Մասնակից:MHamlet/Սևագրություն/1

Թվերի տեսության մեջ Կրամերի վարկածը, որն ձևակերպվել է Շվեդ մաթեմատիկոս Հարալդ Կրամերի կողմից 1936թ․–ին, հաջորդական պարզ թվերի միջև միջակայքերի չափսի գնահատումն է․ հաջորդական պարզ թվերի միջև միջակայքերն միշտ փոքր են, ուստի վարկածը քանակապես ցույց է տալիս, թե որքան փոքր կարող են լինել դրանք։ Այն պնդում է, որ

$p_{n+1}-p_{n}=O((\log p_{n})^{2}),\$

որտեղ p_n–ը n–րդ պարզ թիվն է, O–ն՝ մեծ O նշանակումը, "log"–ը՝ բնական լոգարիթմը։ Թեև այս մասին Կրամերը ընդամենը ենթադրել է, սակայն նրա փաստարկը իրականում աջակցվում է հետևյալ հզոր պնդման կողմից՝

$\limsup _{n\rightarrow \infty }{\frac {p_{n+1}-p_{n}}{(\log p_{n})^{2}}}=1,$

և այս ձևակերպումն գրականության մեջ հաճախ անվանում են Կրամերի վարկած։

Կրամերի վարկածի ոչ մի ձևակերպում մինչև այսօր ապացուցված չէ, սակայն հերքված էլ չէ։

Էվրիստիկական հիմնավորումը

Կրամերի վարկածը հիմնված է պարզ թվերի բախշման հավանականության (իրապես էվրիստիկական) մոդելի վրա, որում ենթադրվում է, որ այն բանի հավանականությունը, որ x բնական թիվը կլինի պարզ, հավասար է մոտավորապես 1/log x–ի։ Այս մոդելը առավել հայտնի է որպես պարզ թվերի Կրամերի մոդել անվանումով։ Կրամերը իր մոդելում ապացուցել է, որ վերը նշված վարկածը ճշմարիտ է 1 հավանականությամբ։

Պարզ թվերի միջև միջակայքերի վրա ապացույցների արդյունքները

Կրամերը նաև տվել է առավել թույլ պնդման պայմանական ապացույց այն մասին, որ

$p_{n+1}-p_{n}=O({\sqrt {p_{n}}}\,\log p_{n})$

հիմնվելով Ռիեմանի վարկածի ենթադրության վրա։

Մյուս կողմից, E. Westzynthius–ը 1931թ․ ապացուցել է, որ պարզ թվերի միջև եղած միջակայքերի մեծությունը ավելի քան լոգարիթմական է։ Այսինքն,

Չհաջողվեց վերլուծել (շարահյուսության սխալ): {\displaystyle \limsup_{n\to\infty}\frac{p_{n+1}-p_n}{\log p_n}=\infty։}

Էվրիստիկական եղանակներ

Դանիել Շենքսը մի վարկած է առաջ քաշել, ըստ որի conjectured asymptotic equality of record gaps, a somewhat stronger statement than Cramér's conjecture.

In the random model,

$\limsup _{n\rightarrow \infty }{\frac {p_{n+1}-p_{n}}{(\log p_{n})^{2}}}=c,$ with $c=1.$

But this constant, $c$, may not apply to all the primes, by Maier's theorem. As pointed out by Andrew Granville, a refinement of Cramér's model taking into account divisibility by small primes suggests that $c\geq 2e^{-\gamma }\approx 1.1229\ldots$, where $\gamma$ is the Euler–Mascheroni constant.

Thomas Nicely has calculated many large prime gaps. He measures the quality of fit to Cramér's conjecture by measuring the ratio $R$ of the logarithm of a prime to the square root of the gap; he writes, “For the largest known maximal gaps, $R$ has remained near 1.13.” However, $1/R^{2}$ is still less than 1, and it does not provide support to Granville's refinement that c should be greater than 1.

Տես նաև

• Պարզ թվերի թեորեմ
• Legendre's conjecture and Andrica's conjecture, much weaker but still unproven upper bounds on prime gaps
• Firoozbakht’s conjecture
• Maier's theorem on the numbers of primes in short intervals for which the model predicts an incorrect answer

Ծանոթագրություն

• Guy, Richard K. (2004). Unsolved problems in number theory (3rd ed.). Springer-Verlag. A8. ISBN 978-0-387-20860-2. Zbl 1058.11001.
• Pintz, János (2007). «Cramér vs. Cramér. On Cramér's probabilistic model for primes». Functiones et Approximatio Commentarii Mathematici. 37: 361–376. ISSN 0208-6573. MR 2363833. Zbl 1226.11096.
• Soundararajan, K. (2007). «The distribution of prime numbers». In Granville, Andrew; Rudnick, Zeév (eds.). Equidistribution in number theory, an introduction. Proceedings of the NATO Advanced Study Institute on equidistribution in number theory, Montréal, Canada, July 11--22, 2005. NATO Science Series II: Mathematics, Physics and Chemistry. Vol. 237. Dordrecht: Springer-Verlag. էջեր 59–83. ISBN 978-1-4020-5403-7. Zbl 1141.11043.

Արտաքին հղումներ

• Կաղապար:Mathworld
• Կաղապար:Mathworld