Գծային հանրահաշվում որոշիչը (կամ դետերմինանտը) սկալյար մեծություն է, որը կարող է հաշվվել և դրվել միանշանակ համապատասխանության ցանկացած քառակուսի մատրիցի։
մատրիցի որոշիչը նշանակվում է հետևյալ ձևերով՝
,
կամ
[1]։
չափի
քառակուսի մատրիցի որոշիչը, տրված
կոմուտատիվ օղակի վրա, հանդիսանում է
օղակի էլեմենտ, որը հաշվվում է ներքևում բերված բանաձևով։
Այն «որոշում է»
մատրիցի հատկությունը։ Մասնավորապես,
մատրիցը հակադարձելի է այն և միայն այն դեպքում, երբ նրա որոշիչը հանդիսանում է
օղակի շրջելի տարր։
Այն դեպքում, երբ
-ը դաշտ է,
մատրիցի որոշիչը հավասար է զրոյի այն և միայն այն դեպքում, երբ
մատրիցայի ռանգը փոքր է
-ից կամ, եթե
մատրիցի տողերի և սյուների համակարգը հանդիսանում է գծային կախված։
Որոշիչների տեսությունն առաջացել է գծային հավասարումների համակարգի լուծման հետ կապված։
Որոշիչի հասկացությանն առավել մոտեցել են հին չինական «Մաթեմատիկան ինը գրքերում» դասագրքերի հեղինակները[2]։
Եվրոպայում 2×2 մատրիցի որոշիչը հանդիպում է XVI դարում Կարդանոյի մոտ։ Ավելի բարձր չափերի համար Լեյբնիցը այն սահմանել է 1693 թվականին։ Առաջին հրապարակումը պատկանում է Կրամերին։ Որոշիչների տեսությունը ստեղծվել է Վանդերմոնդի, Լապլասի, Կոշիի և Յակոբիի կողմից։ Առաջին անգամ «որոշիչ» տերմինը հանդիպում է Գաուսի մոտ։
Ճապոնացի մաթեմատիկոս Սեկի Տակակաձուն որոշիչը օգտագործեց անկախ 1683 թվականին[3]։
չափի
քառակուսի մատրիցի համար նրա
որոշիչը հաշվվում է հետևյալ բանաձևով՝
,
որտեղ գումարումը կատարվում է բոլոր
թվերի
վերադասավորումներով, իսկ
նշանակում է ինվերսիաների թիվը
վերադասավորումներում։
Այսպիսով, որոշիչում մտնում են
գումարելիներ, որոնք անվանվում են նաև «որոշիչի անդամներ»։
Համարժեք բանաձևը՝
,
որտեղ
գործակիցները (Լևի-Չիվի սիմվոլներ) հավասար են՝
- 0, եթե ոչ բոլոր
ինդեքսներն են տարբեր,
- 1, եթե բոլոր
ինդեքսները տարբեր են և
վերադասավորումները զույգ են,
- −1, եթե բոլոր
ինդեքսները տարբեր են և
վերադասավորումները կենտ են։
Ասիմպտոտիկ կառուցում (հատկությունների հիման վրա որոշում)[խմբագրել | խմբագրել կոդը]
Որոշիչի հասկացությունը կարող է ներդրվել իր հատկության հիման վրա։ Մասնավորապես, իրական մատրիցի որոշիչ կոչվում է
ֆունկցիան, որը բավարարում է երեք պայմանների[4]՝
—
մատրիցի տողերի (սյուների) կոսոսիմետրիկ ֆունկցիա,
—
մատրիցի տողերի (սյուների) պոլիգծային ֆունկցիա,
, որտեղ
-ն
չափի միավոր մատրից է։
Առաջին կարգի մատրիցի դետերմինանտի արժեքը հավասար է այդ մաատրիցի միակ էլեմենտին՝

2×2 մատրիցի որոշիչի հաշվարկի սխեման
Զուգահեռագծի մակերեսը հավասար է մատրիցի որոշիչի մոդուլին, որը ձևավորվում է զուգահեռագծի կողմերի վեկտորներով
մատրիցի համար որոշիչը հաշվվում է հետևյալ ձևով՝

Այս
մատրիցը կարող է դիտարկվել ինչպես գծային արտապատկերման մատրից՝ ձևափոխված միավոր քառակուսուց (0, 0), (a, b), (a + c, b + d) և (c, d) գագաթներով զուգահեռագծից։
որոշիչի բացարձակ արժեքը հավասար է այդ զուգահեռակողմի մակերեսին, և, այսպիսով, ցույց է տալիս գործակիցը, որի վրա մասշտաբայնացվում է մակերեսը
-ի փոխակերպման դեպքում։
Որոշիչի նշանով արժեքը (զուգահեռագծի «օրենտավորված մակերես») գործակցից բացի նույնպես ցույց է տալիս մասշտաբայնացումը, այն կատարում է
-ի փոխակերպման արտապատկերում։
մատրիցի որոշիչը կարելի է որոշել հետևյալ բանաձևով՝


Երրորդ կարգի որոշչի հարմար հաշվարկի համար կարելի է օգտվել Սարյուսի կանոնից կամ եռանկյան կանոնից։
Մատրիցի որոշիչը, որը կազմված է
վեկտորներից, հավասար է աջ դեկարտյան կոորդինատների համակարգի խառը արտադրյալին։ Նմանապես երկչափ դեպքում, այդ մատրիցի որոշիչը հավասար է զուգահեռակողմի օրենտավորված ծավալին, ձգված
-ով։
Ընհանուր դեպքում,
կարգի մատրիցի համար (2-րդ կարգից մեծ) որոշիչը կարելի է հաշվել, կիրառելով ռեկուրսիայի հետևյալ բանաձևը՝
, որտեղ
-ն
տարրի լրացուցիչ մինորն է։ Այս բանաձևը կոչվում է տրոհում ըստ տողերի։
Դժվար չէ ապացուցել, որ մատրիցի տրանսպոնացման դեպքում նրա որոշիչը չի փոխվում (այլ կերպ ասած, նմանատիպ տրոհումը ըստ առաջին սյան նույնպես ճշմարիտ է, այսինքն, տալիս է նույն արդյունքը, ինչպես նաև ըստ տողի նրա տրոհումը)՝
։
Նույնպես ճշմարիտ է նմանատիպ տրոհումը ցանկացած տողի (սյան) համար՝
։
Ապացույց
դիցուք
.
Ինդուկցիայի մեթոդով ապացուցենք, որ
։
Հեշտ է տեսնել, որ
մատրիցի համար այն ճիշտ է՝

Ենթադրենք, որ
կարգի մատրիցի համար
ճշմարիտ է։

Գործակիցները
-ի համար՝






Գործակիցները
-ի համար՝





Վերը նշված բանաձևերի ընդհանրացումը հանդիսանում է դետերմինանտի տրոհումը ըստ Լապլասի (Լապլասի թեորեմը), որը հնարավորություն է տալիս հաշվել որոշիչը ցանկացած
տողով (սյունով)՝
։
որտեղ
մատրիցներ են, որոնք ստացվում են հիմնական մատրիցից համապատասխան տեղերի և սյուների ջնջման միջոցով։
Այս հատկությունները արտացոլում են որոշիչների տեսության հիմնական արդյունքները, որոնց կիրառությունը դուրս է գալիս այս տեսության սահմաններից՝
(միավոր մատրիցի որոշիչը հավասար է 1-ի);
(
չափի մատրիցների տարածության վրա որոշիչը հանդիսանում է
աստիճանի միատար ֆունկցիա);
(Մատրիցի որոշիչը չի փոխվում նրա տրանսպոնացման դեպքում);
(Մատրիցների արտադրյալի որոշիչը հավասար է նրանց որոշիչների արտադրյալին,
և
մատրիցները նույն կարգի քառակուսային մատրիցներ են);
, ընդ որում
մատրիցը հակադարձելի է այն և միայն այն դեպքում, երբ հակադարձելի է նրա
որոշիչը;
- Գոյություն ունի
հավասարման ոչզրոյական լուծում այն և միայն այն դեպքում, երբ
(կամ էլ
-ը պետք է լինի ոչհասարակ զրոյի բաժանարար այն դեպքում, երբ
-ը ոչամբողջական օղակ է)։
Որոշիչը որպես տողերի (սյուների) մատրիցի ֆունկցիա[խմբագրել | խմբագրել կոդը]
Որոշիչների տեսությունը ուսումնասիրելիս օգտակար է հաշվի առնել, որ այդ տեսության հիմքում ընկած է մատրիցի տողերով և սյուներով մանիպուլիացիան՝ մշակված Կարլ Ֆրիդրիխ Գաուսի (Գաուսի ձևափոխում) կողմից։ Այդ ձևափոխությունների էությունը տանում է մատրիցների տողերի (սյուների) և նրանց տեղափոխությունների վրա գծային գործողությունների։ Այդ ձևափոխությունները բավականին պարզ ձևով արտացոլվում են որոշիչի վրա և նրանց ուսումնասիրությունը հարմար է սկզբնական մատրիցը «մասնատել» տողերի (կամ սյուների) և ընդունել որոշիչը որպես ֆունկցիա, որոշված տողերի (սյուների) հավաքածուի վրա։ Հետագայում
տառերով նշանակվում են
մատրիցի տողերը (սյուները)։
- 1. Որոշիչ - մատրիցի տողերի (սյուների) բազմագծային ֆունկցիա։
Բազմագծայնությունը նշանակում է յուրաքանչյուր արգումենտով ֆունկցիայի գծայնություն մյուս արգումենտների ֆիկսած արժեքների դեպքում՝

- 2. Որոշիչ - մատրիցի տողերի (սյուների) կոսիմետրիկ ֆունկցիա, այսինքն, մատրիցի երկու տողերի (սյուների) տեղափոխման արդյունքում նրա որոշիչը բազմապատկվում է −1-ով։

- 3. Եթե մատրիցի երկու տողեր (սյուներ) համընկնում են, ապա նրա որոշիչը հավասար է զրոյի՝

Ուշադրություն։ 1-3 հատկությունները հանդիսանում են որոշիչի հիմնական հատկություններ որպես տողերի (սյուների) ֆունկցիա, որոնք հեշտ է ապացուցել անմիջապես իրենց սահմանումներից։ 2-րդ հատկությունը (կոսիմետրիկությունը) հանդիսանում է 1-ին և 3-րդ հատկությունների տրամաբանական հետևանքը։ 3-րդ հատկությունը հանդիսանում է 2-րդ հատկության տրամաբանական հետևանքը, եթե
օղակում 2-րդ տարրը (այսինքն, 1 + 1) չի համընկնում զրոյին և չի հանդիսանում զրոյի բաժանարար։ 1-ին և 3-րդ հատկություններից հետևում են նաև այսպիսի հատկություններ՝
- 4. Որոշիչի ինչ-որ տողի (սյան) էլեմենտների ընդհանուր արտադրիչը կարելի է դուրս բերել որպես որոշիչի նշան (1-ին հատկության հետևանք)։
- 5. Եթե մատրիցի գոնե մի տող (սյուն) զրոյական է, ապա որոշիչը հավասար է զրոյի (4-րդ հատկության հետևանք)։
- 6. Եթե մատրիցի երկու (կամ ավելի) տողեր (սյուներ) գծային կախված, ապա նրա որոշիչըհավասար է զրոյի (1-ին և 3-րդ հատկությունների հետևանք)։
- 7. Ցանկացած տողին (սյանը) այլ տողի (սյան) գծային կոմբինացիայի ավելացման դեպքում որոշիչի արժեքը չի փոխվում (1-ին և 6-րդ հատկությունների հետևանք)։
Փաստը, որն ունի հիմնարար նշանակություն, հանդիսանում է որոշիչի ունիվերսալությունը որպես ամբողջական ռանգի բազմագծային կոսիմետրիկ ֆունկցիա, որի արգումենտները հանդիսանում են
(կամ վերջավոր բազիսով
-ի
մոդուլը) վեկտորային տարածության տարրեր։ Ճշմարիտ է հետևյալը՝
- Թեորեմ։ դիցուք
-ն
-րդ կարգի ազատ
մոդուլն է (
-նիշային վեկտորային տարածություն
-ի վրա, եթե
-ը դաշտ է)։ դիցուք
-ը
-նիշային ֆունկցիա է
-ի վրա, որը բավարարում է 1-ից 3-րդ հատկություններին։ Այդ դեպքում
տարածության
բազիսի ընտրության դեպքում գոյություն ունի այնպիսի
հաստատուն, որ ցանկացած
արժեքների դեպքում ճշմատրտ է հավասարությունը՝
,
որտեղ
-ը
վեկտորի սյան կոորդինատն է
բազիսի նկատմամբ։
Ապացույց
վեկտորները տրոհենք ըստ
:
բազիսների։
Այդ դեպքում նրանց կհամապատասխանի հետևյալ
սյունները։
Հաշվի առնելով
ֆունկցիայի բազմագծայնությունը
։
Համաձայն 3-րդ հատկության, եթե
ինդեկսներում կան համընկնողներ, ապա
։
Հակառակ դեպքում, կոսիմետրիկության պատճառով (հատկություն 2), կստացվի՝
։
Այսպիսով,
, որտեղ
։
դիցուք
երեք վեկտորներ են
տարածությունում։ Նրանք ձևավորում են զուգահեռանիստ, որի գագաթները գտնվում են
շառավիղ-վեկտորների կետերիում։ Այդ զուգահեռանիստը կարող է ձևավորվել, եթե
վեկտորները կոմպլանար են (գտնվում են մի հարթության վրա, գծային կախված են)։
օրենտավորված ծավալի ֆունկցիան որոշվում է որպես զուգահեռանիստի ծավալ, ձևավորված այդ վեկտորներով, և վերցված են «+» նշանով, եթե
վեկտորների եռյակը դրական է օրենտացված, և «-» նշանով, եթե այն օրենտացված է բացասական։
ֆունկցիան բազմագծային է և կոսիմետրիկ։ Ակնհայտ է, որ 3-րդ հատկությունը կատարված է։ Այս ֆունկցիայի բազմագծայնությունը ապացուցելու համար բավական է ապացուցել նրա գծայնությունն ըստ
վեկտորի։ Եթե
վեկտորը գծային կախված է,
-ի արժեքը կլինի զրոյական, անկախ
վեկտորից, և նշանակում է, նրանից գծային կախված է։ Եթե
վեկտորը գծային կախված է, նշանակենք
-ով միավոր նոմինալ վեկտորը
վեկտորների հարթության վրա այնպիսին, որ
։ Այդ դեպքում զուգահեռանիստի օրիենտավորված ծավալը հավասար է հիմքի մակերեսի, որը կազմված է
վեկտորներով, և
վեկտորից չկախված և
վեկտորի պրոյեկցիայի հիմքի նորմալի հանրահաշվական մեծության, որը հավասար է
սկալյար մեծությունների արտադրյալին և հանդիսանում է մեծություն, որը գծային կախված է
վեկտորին։ Ըստ
-ի գծայնությունը ապացուցված է, և նմանատիպ ձևով ապացուցվում է մնացած արգումենտներով գծայնույունը։
Կիրառելով որոշիչի որոշիչի ունիվերսալության թեորեմը որպես կոսիմետրիկ բազմագծային ֆունկցիա, կստանանք, որ
տարածության
օրթոնորմավորված բազիսի ընտրության դեպքում՝
,
որտեղ
-ը
վեկտորի կոորդինատներն են ընտրված բազիսում։
Այսպիսով, վեկտորների գործակիցների մատրիցայի որոշիչը ըստ օրթոնորմավորված բազիսի ունի զուգահեռանիստի օրենտավորված ծավալի իմաստ, կառուցված այդ վեկտորներով։
Վերոնշյալները առանց էական փոփոխության տեղափոխվում է կամայական չափի
տարածության վրա։
- ↑ Ի․Ն․ Բրոնշտեյն, Կ․Ա․ Սեմենդյաև, «Մաթեմատիկայի տեղեկագիրք ինժեներների և բուհ ընդունվողների համար», 13-րդ հրատ․, լրամշակված, Մոսկվա, Նաուկա, 1986, էջ 157
- ↑ Է. Ի. Բերյոզկինա, Հին Չինաստանի մաթեմատիկան, Մ․, Նաուկա, 1980 թ․
- ↑ H. W. Eves, An Introduction to the History of Mathematics, Saunders College Publishing, 1990
- ↑ «Լ․Ա․ Սկորնյակով», Հանրահաշվի տարրերը, Մ․, Նաուկա, 1986, էջեր 16-23, Տպաքանակ - 21 000 հատ