Կրկնակի ճոճանակներ

Վիքիպեդիայից՝ ազատ հանրագիտարանից
Jump to navigation Jump to search

Կրկնակի ճոճանակ՝ ճոճանակ մեկ այլ ճոճանակին կպած, ֆիզիկայի և մաթեմատիկայի դինամիկական համակարգերի բնագավառում։ Կրկնակի ճոճանակը հանդիսանում է պարզ ֆիզիկական համակարգ, որը ցուցաբերում է սկզբնական պայմաններից կախված, տարատեսակ դինամիկ վարք[1]։ Ճոճանակի շարժումը ղեկավարվում է սովորական դիֆերենցիալ հավասարումներով։ Որոշ էներգիաների համար նրա շարժումը կարող ենք քաոսային համարել։

Կրկնակի ճոճանակ

Վերլուծություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Կարելի է դիտարկել կրկնակի ճոճանակների մի քանի տարբերակներ՝ երկու օղակները կարող են լինել միատեսակ կամ ունենալ տարբեր զանգվածներ ու երկարություններ, նրանք կարող են լինել պարզ ճոճանակներ կամ ֆիզիկական ճոճանակներ, շարժումը կարող է տեղի ունենալ երեք չափումներով կամ սահմանափակված ուղղահայց հարթությամբ։ Հետագա վերլուծության ժամանակ օղակները ընտրված են այնպես, ինչպես երկարությամբ և զանգվածով միատեսակ ֆիզիկական ճոճանակներ, և նրանց շարժումը սահմանափակված է երկու չափումներով։ Ֆիզիկական ճոճանակի զանգվածը տեղաբաշխված է նրա ամբողջ երկարությամբ։ Եթե զանգվածը բաշխված է հավասարաչափ, ապա յուրաքանչյուր օղակի զանգվածի կենտրոնը համընկնում է իր երկրաչափական կենտրոնի հետ և օղակը ունենում է այսպիսի իներցիայի մոմենտ ՝ այդ կետի համար։

Կրկնակի(չաշխատող հղում) ֆիզիկական ճոճանակ

Յուրաքանչյուր օղակի միջև եղած անկյունները կարելի է օգտագործել և ուղղահայց՝ որպես ընդհանրացված կոորդինատներ, որոշելով համակարգի կոնֆիգուրացիայի տարածությունը։ Եթե դեկարտյան կոորդինատային համակարգի սկզբնակետը դնենք առաջին ճոճանակի կախման կետում, ապա այդպիսի համակարգի զանգվածի կենտրոնը կգտնվի՝

իսկ մյուսինը՝

Այս ինֆորմացիան բավական է, որպեսզի գրառենք Լագրանժի հավասարումները։

Լագրանժյան[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Լագրանժյանը հանդիսանում է կինետիկ և պոտենցիալ էներգիաների տարբերությունը՝

Առաջին գումարելին մարմնի զանգվածի կենտրոնի գծային կինետիկ էներգիան է, երկրորդ գումարելին յուրաքանչյուր առանցքի զանգվածի կենտրոնի պտտման կինետիկ էներգիան է։ Վերջին գումարելին մարմնի պոտենցիալ էներգիան համասեռ գրավիտացիոն դաշտում։ Համեմատելով կոորդինատներն ու խմբավորելով հավասարումները՝ կունենանք

Կրկնակի ճոճանակի շարժումը (շարժման հավասարման քանակական ինտեգրումից)
Կրկնակի ճոճանակի հետագիծը
երկար պահաժամի դեպքում, կրկնակի ճոճանակը ցուցաբերում է քաոսային շարժում (դիտված է ֆոտոդիոդի կողմից)

Ամփոփված իմպուլները կարելի է այսպես գրել

Այս արտահայտությունները կարելի է ձևափոխել, որպեսզի ստացվի

Էյլեր-Լագրանժի հավասարումներից ստացվող շարժման հավասարումները, կարելի է գրել որպես՝

Վերջին չորս հավասարումները հանդիսանում են տրվյալ ընթացիկ վիճակով ժամանակային համակարգի զարգացման բանաձևերն են։ Հնարավոր չէ առաջ անցնել և անալիտիկորեն ինտեգրել այդ հավասարումները, որպեսզի բանաձևեր ստանանք θ1 և θ2-ի համար, որպես ժամանակից ֆունկցիաներ։ Սակայն, հնարավոր է կատարել անդամային ինտեգրում, օգտագործելով Ռունգե-Կուտտեյի մեթոդը կամ համանման տեխնիկա։

Սկզբնական պայմաններից կախված ճոճանակի պտտման ժամանակի գրաֆիկը

Ծանոթագրություններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

  1. Levien RB and Tan SM. Double Pendulum : An experiment in chaos.American Journal of Physics 1993; 61 (11) : 1038

Տես նաև[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Գրականություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]