Քվանտային ներդաշնակ օսցիլյատոր

Վիքիպեդիայից՝ ազատ հանրագիտարանից
Jump to navigation Jump to search

Քվանտային ներդաշնակ օսցիլյատոր, սովորական հարմոնիկ օսցիլյատորի քվանտային անալոգը: Այս դեպքում դիտարկվում են ոչ թե մասնիկի վրա ազդող ուժերը, այլ համիլտոնյանը, այսինքն հարմոնիկ օսցիլյատորի լրիվ էներգիան, ընդ որում՝ պոտենցիալ էներգիան կոորդինատից ունի քառակուսային կախվածություն:

Քվանտային հարմոնիկ օսցիլյատորի մոդելը ծառայում է մոլեկուլների տատանողական շարժման առաջին մոտավորությամբ ուսումնասիրման համար:

Ավելի ճշգրիտ հաշվարկների (օրինակ տատանման մեծ լայնույթով տատանումների դեպքում) կարելի է կիրառել պոտենցիալների ավելի ճշգրիտ մոդելներ, օրինակ՝ Մորզեի պոտենցիալ:

Քվանտային հարմոնիկ օսիլյատորը քվանտային համակարգ է, որի համար ստացվում է Շրյոդինգերի հավասարման ճշգրիտ լուծումը:

Հարմոնիկ օսցիլյատորի խնդիրը կոորդինատական ներկայացմամբ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

վիճակների համար ալիքային ֆունկցիաների տեսքը ալիքային ներկայացմամբ:

m զանգվածով և ω սեփական հաճախությամբ քվանտային օսցիլյատորի համիլտոնյանը ունի հետևյալ տեսքը՝

:
Կոորդինատական ներկայացմամբ՝ , : Հարմոնիկ օսցիլյատորի էներգիական մակարդակների որոնման խնդիրը բերվում է այնպիսի E թվերի որոշմանը, որոնց դեպքում հետևյալ դիֆերենցիալ հավասարումը ունի լուծում՝
:
Անվերջությունում ալիքային ֆունկցիայի անվերջ նվազման պայմանից հետևում է, որ լուծում կստացվի էներգիաների հետևյալ ընդհատ արժեքների դեպքում՝

Վերջնական պատասխանը ունի հետևյալ տեսքը՝

որտեղ Էրմիտի բազմանդամներն են՝
:
Վերոնշյալ E-ի սպեկտրը հետաքրքրություն է ներկայացնում 2 պատճառով: Նախ՝ էներգիական մակարդակները դիսկրետ են և էներգիական մակարդակների տարերությունը հաստատուն է և հավասար է , հետո՝ փոքրագույն էներգիան հավասար է : Այդ մակարդակը կոչվում է հիմնական, վակուում կամ զրոյական տատանման մակարդակ:

Առաջացման և վերացման օպերատոր[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Հարմոնիկ օսցիլյատորի սպեկտրը ավելի հեշտ ստացվում է առաջացման և վերացման օպերատորների օգնությամբ:

Առաջացման օպերատոր՝

:

Վերացման օպերատոր՝

:

Նրանց կոմենտատորը ստացվում է հետևյալ կերպ՝

:

Առաջացման և վերացման օպերատորների միջոցով համիլտոնյանը գրվում է հետևյալ կերպ՝

, որտեղ մակարդակի համարի օպերատորն է:

Ոչ հարմոնիկ օսցիլյատոր[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Ոչ հարմոնիկ օսցիլյատորի դեպքում պոտենցիալ էներգիան կոորդինատից ոչ քառակուսային է կախված: Էներգիայի արտահայտության համար վերցնում են Թեյլորի շարքի մինչև երրորդ անդամը՝
:
Առաջացման և վերացման օպերատորների միջոցով խորանարդային անդամը ունի հետևյալ տեսքը՝
:

Տես նաև[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Գրականություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

  • Լ. Դ. Լանդաու, Ե. Մ. Լիֆշից, «Քվանտային մեխանիկա (ոչ ռելյատիվիստիկ տեսություն)», 1974: