Մասնակից:MHamlet/Սևագրություն/1

Վիքիպեդիայից՝ ազատ հանրագիտարանից
Jump to navigation Jump to search

Թվերի տեսության մեջ Կրամերի վարկածը, որն ձևակերպվել է Շվեդ մաթեմատիկոս Հարալդ Կրամերի կողմից 1936թ․–ին,[1] հաջորդական պարզ թվերի միջև միջակայքերի չափսի գնահատումն է․ հաջորդական պարզ թվերի միջև միջակայքերն միշտ փոքր են, ուստի վարկածը քանակապես ցույց է տալիս, թե որքան փոքր կարող են լինել դրանք։ Այն պնդում է, որ

որտեղ pn–ը n–րդ պարզ թիվն է, O–ն՝ մեծ O նշանակումը, "log"–ը՝ բնական լոգարիթմը։ Թեև այս մասին Կրամերը ընդամենը ենթադրել է, սակայն նրա փաստարկը իրականում աջակցվում է հետևյալ հզոր պնդման կողմից՝

և այս ձևակերպումն գրականության մեջ հաճախ անվանում են Կրամերի վարկած։

Կրամերի վարկածի ոչ մի ձևակերպում մինչև այսօր ապացուցված չէ, սակայն հերքված էլ չէ։

Էվրիստիկական հիմնավորումը[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Կրամերի վարկածը հիմնված է պարզ թվերի բախշման հավանականության (իրապես էվրիստիկական) մոդելի վրա, որում ենթադրվում է, որ այն բանի հավանականությունը, որ x բնական թիվը կլինի պարզ, հավասար է մոտավորապես 1/log x–ի։ Այս մոդելը առավել հայտնի է որպես պարզ թվերի Կրամերի մոդել անվանումով։ Կրամերը իր մոդելում ապացուցել է, որ վերը նշված վարկածը ճշմարիտ է 1 հավանականությամբ։[1]

Պարզ թվերի միջև միջակայքերի վրա ապացույցների արդյունքները[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Կրամերը նաև տվել է առավել թույլ պնդման պայմանական ապացույց այն մասին, որ

հիմնվելով Ռիեմանի վարկածի ենթադրության վրա։[1]

Մյուս կողմից, E. Westzynthius–ը 1931թ․ ապացուցել է, որ պարզ թվերի միջև եղած միջակայքերի մեծությունը ավելի քան լոգարիթմական է։ Այսինքն,[2]

Չհաջողվեց վերլուծել (շարահյուսության սխալ): {\displaystyle \limsup_{n\to\infty}\frac{p_{n+1}-p_n}{\log p_n}=\infty։}

Էվրիստիկական եղանակներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Դանիել Շենքսը մի վարկած է առաջ քաշել, ըստ որի conjectured asymptotic equality of record gaps, a somewhat stronger statement than Cramér's conjecture.[3]

In the random model,

with

But this constant, , may not apply to all the primes, by Maier's theorem. As pointed out by Andrew Granville,[4] a refinement of Cramér's model taking into account divisibility by small primes suggests that , where is the Euler–Mascheroni constant.

Thomas Nicely has calculated many large prime gaps.[5] He measures the quality of fit to Cramér's conjecture by measuring the ratio of the logarithm of a prime to the square root of the gap; he writes, “For the largest known maximal gaps, has remained near 1.13.” However, is still less than 1, and it does not provide support to Granville's refinement that c should be greater than 1.

Տես նաև[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Ծանոթագրություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

  1. 1,0 1,1 1,2 Կրամեր, Հարալդ (1936), «On the order of magnitude of the difference between consecutive prime numbers», Acta Arithmetica 2: 23–46, http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/aa/aa2/aa212.pdf  (անգլ.)
  2. Westzynthius, E. (1931), «Über die Verteilung der Zahlen die zu den n ersten Primzahlen teilerfremd sind», Commentationes Physico-Mathematicae Helingsfors 5: 1–37 .
  3. Shanks, Daniel (1964), «On Maximal Gaps between Successive Primes», Mathematics of Computation (American Mathematical Society) 18 (88): 646–651, doi:10.2307/2002951 .
  4. Granville, A. (1995), «Harald Cramér and the distribution of prime numbers», Scandinavian Actuarial Journal 1: 12–28, http://www.dartmouth.edu/~chance/chance_news/for_chance_news/Riemann/cramer.pdf .
  5. Nicely, Thomas R. (1999), «New maximal prime gaps and first occurrences», Mathematics of Computation 68 (227): 1311–1315, doi:10.1090/S0025-5718-99-01065-0, http://www.trnicely.net/gaps/gaps.html .

Արտաքին հղումներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]