Մասնակից:MHamlet/Սևագրություն/1

Թվերի տեսության մեջ Կրամերի վարկածը, որն ձևակերպվել է Շվեդ մաթեմատիկոս Հարալդ Կրամերի կողմից 1936թ․–ին, հաջորդական պարզ թվերի միջև միջակայքերի չափսի գնահատումն է․ հաջորդական պարզ թվերի միջև միջակայքերն միշտ փոքր են, ուստի վարկածը քանակապես ցույց է տալիս, թե որքան փոքր կարող են լինել դրանք։ Այն պնդում է, որ

$p_{n+1}-p_{n}=O((\log p_{n})^{2}),\$

որտեղ p_n–ը n–րդ պարզ թիվն է, O–ն՝ մեծ O նշանակումը, "log"–ը՝ բնական լոգարիթմը։ Թեև այս մասին Կրամերը ընդամենը ենթադրել է, սակայն նրա փաստարկը իրականում աջակցվում է հետևյալ հզոր պնդման կողմից՝

$\limsup _{n\rightarrow \infty }{\frac {p_{n+1}-p_{n}}{(\log p_{n})^{2}}}=1,$

և այս ձևակերպումն գրականության մեջ հաճախ անվանում են Կրամերի վարկած։

Կրամերի վարկածի ոչ մի ձևակերպում մինչև այսօր ապացուցված չէ, սակայն հերքված էլ չէ։

Էվրիստիկական հիմնավորումը

Կրամերի վարկածը հիմնված է պարզ թվերի բախշման հավանականության (իրապես էվրիստիկական) մոդելի վրա, որում ենթադրվում է, որ այն բանի հավանականությունը, որ x բնական թիվը կլինի պարզ, հավասար է մոտավորապես 1/log x–ի։ Այս մոդելը առավել հայտնի է որպես պարզ թվերի Կրամերի մոդել անվանումով։ Կրամերը իր մոդելում ապացուցել է, որ վերը նշված վարկածը ճշմարիտ է 1 հավանականությամբ։

Պարզ թվերի միջև միջակայքերի վրա ապացույցների արդյունքները

Կրամերը նաև տվել է առավել թույլ պնդման պայմանական ապացույց այն մասին, որ

$p_{n+1}-p_{n}=O({\sqrt {p_{n}}}\,\log p_{n})$

հիմնվելով Ռիեմանի վարկածի ենթադրության վրա։

Մյուս կողմից, E. Westzynthius–ը 1931թ․ ապացուցել է, որ պարզ թվերի միջև եղած միջակայքերի մեծությունը ավելի քան լոգարիթմական է։ Այսինքն,

Չհաջողվեց վերլուծել (շարահյուսության սխալ): {\displaystyle \limsup_{n\to\infty}\frac{p_{n+1}-p_n}{\log p_n}=\infty։}

Էվրիստիկական եղանակներ

Դանիել Շենքսը մի վարկած է առաջ քաշել, ըստ որի conjectured asymptotic equality of record gaps, a somewhat stronger statement than Cramér's conjecture.

In the random model,

$\limsup _{n\rightarrow \infty }{\frac {p_{n+1}-p_{n}}{(\log p_{n})^{2}}}=c,$ with $c=1.$

But this constant, $c$, may not apply to all the primes, by Maier's theorem. As pointed out by Andrew Granville, a refinement of Cramér's model taking into account divisibility by small primes suggests that $c\geq 2e^{-\gamma }\approx 1.1229\ldots$, where $\gamma$ is the Euler–Mascheroni constant.

Thomas Nicely has calculated many large prime gaps. He measures the quality of fit to Cramér's conjecture by measuring the ratio $R$ of the logarithm of a prime to the square root of the gap; he writes, “For the largest known maximal gaps, $R$ has remained near 1.13.” However, $1/R^{2}$ is still less than 1, and it does not provide support to Granville's refinement that c should be greater than 1.

Տես նաև

• Պարզ թվերի թեորեմ
• Legendre's conjecture and Andrica's conjecture, much weaker but still unproven upper bounds on prime gaps
• Firoozbakht’s conjecture
• Maier's theorem on the numbers of primes in short intervals for which the model predicts an incorrect answer

Ծանոթագրություն

• Guy Richard K. (2004)։ Unsolved problems in number theory (3rd ed.)։ Springer-Verlag։ A8։ ISBN 978-0-387-20860-2։ Zbl 1058.11001 
• Pintz János (2007)։ «Cramér vs. Cramér. On Cramér's probabilistic model for primes»։ Functiones et Approximatio Commentarii Mathematici 37: 361–376։ ISSN 0208-6573։ MR 2363833։ Zbl 1226.11096 
• Soundararajan K. (2007)։ «The distribution of prime numbers»։ in Granville Andrew, Rudnick Zeév։ Equidistribution in number theory, an introduction. Proceedings of the NATO Advanced Study Institute on equidistribution in number theory, Montréal, Canada, July 11--22, 2005։ NATO Science Series II: Mathematics, Physics and Chemistry 237։ Dordrecht: Springer-Verlag։ էջեր 59–83։ ISBN 978-1-4020-5403-7։ Zbl 1141.11043 

Արտաքին հղումներ

• Կաղապար:Mathworld
• Կաղապար:Mathworld