փոփոխվում է.

$i_{C}=C{\frac {du_{C}}{dt}}$

Կիրխհոֆի կանոններից, որոնք նախատեսված են շղթայի համար, որը կազմված է զուգահեռաբար միացված կոնդենսատորից ու կոճից հետևում է, որ.

$u_{L}=u_{C}$, — լարումների համար,

և

$i_{C}=i_{L}$ —հոսանքների համար։

Համատեղ լուծելով տարբերակված հավասարումների համակարգը (տարբերակելով հավասարումներից մեկը ու տեղադրելով մյուսի մեջ) մենք ստանում ենք՝

${\frac {d^{2}i(t)}{dt^{2}}}+{\frac {1}{LC}}i(t)=0$

Սա սեփական $\omega ={\frac {1}{\sqrt {LC}}}$ տատանումների շրջափուլային հաճախականությամբ ներդաշնակ տատանակի տարբերակված, դիֆերենցիալ հավասարումն է (այն կոչվում է ներդաշնակ տատանակի սեփական հաճախականություն)։ Երկրորդ կարգի այս հավասարման լուծում է հանդիսանում արտահայտությունը, որը կախված է երկու սկզբնական պայմաններից.

$i(t)=I_{a}\sin({\omega }t+\varphi )$

որտեղ $I_{a}$ — ը որոէ անփոփոխ թիվ է, որը բնորոշվում է սկզբնական պայմաններով, որոնք կոչվում են տատանումների ամպլիտուդա, $\varphi$ —ն ևս որոշակի մշտական է, որը կախված է սկզբնական պայմաներից, որոնք կոչվում են սկզբանական փուլ։

Օրինակ, $\varphi =0$ սկզբնական պայմանների ու ամպլիտուդային կզբնական $I_{a}$ հոսանքի դեպքում լուծումը հանգեցվում է.

$~i(t)=I_{a}\sin({\omega }t)$

Լուծումը կարող է գրառվել հետևյալ տեսքով.

$~i(t)=I_{a1}\sin({\omega }t)+I_{a2}\cos({\omega }t)$

Որտեղ $I_{a1}$ և $I_{a2}$ — нը որոշակի կոնստանտներ են, որոնք կապված են $I_{a}$ ամպլիտուդայի ու $\varphi$ շրջափուլի հետ հետևյալ եռանկյունաչափական հարաբերակցություններով.

$~I_{a1}=I_{a}\cos {(\varphi )}$,

$~I_{a2}=I_{a}\sin {(\varphi )}$.

Տատանողական կոնտուրի կոմպլեքսային դիմադրությունը (իմպեդանս)

Տատանողական կոնտուրը կարող է դիտարկվել որպես երկբևեռային, որն իրենից ներկայացնում է կոնդենսատորի ու ինդուկտիվության կոճի զուգահեռ միացում։ Նման երկբևեռայինի կոմպլեքսային դիմադրությունը կարելի է գրառել որպես

${\hat {z}}(i\omega )\;={\frac {i\omega L}{1-\omega ^{2}LC}}$

որտեղ i — ն թվացյալ միավոր է։

Նման երկբևեռայինի համար կարող է բնորոշվել բնութագրական հաճախականություն (կամ էլ ռեզոնանսային հաճախականություն), երբ տատանողական կոնտուրի իմպեդանսը ձգտում է անսահմանության։ Այդ հաճախականությունը հավասար է.

$\omega _{h}={\frac {1}{\sqrt {LC}}}$

և համընկնում է իր արժեքով տատանողական կոնտուրի սեփական հաճախության հետ։

Այս հավասարումից ենթադրվում է, որ միևնույն հաճախականության վրա կարող են աշխատել բազում կոնտուրներ L և C տարատեսակ մեծություններով, բայց միատեսակ LC արտադրմամբ։