Լամբերտի
W
{\displaystyle W}
w
{\displaystyle w}
կոմպլեքս թվերի համար սահմանված
f
(
w
)
=
w
e
w
{\displaystyle f(w)=we^{w}}
հակադարձ ֆունկցիան է։ Նշանակվում է հետևյալ երկու ձևերից մեկով․
W
(
x
)
{\displaystyle W(x)}
LambertW
(
x
)
{\displaystyle \operatorname {LambertW} (x)}
z
{\displaystyle z}
ֆունկցիոնալ հավասարման միջոցով․
z
=
W
(
z
e
z
)
{\displaystyle z=W(ze^{z})}
Լամբերտի
W
{\displaystyle W}
տարրական ֆունկցիաների միջոցով։ Այս ֆունկցիան կիրառվում է կոմբինատորիկայում , ինչպես օրինակ ծառերի քանակի հաշվման կամ հավասարումներ լուծելու ժամանակ։
1779 թվականին ֆունկցիան ուսումնասիրվել է Լեոնարդ Էյլերի կողմից, սակայն տևական ժամանակ որևէ անվանում չի ստացել։ Հետագայում անվանվել է Յոհան Լամբերտի անունով[ 1]
W
(
x
)
{\displaystyle W(x)}
W
0
{\displaystyle W_{0}}
W
−
1
{\displaystyle W_{-1}}
W 0 (x ) ֆունկցիայի գրաֆիկը −1/e ≤ x ≤ 4 միջակայքում
f
(
w
)
{\displaystyle f(w)}
(
−
∞
,
0
)
{\displaystyle (-\infty ,0)}
(
−
1
e
,
0
)
{\displaystyle (-{\frac {1}{e}},0)}
Եթե սահմանափակվենք
z
=
x
⩾
−
1
/
e
{\displaystyle z=x\geqslant -1/e}
w
⩾
−
1
{\displaystyle w\geqslant -1}
W
0
(
x
)
{\displaystyle W_{0}(x)}
W
(
x
)
{\displaystyle W(x)}
Եթե սահմանափակվենք
z
=
x
⩾
−
1
/
e
{\displaystyle z=x\geqslant -1/e}
z
=
x
<
0
{\displaystyle z=x<0}
w
⩽
−
1
{\displaystyle w\leqslant -1}
W
−
1
(
x
)
{\displaystyle W_{-1}(x)}
W
(
x
)
{\displaystyle W(x)}
Օգտակար է իմանալ ֆունկցիայի ասիմպտոտիկները մի քանի առանցքային կետերին ձգտելու ժամանակ․
W
(
z
)
|
z
→
∞
=
log
(
z
)
−
log
(
log
(
z
)
)
{\displaystyle \left.W(z)\right|_{z\to \infty }=\log(z)-\log(\log(z))}
W
(
z
)
|
z
→
−
1
e
=
2
(
e
z
+
1
)
−
1
{\displaystyle \left.W(z)\right|_{z\to -{\frac {1}{e}}}={\sqrt {2(ez+1)}}-1}
∫
0
π
W
(
2
cot
2
(
x
)
)
sec
2
(
x
)
d
x
=
4
π
{\displaystyle \int _{0}^{\pi }W{\bigl (}2\cot ^{2}(x){\bigr )}\sec ^{2}(x)\;\mathrm {d} x=4{\sqrt {\pi }}}
∫
0
+
∞
W
(
1
x
2
)
d
x
=
2
π
{\displaystyle \int _{0}^{+\infty }W\left({\frac {1}{x^{2}}}\right)\;\mathrm {d} x={\sqrt {2\pi }}}
∫
0
+
∞
W
(
x
)
x
x
d
x
=
2
2
π
{\displaystyle \int _{0}^{+\infty }{\frac {W(x)}{x{\sqrt {x}}}}\mathrm {d} x=2{\sqrt {2\pi }}}
Անբացահայտ ֆունկցիայի դիֆերենցման շնորհիվ ստանում ենք, որ
z
≠
−
1
e
{\displaystyle z\neq -{\tfrac {1}{e}}}
d
W
d
z
=
1
z
W
(
z
)
W
(
z
)
+
1
.
{\displaystyle {dW \over dz}={\frac {1}{z}}{\frac {W(z)}{W(z)+1}}.}
Շարքերի հակադարձման թեորեմի շնորհիվ կարելի է արտահայտություն ստանալ Թեյլորի շարքերի համար․
W
0
(
x
)
=
∑
n
=
1
∞
(
−
n
)
n
−
1
n
!
x
n
=
x
−
x
2
+
3
2
x
3
−
8
3
x
4
+
125
24
x
5
−
⋯
.
{\displaystyle W_{0}(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-n)^{n-1}}{n!}}\ x^{n}=x-x^{2}+{\frac {3}{2}}x^{3}-{\frac {8}{3}}x^{4}+{\frac {125}{24}}x^{5}-\cdots .}
Մասերով ինտեգրելու դեպքում կստանանք հետևյալը․
∫
W
(
x
)
d
x
=
x
(
W
(
x
)
−
1
+
1
W
(
x
)
)
+
C
.
{\displaystyle \int W(x)\,dx=x\left(W(x)-1+{\frac {1}{W(x)}}\right)+C.}
W
(
−
π
2
)
=
i
π
2
{\displaystyle W\left(-{\frac {\pi }{2}}\right)={\frac {i\pi }{2}}}
W
(
−
1
)
≈
−
0.31813
+
1.33723
i
{\displaystyle W(-1)\approx -0.31813+1.33723i}
W
(
−
1
e
)
=
−
1
{\displaystyle W\left(-{1 \over e}\right)=-1}
W
(
−
ln
a
a
)
=
−
ln
a
{\displaystyle W\left(-{\frac {\ln a}{a}}\right)=-\ln a}
1
e
≤
a
≤
e
{\displaystyle {\frac {1}{e}}\leq a\leq e}
W
(
0
)
=
0
{\displaystyle W(0)=0}
W
(
e
)
=
1
{\displaystyle W(e)=1}
W
(
1
)
=
Ω
≈
0,567
14329
{\displaystyle W(1)=\Omega \approx 0{,}56714329}
W
(
x
e
x
)
=
x
,
x
>
0
{\displaystyle W(xe^{x})=x,\,x>0}
W
0
(
x
e
x
)
=
x
,
x
⩾
−
1
{\displaystyle W_{0}(xe^{x})=x,\,x\geqslant -1}
W
−
1
(
x
e
x
)
=
x
,
x
⩽
−
1
{\displaystyle W_{-1}(xe^{x})=x,\,x\leqslant -1}
e
n
⋅
W
(
x
)
=
(
x
W
(
x
)
)
n
{\displaystyle e^{n\cdot W(x)}=\left({\frac {x}{W(x)}}\right)^{n}}
ln
W
(
x
)
=
ln
x
−
W
(
x
)
,
x
>
0
{\displaystyle \ln W(x)=\ln x-W(x),\,x>0}
W
(
n
x
n
W
(
x
)
n
−
1
)
=
n
W
(
x
)
,
n
>
0
,
x
>
0
{\displaystyle W\left({\frac {nx^{n}}{W(x)^{n-1}}}\right)=nW(x),\,n>0,x>0}
W
(
x
)
+
W
(
y
)
=
W
(
x
y
(
W
(
x
)
+
W
(
y
)
W
(
x
)
W
(
y
)
)
)
,
x
>
0
,
y
>
0
{\displaystyle W(x)+W(y)=W\left(xy\left({\frac {W(x)+W(y)}{W(x)W(y)}}\right)\right),\,x>0,y>0}
Ոչ հանրահաշվական մի շարք հավասարումների լուծումները կարող են արտահայտվել
W
{\displaystyle W}
Օրինակ 1:
x
⋅
a
x
=
b
{\displaystyle x\cdot a^{x}=b}
x
ln
a
⋅
e
x
ln
a
=
b
ln
a
{\displaystyle x\ln a\cdot e^{x\ln a}=b\ln a}
x
ln
a
=
W
(
b
ln
a
)
{\displaystyle x\ln a=W(b\ln a)}
x
=
W
(
b
ln
a
)
ln
a
{\displaystyle x={W(b\ln a) \over \ln a}}
Օրինակ 2:
x
x
=
a
{\displaystyle x^{x}=a}
x
⋅
ln
x
=
ln
a
{\displaystyle x\cdot \ln x=\ln a}
ln
a
x
=
W
(
ln
a
)
{\displaystyle {\ln a \over x}=W(\ln a)}
x
=
ln
a
W
(
ln
a
)
{\displaystyle x={\ln a \over W(\ln a)}}
Օրինակ 3:
a
x
=
b
x
{\displaystyle a^{x}=bx}
1
b
=
x
a
−
x
{\displaystyle {1 \over b}=xa^{-x}}
−
ln
a
b
=
−
x
ln
a
⋅
e
−
x
ln
a
{\displaystyle -{\ln a \over b}=-x\ln a\cdot e^{-x\ln a}}
W
(
−
ln
a
b
)
=
−
x
ln
a
{\displaystyle W\left(-{\ln a \over b}\right)=-x\ln a}
x
=
−
1
ln
a
W
(
−
ln
a
b
)
{\displaystyle x=-{1 \over \ln a}W\left(-{\ln a \over b}\right)}
W
{\displaystyle W}
[ 1]
w
j
+
1
=
w
j
−
w
j
e
w
j
−
z
e
w
j
(
w
j
+
1
)
−
(
w
j
+
2
)
(
w
j
e
w
j
−
z
)
2
w
j
+
2
{\displaystyle w_{j+1}=w_{j}-{\frac {w_{j}e^{w_{j}}-z}{e^{w_{j}}(w_{j}+1)-{\frac {(w_{j}+2)(w_{j}e^{w_{j}}-z)}{2w_{j}+2}}}}}
Python լեզվով գրված ծրագրի օրինակ․
import math
def lambertW ( x , prec = 1e-12 ):
w = 0
for i in range ( 100 ):
wTimesExpW = w * math . exp ( w )
wPlusOneTimesExpW = ( w + 1 ) * math . exp ( w )
w -= ( wTimesExpW - x ) / ( wPlusOneTimesExpW - ( w + 2 ) * ( wTimesExpW - x ) / ( 2 * w + 2 ))
if prec > abs (( x - wTimesExpW ) / wPlusOneTimesExpW ):
break
if prec <= abs (( x - wTimesExpW ) / wPlusOneTimesExpW ):
raise Exception ( "W(x) ֆունկցիան չի զուգամիտում բավականին արագ x= %f դեպքում" % x )
return w
Մոտավոր հաշվարկման համար նպատակահարմար է օգտագործել հետևյալ բանաձևը[ 2]
W
(
x
)
≈
{
0,665
⋅
(
1
+
0,019
5
ln
(
x
+
1
)
)
ln
(
x
+
1
)
+
0
,
04
:
0
<
x
≤
500
ln
(
x
−
4
)
−
(
1
−
1
ln
x
)
ln
ln
x
:
x
>
500
{\displaystyle W(x)\approx \left\{{\begin{matrix}0{,}665\cdot (1+0{,}0195\ln(x+1))\ln(x+1)+0{,}04&\ :\ &0<x\leq 500\\\ln(x-4)-(1-{1 \over \ln x})\ln \ln x&\ :\ &x>500\\\end{matrix}}\right.}
Ստացված ֆունկցիան, չնայած որ նման է
W
{\displaystyle W}
