Դելտաէդր
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/eb/Icosahedron.jpg/220px-Icosahedron.jpg)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b0/Triangulated_truncated_tetrahedron.png/220px-Triangulated_truncated_tetrahedron.png)
Դելտաէդր, բազմանիստ, որի բոլոր նիստերը հանդիսանում են կանոնավոր եռանկյուններ։ Անվանումը վերցրված է հունական մեծատառ դելտա տառից (), որն ունի կանոնավոր եռանկյան տեսք։ Գոյություն ունի անթիվ շատ դելտաէդրեր, բայց դրանցից միայն 8-ն են ուռուցիկ, և դրանք ունեն 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 և 20 նիստեր[1]։
Ութ դելտաէդրերից յուրաքանչյուրի նիստերի, կողերի և գագաթների թիվը թվարկված են ներքևում։
Ուռուցիկ դելտաէդրեր
[խմբագրել | խմբագրել կոդը]Գոյություն ունի ընդամենը 8 ուռուցիկ դելտաէդր[2], որոնցից 3-ը հանդիսանում են պլատոնյան մարմիններ, իսկ 5-ը՝ Ջոնսոնի բազմանիստեր։
6 նիստերով դելտաէդրի որոշ գագաթներ ունեն 3 կարգ, իսկ որոշները՝ 4 կարգ։ 10, 12, 14 և 16 նիստերով դելտաէդրերում որոշ գագաթներ ունեն 4 կարգ, իսկ որոշներն էլ՝ 5 կարգ։ Այդ հինգ ոչ կանոնավոր դելտաէդրերը պատկանում են կանոնավորանիստ բազմանիստերի (որպես նիստ կանոնավոր բազմանկյուններով ուռուցիկ բազմանիստերի) դասին։
Գոյություն չունի 18 նիստերով ուռուցիկ դելտաէդր[3]։ Սակայն ձգված կողով իկոսաէդրը տալիս է օկտաէդրի օրինակ, որը կարող է լինել կամ 18 ոչ կանոնավոր նիստերով, կամ երկու զույգ երեքական հավասարակողմ եռանկյուններով՝ ընկած մի հարթության մեջ։
Կանոնավոր դելտաէդրեր | ||||||
---|---|---|---|---|---|---|
Անվանում | Պատկեր | Գագաթների թիվ |
Կողերի թիվ |
Նիստերի թիվ |
Գագաթի կոնֆիգուրացիա | Սիմետրիայի խումբ |
Կանոնավոր տետրաէդր | ![]() |
4 | 6 | 4 | 4 × 33 | Td, [3,3] |
Կանոնավոր օկտաէդր (քառանկյուն երկբուրգ) | ![]() |
6 | 12 | 8 | 6 × 34 | Oh, [4,3] |
Կանոնավոր իկոսաէդր | ![]() |
12 | 30 | 20 | 12 × 35 | Ih, [5,3] |
Ջոնսոնի դելտաէդրեր | ||||||
Եռանկյուն երկբուրգ | ![]() |
5 | 9 | 6 | 2 × 33 3 × 34 |
D3h, [3,2] |
Հնգանկյուն երկբուրգ | ![]() |
7 | 15 | 10 | 5 × 34 2 × 35 |
D5h, [5,2] |
Հարթաքիթ երկլինոիդ | ![]() |
8 | 18 | 12 | 4 × 34 4 × 35 |
D2d, [2,2] |
Եռակի աճացրած եռանկյուն բուրգ | ![]() |
9 | 21 | 14 | 3 × 34 6 × 35 |
D3h, [3,2] |
Պտտած երկարացրած քառանկյուն երկբուրգ | ![]() |
10 | 24 | 16 | 2 × 34 8 × 35 |
D4d, [4,2] |
Ոչ խիստ ուռուցիկ դեպքեր
[խմբագրել | խմբագրել կոդը]Գոյություն ունի կոպլանար եռանկյուններով (միևնույն հարթության մեջ ընկած) անթիվ շատ դելտաէդրեր։ Եթե կոպլանար եռանկյունների բազմությունը հանդիսանում են մի նիստ, կարելի է հաշվել քիչ նիստեր, կողեր և գագաթներ։ Կոպլանար եռանկյուն նիստերը կարող են ձուլվել շեղանկյուն, սեղանակերպ, վեցանկյուն կամ այլ հավասարակողմ բազմանկյուն նիստերի։ Յուրաքանչյուր նիստ պետք է լինի ուռուցիկ պոլիամոնդ, այնպես, ինչպես ,
,
,
,
,
,
և
, ...[4]
Որոշ ոչ մեծ օրինակներ
Պատկեր | Անվանում | Նիստեր | Կողեր | Գագաթներ | Գագաթի կոնֆիգուրացիա | Սիմետրիայի խումբ |
---|---|---|---|---|---|---|
![]() |
Կցանած օկտաէդր Կցանում. 1 տետրաէդր + 1 օկտաէդր |
10 ![]() |
15 | 7 | 1 × 33 3 × 34 3 × 35 0 × 36 |
C3v, [3] |
4 ![]() 3 ![]() |
12 | |||||
![]() |
Եռանկյուն տրապեցոէդր Կցանում. 2 տետրաէդր + 1 օկտաէդր |
12 ![]() |
18 | 8 | 2 × 33 0 × 34 6 × 35 0 × 36 |
C3v, [3] |
6 ![]() |
12 | |||||
![]() |
Կցանում. 2 տետրաէդր + 1 օկտաէդր |
12 ![]() |
18 | 8 | 2 × 33 1 × 34 4 × 35 1 × 36 |
C2v, [2] |
2 ![]() 2 ![]() 2 ![]() |
11 | 7 | ||||
![]() |
Եռանկյուն հատած բուրգ Կցանում. 3 տետրաէդր + 1 օկտաէդր |
14 ![]() |
21 | 9 | 3 × 33 0 × 34 3 × 35 3 × 36 |
C3v, [3] |
1 ![]() 3 ![]() 1 ![]() |
9 | 6 | ||||
![]() |
Երկարացված օկտաէդր Կցանում. 2 տետրաէդր + 2 օկտաէդր |
16 ![]() |
24 | 10 | 0 × 33 4 × 34 4 × 35 2 × 36 |
D2h, [2,2] |
4 ![]() 4 ![]() |
12 | 6 | ||||
![]() |
Քառանիստ Կցանում. 4 տետրաէդր + 1 օկտաէդր |
16 ![]() |
24 | 10 | 4 × 33 0 × 34 0 × 35 6 × 36 |
Td, [3,3] |
4 ![]() |
6 | 4 | ||||
![]() |
Կցանում. 3 տետրաէդր + 2 օկտաէդր |
18 ![]() |
27 | 11 | 1 × 33 2 × 34 5 × 35 3 × 36 |
D2h, [2,2] |
2 ![]() 1 ![]() 2 ![]() 2 ![]() |
14 | 9 | ||||
![]() |
Ձգված կողով իկոսաէդր | 18 ![]() |
27 | 11 | 0 × 33 2 × 34 8 × 35 1 × 36 |
C2v, [2] |
12 ![]() 2 ![]() |
22 | 10 | ||||
![]() |
Երկհատած երկբուրգ Կցանում. 6 տետրաէդր + 2 օկտաէդր |
20 ![]() |
30 | 12 | 0 × 33 3 × 34 6 × 35 3 × 36 |
D3h, [3,2] |
2 ![]() 6 ![]() |
15 | 9 | ||||
![]() |
Եռաթեք գմբեթ Կցանում. 4 տետրաէդր + 3 օկտաէդր |
22 ![]() |
33 | 13 | 0 × 33 3 × 34 6 × 35 4 × 36 |
C3v, [3] |
3 ![]() 3 ![]() 1 ![]() 1 ![]() |
15 | 9 | ||||
![]() |
Եռանկյուն երկբուրգ Կցանում. 8 տետրաէդր + 2 օկտաէդր |
24 ![]() |
36 | 14 | 2 × 33 3 × 34 0 × 35 9 × 36 |
D3h, [3] |
6 ![]() |
9 | 5 | ||||
![]() |
Վեցանկյուն անտիպրիզմա | 24 ![]() |
36 | 14 | 0 × 33 0 × 34 12 × 35 2 × 36 |
D6d, [12,2+] |
12 ![]() 2 ![]() |
24 | 12 | ||||
![]() |
Հատած տետրաէդր Կցանում. 6 տետրաէդր + 4 օկտաէդր |
28 ![]() |
42 | 16 | 0 × 33 0 × 34 12 × 35 4 × 36 |
Td, [3,3] |
4 ![]() 4 ![]() |
18 | 12 | ||||
![]() |
Տետրակիսխորանարդօկտաէդր Օկտաէդր Կցանում. 8 տետրաէդր + 6 օկտաէդր |
32 ![]() |
24 | 18 | 0 × 33 12 × 34 0 × 35 6 × 36 |
Oh, [4,3] |
8 ![]() |
12 | 6 |
Ոչ ուռուցիկ դելտաէդրեր
[խմբագրել | խմբագրել կոդը]Գոյություն ունեն անթիվ շատ ոչ ուռուցիկ և տորոիդալ դելտաէդրեր։
Ինքնահատվող նիստերով դելտաէդրի օրինակ
Ոչ ուռուցիկ այլ դելտաէդրեր կարելի է ստանալ բոլոր հինգ կանոնավոր նիստերին բուրգեր ավելացնելու ճանապարհով.
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
Եռակիստետրաէդր | Տետրակիսհեքսաէդր | Եռակիսօկտաէդր (stella octangula) |
Պենտակիսդոդեկաէդր | Եռակիսիկոսաէդր |
---|---|---|---|---|
12 եռանկյուններ | 24 եռանկյուններ | 60 եռանկյուններ |
Տետրաէդրերի այլ կցանումներ.
![]() |
![]() |
![]() |
8 եռանկյուններ | 10 եռանկյուններ | 12 եռանկյուններ |
---|
Ինչպես նաև շրջված բուրգերի նիստերի ավելացման եղանակով.
- Ակոսավոր դոդեկաեդր.
![]() Ակոսավոր դոդեկաեդր |
![]() Տորոիդալ դելտաէդր |
60 եռանկյուններ | 48 եռանկյուններ |
---|
Ծանոթագրություններ
[խմբագրել | խմբագրել կոդը]- ↑ Freudenthal, van der Waerden, 1947, էջ 115–128
- ↑ «Ուռուցիկ դելտաէդրեր». Արխիվացված է օրիգինալից 2020 թ․ սեպտեմբերի 26-ին. Վերցված է 2020 թ․ հոկտեմբերի 22-ին.
- ↑ Trigg, 1978, էջ 55–57
- ↑ The Convex Deltahedra And the Allowance of Coplanar Faces
Գրականություն
[խմբագրել | խմբագրել կոդը]- Freudenthal H., van der Waerden B. L. Over een bewering van Euclides ("On an Assertion of Euclid") // Simon Stevin. — 1947. — Т. 25. — С. 115–128. (Авторы показали, что существует только 8 выпуклых дельтаэдров. )
- Charles W. Trigg An Infinite Class of Deltahedra // Mathematics Magazine. — 1978. — В. 1. — Т. 51. — С. 55–57.