Մասնակից:Զաբելա Աբելյան/ավազարկղ 34

Մոդուլ օղակի վրա, ընդհանուր հանրահշվի հիմնական հասկացություններից մեկն է,հանդիսանալով երկու հանրահաշվական հասկացությունների ընդհանրացում՝ վեկտորային տարածության (փաստորեն դաշտում վեկտորական տարածութունը մոդուլ է) և աբելյան խմբի, (որը մոդուլ՝ ամբողջ թվերի օղակում) $\mathbb {Z}$).1

Կոմուտատիվ հանրահաշվի հիմքում է ընկած մոդուլի հասկացությունը, որը կարևոր դեր է խաղում մաթեմատիկայի տարբեր ոլորտներում, ինչպիսիք են

• հանրահաշվական երկրաչափություն
• հոմոլոգային հանրահաշիվ
• պատկերացումների տեսություն

Հիմնավորում

Վեկտորական տարածությունում սկալյարների բազմություը կազմում է դաշտ և բազմապատկումը սկալյարով բավարարվում է մի քանի աքսոմներով, ինչպիսին, բազմապատման բաշխականությունը։ Մոդուլում է միայն պահանջվում, որպեսզի օղակ կազմեն սկալյարները ասոցիատիվ միավորի հետ, աքսիոմները նույնպես մնում են նույնը։

Մոդուլի տեսության զգալի մասը կազմած է փորձերից՝նրանցով ընդհանրացնել վեկտորական տարածութան հայտնի հատկությունները, երբեմն դրա համար պետք է լինում մոդուլները սահմանափակվել «իրեն լավ ներկայացնող» օղակներով, ինչպիսին գլխավոր իդեալների տիրույթը։Սակայն մոդուլը ամբողջությամբ կարգավորելը ավելի դժվար է, քանվեկտորայնի տարածությունը։Օրինակ,բազիս ոչ յուրաքանչյուր մոդուլում կարելի է ընտրել և նույնիսկ այն ազատ մոդուլներում, որում հնարավոր է, կարող են ունենալ մի քանի բազիս տարբեր թվերի էլեմենտներով (ոչ տեղափոխական օղակի դեպքում)։

Սահմանում

Ենթադրենք  $R\$ —ը օղակ է (որպես կանոն, ընդունելով $1\in R$ միավոր տարրով տեղափոխական)։ R</math> $R$ մոդուլը անվանում են $M\$ [[աբելյան խմբիաբելյան խմբի  $R\$ օղակի էլեմենտների բազմապատկման գործողություններով : 

$R\times M\to M,\quad (r,m)\mapsto rm,$

որը բավարարում է հետևյալ պայմաններին:

1) $\forall m\in M,\,\forall r_{1},r_{2}\in R\quad (r_{1}r_{2})m=r_{1}(r_{2}m),$

2) $\forall m\in M\quad 1m=m.$

3) $\forall m_{1},m_{2}\in M,\,\forall r\in R\quad r(m_{1}+m_{2})=rm_{1}+rm_{2},$

4) $\forall m\in M,\,\forall r_{1},r_{2}\in R\quad (r_{1}+r_{2})m=r_{1}m+r_{2}m.$

Կիրառում: Ոչ տեղափոխական ղաի դեպքում այդպիսի մոդուլին հաճախ անվանում են «ձախ»։Ադ դեպքում Աջ անվանում են այնպիսի օբյեկտները, որի պայմանները 1) փոխարինված են հետևյալով

$\forall m\in M,\,\forall r_{1},r_{2}\in R\quad (r_{1}r_{2})m=r_{2}(r_{1}m),$

ո ր ավելի հարմար է բանաձևել, գրելով օղակի էլեմենտը մոդուլի էլեմենտից աջ$m$:

$\forall m\in M,\,\forall r_{1},r_{2}\in R\quad m(r_{1}r_{2})=(mr_{1})r_{2},$ այստեղից և տերմինաբանություն։

$R\$ տեղափոխական օղակի դեպքում աջ և ձախ մոդուլների սահմանումները համընկնում են և նրանց պարզապես անվանում են մոդուլ։

$R\$ցանկացած օղակ կարելի է համարել ինքը իրեն մոդուլ(ոչ տեղափոականի դեպքում այն հանդիսանում է նույնպես ինքը իրեն աջ մոդուլ)։

Կապակցված սահմանումներ և հատկություններ

• $M_{R}\$ մոդուլի Ենթամոդուլ անվանում են $M\$ խմբի $B\$ ենթախումբ, փակված $R\$ տարրերի բազմապատկման վերաբերյալ, այսինքն այնպես, որ

$\forall b\in B,\ r\in R\ :rb\in B$.

• Եթե R օղակը դիտել ինքը իրեն մոդուլ, ապա նրա ենթամոդուլը հանդիսանում է ձախ իդեալ, եթե դիտել աջ մոդուլ, ապա աջ իդեալ, տեղափոխականի դեպքում աջ և ձախ իդեալների հասկացությունները համընկնում են։

• Հոմոմորֆիզմ կամ $R$-հոմոմորֆիզմ $R$ մոդուլի $A$-ն և $B$-ն անվանում են հոմոմորֆիզ խումբ $\phi :A\to B$,որ համար իրագործելի է լրացուցիչ պայման $\phi (ra)=r\phi (a)\forall a\in A,r\in R$։Այդպիսի բոլոր հոմոմորֆիզմների բազմությունները նշանակվում է $Hom_{R}(A,\ B)$ միջոցով.Այդ բազմության վրա կարելի է ներմուծել աբելյան խմբի կառուցվածքը, սահմանելով 0, $-$ և $+$ հետևյալ հավասարություններով

$0a=0,\ (-\phi )a=-(\phi a),\ (\phi +\psi )a=\phi a+\psi a$։

դիտել ֆակտորմոդուլ $M/N$-ն ինչպես как множество $M$ -ի էլեմենտների համարժեքության դասի բազմություն,որոշելով տարրերի միջև համարժեքության առնչությունը։

$a\sim b$ այն և միայն այն ժամանակ, երբ $b-a$ պատկանում է $N$

Ֆակտորմոդուլի էլեմենտները հաճախ նշանակում են ինչպես $[a]=\{a+n:n\in N\}=a+N$։ Գումարման և բազմապատկման գործողությունները որոշվում են $(a+N)+(b+N)=(a+b+N),r\cdot (a+N)=(r\cdot a+N)$ բանաձևերով։

Օրինակներ

• Ցանկացած աբելյան խումբ,մոդուլ ամբողջ թվերի օղակի վրա։
• Գծային տարածություն $F$ գծային դաշտի վրա հանդիսանում է $F$-ի վրա մոդուլ։
• $V$ գծային տարածություն,մոդուլ օղակի վրա իր ամբողջ $L(V)$ գծային փոակերպումներով։
• Դիֆֆերենցիալ ձևեր $M$ հարթ բազմազանությամբ մատակարարված $M$ հարթ ֆունկցիաների բնական կառուցվածքով մոդուլ օղակի վրա։
• Եթե I-ն R օղակի ձախ իդեալն է, այն կլինի այդ նույն օղակի ձախ մոդուլը։Հանգունորեն, աջ իդեալները կլինեն աջ մոդուլներ։

Մոդուլի տեսակներ

• վերջավործնված մոդուլ
• Ցիկլային մոդուլներ, մոդուլը կոչվում է ցիկլային, եթե այն առաջացել է մեկ տարրից։
• Ազատ մոդուլներ
• Պրոյեկտիվ մոդուլներ
• Ինեկտիվ մոդուլներ
• Անվերածելի մոդուլներ, մոդուլը կոչվում է անվերածելի, եթե այն չի կարելի վերածել երկու մոդուլների ուղիղ գումարի։
• Լրիվ վերածելի մոդուլներ , մոդուլներ, որոնք կարելի է վերածել անվերածելի ուղիղ գումարների։
• Պարզ մոդուլներ
• Կիսապարզ մոդուլներ
• Արտինովյան մոդուլներ
• Նետերովյա մոդուլներ

Պատմություն

Մոդուլների ամենապարզ օրինակները՝ աբելյան վերջավոր խմբեր, այսինքն՝ մոդուլ $\mathbb {Z}$,երևան են եկել դեռ Գաուսի մոտ ինչպես բինարային քառակուսային ձևի խմբերի տեսակներ։ Առաջին անգամ 60-80 թվականներին է հանդիպում մոդուլի ընդհանուր հասկացությունը։նվիրված էր XIX դարում Դեդեկինդի և Կրոնեկերի աշխատությունները հանրահաշվական թվերի և հանրահաշվական ֆունկցիաների թվաբանական դաշտերին։ Մոտովորապես այդ ժամանակ անցկացնելով ասոցիատիվ վերջավոր չափանի հանրահաշվի հետազոտությունը մասնավորապես հանրահաշվի խմբերի վերջավոր խմբերը(Բ․ Պիրս Ֆ․ Ֆրոբենուս),բերեց ոչտեղափոխական օղակներիմի քանի իդալների ուսումնասիրության։ Մոդուլի տեսության նախազկիզբը զարգացվել է առավելապես ինչպես որոշ օղակի իդելաների տեսություն։աիվելի ուշ Է․ Նյոթերի և Վ․Կրուլլի(W. Krull)աշխատություններում նկատվեց, շատ արդյունքները հարմար է ձևակերպել և ապացուցել ցանկացած մոդուլների տերմիներով և ոչ միայն իդեալներով

Գրականություն

• Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. — М.: Наука, 1975.
• Зарисский О., Самюэль П. Коммутативная алгебра. — М.: ИЛ, 1963. — Т. 1.
• Ленг С. Алгебра. — М.: Мир, 1967.