Գաուս-Օստոգրադսկու թեորեմ

Վիքիպեդիայից՝ ազատ հանրագիտարանից
Jump to navigation Jump to search

Գաուս-Օստոգրադսկու թեորեմ, մաթեմատիկական բանաձև, որը վեկտորական դաշտի հոսքը փակ մակերևույթով արտահայտում է դաշտի դիվերգենցիայի ինտեգրալով ըստ ծավալի, որը սահմանափակված է այդ մակերևույթով.

կամ[1]

,

այսինքն՝ որոշակի V ծավալով տարածվող F վեկտորական դաշտի դիվերգենցիայի ինտեգրալը հավասար է տվյալ ծավալը սահմանափակող S մակերևույթով վեկտորի հոսքին։

Բանաձևն օգտագործվում է ծավալային ինտեգրալը փակ մակերևույթով ինտեգրալի վերածելու համար։ Օստոգրադսկու աշխատության մեջ բանաձևը գրված է հետևյալ կերպ.

որտեղ -ն և s-ը համապատասխանաբար ծավալային և մակերեսային դիֆերենցիալներն են, -ն ծավալային տարրն է, s=dS-ը՝ մակերևույթային տարրը։ P=P(x,y,z), Q=Q(x,y,z), R=R(x,y,z)-ը ֆունկցիաներ են, որոնք իրենց մասնակի ածանցյալների հետ միասին անընդհատ են մակերևույթի առաջին կարգի փակ մակերեսում, որը սահմանափակված է փակ հարթ մակերևույթով։

Գաուս-Օստոգրադսկու ընդհանրացված դեպքը Ստոքսի բանաձևն է[2]։

Պատմություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Առաջին անգամ թեորեմը առաջարկվել է Լագրանժի կողմից։ 1762 թ. ձայնի տեսության մասին իր աշխատության մեջ Լագրանժը դիտարկում է թեորեմի մասնակի դեպքը[3]։

Եռակի ինտեգրալը մակերեսայինի վերածելու ընդհանուր մեթոդն առաջին անգամ ցույց է տվել Կառլ Ֆրիդրիխ Գաուսը (1813, 1830 թթ.)՝ էլեկտրադինամիկայի խնդիրների օրինակի վրա[4].:

1826 թ. Միխայիլ Օստրոգրադսկին դուրս բերեց բանաձևն ընդհանուր տեսքով՝ այն ներկայացնելով թեորեմի տեսքով (հրատարակվել է 1831 թ.)։ Բանաձևի ընդհանրացումը բազմաչափ դեպքի համար Օստոգրադսկին հրապարակեց 1834 թ.[4]։ Այս բանաձևի օգնությամբ Օստոգրադսկին գտավ պարամետրով ածանցյալի և փոփոխական սահմանով n-րդ կարգի ինտեգրալի միջև արտահայտությունը և ստացավ բանաձև n-րդ կարգի ինտեգրալի վարիացիայի համար։

Անգլալեզու գրականության մեջ այս բանաձևն անվանում են նաև դիվերգենցիայի թեորեմ անգլ.՝ divergence theorem, երբեմն՝ Գաուսի բանաձև կամ Գաուս-Օստոգրադսկու բանաձև (թեորեմ):

Ծանոթագրություններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

  1. M. R. Spiegel; S. Lipschutz; D. Spellman (2009). Vector Analysis. Schaum’s Outlines (2nd ed.). USA: McGraw Hill. ISBN 978-0-07-161545-7.
  2. Stewart, James (2008), "Vector Calculus", Calculus: Early Transcendentals (6 ed.), Thomson Brooks/Cole, ISBN 978-0-495-01166-8:
  3. Lagrange (1762) "Nouvelles recherches sur la nature et la propagation du son" (Ձանի բնույթի և տարածման նոր հետազոտություններ), Miscellanea Taurinensia (Mélanges de Turin), 2: 11 - 172. Գիրքն առցանց՝ "Nouvelles recherches sur la nature et la propagation du son" в кн.: J.A. Serret, ed., Oeuvres de Lagrange, (Paris, France: Gauthier-Villars, 1867), vol. 1, pages 151-316; на страницах 263-265։ Մասերով ինտեգրելու միջոցով Լագրանժը ձևափոխում է եռակի ինտեգրալները՝ դարձնելով կրկնակի
  4. 4,0 4,1 Александрова Н. В. Математические термины.(справочник). М.: Высшая школа, 1978, стр. 150-151.