«Սեղան (երկրաչափություն)»–ի խմբագրումների տարբերություն

Դիտել պատմությունը

← Նախորդ տարբ Հաջորդ տարբ →

Content deleted Content added

ՎիզուալԵլատեքստ

Գծային

06:47, 12 Օգոստոսի 2018-ի տարբերակ

Անվան այլ կիրառումների համար տե՛ս՝ Սեղան (այլ կիրառումներ)

Սեղան, երկրաչափական պատկեր, ուռուցիկ քառանկյուն, որի երկու հակադիր կողմերը զուգահեռ են միմյանց, իսկ մյուս երկուսը՝ ոչ։

Սեղանի զուգահեռ կողմերը կոչվում են հիմքեր։ (Օրինակ՝ նկարում AB-ն սեղանի փոքր հիմքն է, DC-ն՝ մեծ հիմքը)

Սեղանի ոչ զուգահեռ կողմերը կոչվում են սրունքներ։ (Օրինակ՝ նկարում AD-ն, BC-ն)

Սեղանները կարող են լինել հավասարասրուն և ուղղանկյուն։ Հավասարասրուն սեղան է կոչվում այն սեղանը, որի սրունքները (կողմնային կողերը) հավասար են միմյանց։ Իսկ ուղղանկյուն սեղան է կոչվում այն սեղանը, որի սրունքներից մեկը ուղղահայաց է հիմքերին^[1]^[2]։

Սեղանի տարրերի սահմանումներ

Սեղանի տարրեր

Զուգահեռ կողմերը կոչվում են հիմքեր․
2 մյուս կողմերը կոչվում են սրունքներ.
Սրունքների միջնակետերը միացնող գիծը կոչվում է միջնագիծ.

Սեղանների տեսակները

Այն սեղանները, որոնց սրունքները հավասար են կոչվում են հավասարասրուն^[3] ^[4] սեղաններ.
Այն սեղանը, որն ունի ուղիղ անկյուն, կոչվում է ուղղանկյուն սեղան։ե

Հավասարասրուն սեղան
Ուղղանկյուն սեղան

Ընդհանուր հատկություններ

Սեղանի բարձրությունը

h={\sqrt {c^{2}-{\frac {1}{4}}\left({\frac {c^{2}-d^{2}}{b-a}}+b-a\right)^{2}}}

որտեղ

b

— մեծ հիմքն է,

a

— փոքր հիմքն է,

c

и

d

— սրունքներ.

$d_{1}$ և $d_{2}$ անկյունագծերը, և կողմերը կապված են

d_{1}^{2}+d_{2}^{2}=2ab+c^{2}+d^{2}

արտահայտությամբ։

Անկյունագծերը արտահայտվում են՝

d_{1}=AC={\sqrt {ab+d^{2}+{\frac {b(c^{2}-d^{2})}{b-a}}}}

d_{2}=BD={\sqrt {ab+c^{2}-{\frac {b(c^{2}-d^{2})}{b-a}}}}

Եվ ընդհակառակը՝

a={\sqrt {\frac {(c^{2}-d_{1}^{2})^{2}-(d^{2}-d_{2}^{2})^{2}}{2(c^{2}-d^{2}+d_{1}^{2}-d_{2}^{2})}}}

b={\sqrt {\frac {(c^{2}-d_{2}^{2})^{2}-(d^{2}-d_{1}^{2})^{2}}{2(c^{2}-d^{2}-d_{1}^{2}+d_{2}^{2})}}}

c={\sqrt {\frac {a(d_{2}^{2}-b^{2})+b(d_{1}^{2}-a^{2})}{a+b}}}

d={\sqrt {\frac {a(d_{1}^{2}-b^{2})+b(d_{2}^{2}-a^{2})}{a+b}}}

Եթե հայտնի է

h

բարձրությունը,ապա

d_{1}={\sqrt {b^{2}+d^{2}-2b{\sqrt {d^{2}-h^{2}}}}}={\sqrt {h^{2}+\left(b-{\sqrt {d^{2}-h^{2}}}\right)^{2}}}

d_{2}={\sqrt {b^{2}+c^{2}-2b{\sqrt {c^{2}-h^{2}}}}}={\sqrt {h^{2}+\left(b-{\sqrt {c^{2}-h^{2}}}\right)^{2}}}

Ներգծված և արտագծված շրջանագծեր

Արտագծված շրջանագծի շառավիղը՝

R={\frac {bcd_{1}}{4{\sqrt {p(p-b)(p-c)(p-d_{1})}}}}={\sqrt {\frac {ab+c^{2}}{4-\left({\frac {b-a}{c}}\right)^{2}}}}

որտեղ

p={\frac {1}{2}}(b+c+d_{1})\,,\,c

— սրունք,

b

— մեծ հիմք,

a

— փոքր հիմք,

d_{1}=d_{2}

— հավասարասրուն սեղանի անկյունագծերը

Եթե $a+b=2c$ , ապա հավասարասրուն սեղանին կարելի է ներգծել,

r={\frac {h}{2}}={\frac {\sqrt {ab}}{2}}

շառավղով շրջանագիծ։

Սեղանի մակերեսը

$a$ և $b$ սեղանի հիմքերի և $h$ — բարձրության միջոցով՝

S={\frac {(a+b)}{2}}h

$m$ միջին գծի և $h$ բարձրության միջոցով՝

S=\displaystyle mh

միջին գիծը հավասար է հիմքերի կիսագումարին՝

m={\frac {(a+b)}{2}}

սեղանի մակերեսը $a$ , $b$ հիմքերի և $c$ և $d$ ոչ զուգահեռ կողմերի միջոցով՝

S={\frac {a+b}{4|a-b|}}{\sqrt {(a+c+d-b)(a+d-b-c)(a+c-b-d)(b+c+d-a)}}.

հավասարակողմ սեղանի մակերեսը $r$ ներգծված շրջանագծի շառավիղի և հիմքին կից $\alpha$ անկյան միջոցով՝

S={\frac {4r^{2}}{\sin {\alpha }}}

մասնավորապես, եթե տվյալ անկյունը 30° է, ապա

S=\displaystyle 8r^{2}

հավասարակողմ սեղանի մակերեսը $c$ կողմի և $a$ մեծ հիմքին կից $\gamma$ անկյան միջացով։

S=(a-c\cos {\gamma })c\sin {\gamma }=(b+c\cos {\gamma })c\sin {\gamma }

Ծանոթագրություն

↑ Wolfram MathWorld
↑ Вся элементарная математика
↑ Коллектив авторов Современный справочник школьника. 5-11 классы. Все предметы. — Litres, 2015-09-03. — С. 82. — 482 с. — ISBN 9785457410022
↑ М. И. Сканави Элементарная математика. — 2013. — С. 437. — 611 с. — ISBN 9785458254489

[1] Wolfram MathWorld

[2] Вся элементарная математика

[3] Коллектив авторов Современный справочник школьника. 5-11 классы. Все предметы. — Litres, 2015-09-03. — С. 82. — 482 с. — ISBN 9785457410022

[4] М. И. Сканави Элементарная математика. — 2013. — С. 437. — 611 с. — ISBN 9785458254489

[1]

[2]

[3]

[4]

@@ Տող 21. / Տող 21. @@
 === Սեղանների տեսակները ===
 * Այն սեղանները, որոնց սրունքները հավասար են կոչվում են հավասարասրուն<ref>{{Книга|автор=Коллектив авторов|заглавие=Современный справочник школьника. 5-11 классы. Все предметы|ссылка=https://books.google.com/books?id=YRmFAQAAQBAJ|издательство=Litres|год=2015-09-03|страницы=82|страниц=482|столбцы=|isbn=9785457410022}}</ref> <ref>{{Книга|автор=М. И. Сканави|заглавие=Элементарная математика|ссылка=https://books.google.com/books?id=6EX6AgAAQBAJ&pg=PA437|издательство=|год=2013|страницы=437|страниц=611|isbn=9785458254489}}</ref> սեղաններ.
-* Այն սեղանը, որն ունի ուղիղ անկյուն, կոչվում է ուղղանկյուն սեղան։
+* Այն սեղանը, որն ունի ուղիղ անկյուն, կոչվում է ուղղանկյուն սեղան։ե
 <gallery>
 Պատկեր:Trapezoid2 1.png|Հավասարասրուն սեղան
@@ Տող 28. / Տող 28. @@
 == Ընդհանուր հատկություններ ==
-{{Mainref|<ref>{{книга | заглавие = Четырёхугольники | ссылка =http://math4school.ru/chetyrehugolniki.html
+* Սեղանի բարձրությունը
-}}</ref>}}
-* Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.
-* Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен половине разности оснований и лежит на средней линии.
-* (Обобщённая [[теорема Фалеса]]). Параллельные прямые, пересекающие стороны [[угол|угла]], отсекают от сторон угла пропорциональные отрезки.
-* В трапецию можно вписать окружность, если сумма длин оснований трапеции равна сумме длин её боковых сторон.
-* Отрезок, параллельный основаниям и проходящий через точку пересечения диагоналей, делится последней пополам и равен <math>\frac{2xy}{x+y}</math> [[Среднее гармоническое|среднему гармоническому]] длин оснований трапеции (формула Буракова).
-* Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений её боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой.
-* Если сумма углов при любом основании трапеции равна 90°, то отрезок, соединяющий середины оснований, равен их [[wikt:полуразность|полуразности]].
-* Треугольники, лежащие на основаниях при пересечении диагоналей, [[Подобие треугольников|подобные]].
-* Треугольники, лежащие на боковых сторонах, равновеликие.
-* Если отношение оснований равно <math>K</math>, то отношение площадей треугольников, лежащих на основаниях, равно <math>K^2</math>.
-* Высота трапеции определяется формулой:
 :: <math> h=\sqrt{c^2-\frac 14 \left ( \frac{c^2-d^2}{b-a}+b-a\right )^2}</math>
-: где <math> b </math> — большее основание, <math> a </math> — меньшее основание, <math> c </math> и <math> d </math> — боковые стороны.
+: որտեղ <math> b </math> — մեծ հիմքն է, <math> a </math> — փոքր հիմքն է, <math> c </math> и <math> d </math> — սրունքներ.
-* Диагонали трапеции <math> d_1</math> и <math> d_2 </math> связаны со сторонами соотношением:
+*<math> d_1</math>և <math> d_2 </math>անկյունագծերը, և կողմերը կապված են
-:: <math>d_1^2+d_2^2=2ab+c^2+d^2 </math>
+::<math>d_1^2+d_2^2=2ab+c^2+d^2 </math>  արտահայտությամբ։
-: Их можно выразить в явном виде:
+: Անկյունագծերը արտահայտվում են՝
-:: <math> d_1=AC=\sqrt{ab+d^2+\frac{b(c^2-d^2)}{b-a}}</math>
+::<math> d_1=AC=\sqrt{ab+d^2+\frac{b(c^2-d^2)}{b-a}}</math>
 :: <math> d_2=BD=\sqrt{ab+c^2-\frac{b(c^2-d^2)}{b-a}}</math>
+: Եվ ընդհակառակը՝
-: Если, наоборот, известны боковые стороны и диагонали, то основания выражаются формулами:
-:: <math>a=\sqrt{\frac{(c^2-d_1^2)^2-(d^2-d_2^2)^2}{2(c^2-d^2+d_1^2-d_2^2)}}</math>
+::<math>a=\sqrt{\frac{(c^2-d_1^2)^2-(d^2-d_2^2)^2}{2(c^2-d^2+d_1^2-d_2^2)}}</math>
 :: <math>b=\sqrt{\frac{(c^2-d_2^2)^2-(d^2-d_1^2)^2}{2(c^2-d^2-d_1^2+d_2^2)}}</math>
+::<math>c=\sqrt{\frac{a(d_2^2-b^2)+b(d_1^2-a^2)}{a+b}}</math>
-:: а при известных основаниях и диагоналях боковые стороны следующие:
-:: <math>c=\sqrt{\frac{a(d_2^2-b^2)+b(d_1^2-a^2)}{a+b}}</math>
+::<math>d=\sqrt{\frac{a(d_1^2-b^2)+b(d_2^2-a^2)}{a+b}}</math>
+: Եթե հայտնի է<math> h </math> բարձրությունը,ապա
-:: <math>d=\sqrt{\frac{a(d_1^2-b^2)+b(d_2^2-a^2)}{a+b}}</math>
+::<math>d_1=\sqrt{b^2+d^2-2b\sqrt{d^2-h^2}}=\sqrt{h^2+\left (b-\sqrt{d^2-h^2} \right )^2}</math>
-: Если же известна высота <math> h </math>, то
-:: <math>d_1=\sqrt{b^2+d^2-2b\sqrt{d^2-h^2}}=\sqrt{h^2+\left (b-\sqrt{d^2-h^2} \right )^2}</math>
 :: <math>d_2=\sqrt{b^2+c^2-2b\sqrt{c^2-h^2}}=\sqrt{h^2+\left (b-\sqrt{c^2-h^2} \right )^2}</math>
+== Ներգծված և արտագծված շրջանագծեր ==
-== Свойства и признаки равнобедренной трапеции ==
-Трапеция является равнобедренной тогда и только тогда, когда выполнено любое из следующих эквивалентных условий:
-* прямая, которая проходит через середины оснований, перпендикулярна основаниям (то есть является осью симметрии трапеции);
-* высота, опущенная из вершины на большее основание, делит его на два отрезка, один из которых равен полусумме оснований, другой — полуразности оснований;
-* углы при любом основании равны;
-* сумма противоположных углов равна 180°;
-* длины диагоналей равны;
-* вокруг этой трапеции можно описать окружность;
-* вершинами этой трапеции также являются вершины некоторого [[антипараллелограмм]]а.
+* Արտագծված շրջանագծի շառավիղը՝
-Кроме того
-* если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований.
-== Вписанная и описанная окружность ==
-{{Нет ссылок|В этом разделе|дата=6 июля 2015}}
-* Если сумма оснований трапеции равна сумме боковых сторон, то в неё можно [[Вписанная окружность|вписать]] [[окружность]]. Средняя линия в этом случае равна сумме боковых сторон, делённой на 2 (так как средняя линия трапеции равна полусумме оснований).
-* В трапеции её боковая сторона видна из центра вписанной окружности под углом 90°.
-* Если трапеция равнобедренная, то около неё можно [[Описанная окружность|описать]] [[окружность]].
-* Радиус описанной окружности равнобедренной трапеции:{{нет АИ|6|07|2015}}
 :: <math>R=\frac{bcd_1}{4\sqrt{p(p-b)(p-c)(p-d_1)}}=\sqrt{\frac{ab+c^2}{4-\left ( \frac{b-a}{c}\right )^2}}</math>
-: где <math>p=\frac 12 (b+c+d_1) \, , \,   c</math> — боковая сторона, <math>b</math> — бо́льшее основание, <math>a</math> — меньшее основание, <math> d_1=d_2 </math> — диагонали равнобедренной трапеции.
+: որտեղ <math>p=\frac 12 (b+c+d_1) \, , \,   c</math> — սրունք, <math>b</math> — մեծ հիմք, <math>a</math> — փոքր հիմք, <math> d_1=d_2 </math> — հավասարասրուն սեղանի անկյունագծերը
+* Եթե <math>a+b=2c </math>, ապա հավասարասրուն սեղանին կարելի է ներգծել,
-* Если <math>a+b=2c </math>, то в равнобедренную трапецию можно вписать окружность радиуса
-:: <math>r=\frac h2=\frac{\sqrt{ab}}{2}</math>
+::<math>r=\frac h2=\frac{\sqrt{ab}}{2}</math>  շառավղով շրջանագիծ։
-* Если в трапецию [[Вписанная окружность|вписана]] [[окружность]] с радиусом <math>r</math>, и она делит боковую сторону точкой касания на два отрезка — <math>v</math> и <math>w</math> — то <math>r = \sqrt{vw}</math>.
 == Սեղանի մակերեսը ==
@@ Տող 101. / Տող 76. @@
 [[Կատեգորիա:Քառանկյուններ]]
+== Ծանոթագրություն ==
-{{Անավարտ}}