Ֆուրիեի շարքեր

Վիքիպեդիայից՝ ազատ հանրագիտարանից

Մաթեմատիկայում Ֆուրիեի շարքերը պարբերական ֆունկցիայի, որը կարող է իրենից ներկայացնել որևէ սիգնալ կամ ալիք, վերլուծությունն է ավելի պարզ ֆունկցիաների կամ տատանումների, այն է՝ սինուսոիդների (կամ կոմպսլեքս տեսքով՝ կոմպլեքս էքսպոնենցիալների) վերջավոր կամ անվերջ գումարի տեսքով։ Այդպես է անվանվել ի պատիվ Ֆրանսիացի մաթեմատիկոս Ժոզեֆ Ֆուրիեի, ով առաջինն է ուսումնասիրել այդ շարքերը ջերմահաղորդականության հավասարման կոնտեքստում։ Ֆուրիեյի շարքերը ուսումնասիրությունը համարվում է Ֆուրիեի անալիզի ճյուղերից, որն էլ իր հերթին մաս է կազմում Հարմոնիկ անալիզի։ Դեռ խորհրդային տարիներից Հայաստանում մի խումբ մաթեմատիկոսներ զբաղվում են Ֆուրիեի շարքերի ուսումնասիրությամբ, մասնավորապես ակադեմիկոս Ալեքսանդր Թալալյանը և իր ուսանողները։

Սահմանումը[խմբագրել]

Ենթադրենք f-ը որևէ ինտեգրելի 2\pi-պարբերական ֆունկցիա է՝ որոշված ողջ իրական թվային առանցքի վրա։ Մենք ցանկանում ենք այն ներկայացնել որպես հետևյալ տեսքի եռանկյունաչափական շարքի գումար

f(t)=\frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty A_n\cdot \sin(nt+\phi_n)։

Օգտագործելով եռանկյունաչափական ֆունկցիաների պարզագույն հատկություններից՝ այդ շարքը կարող ենք ձևափոխել և գրել


\begin{align}
\frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left(\overbrace{a_n}^{A_n \sin(\phi_n)} \cos(nt)+ \overbrace{b_n}^{A_n \cos(\phi_n)}\sin(nt)\right)\\
\end{align}

տեսքով։ Սակայն երբեմն նախընտրելի է առավել կոմպակտ

\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n\cdot e^{int}

գրելաձևը, որը ստացվում է Ֆուրիեյի շարքից՝ կոմպլեքս էքսպոնենցիալի համար

e^{ix} = \cos x + i\sin x \

Էյլերի բանաձևից։

Եթե f-ը իրենից ներկայացնում է եռանկյունաչափական ֆունկցիաների վերջավոր գումար, ապա կարելի է համոզվել (օգտվելով եռանկյունաչափական համակարգի օրթոգոնալությունից), որ a_n և b_n գործակիցները որոշվում են հետևյալ բանաձևերով

a_n = \frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi} f(t)\cdot  \cos(\tfrac{nt}{P})\ dt,  b_n = \frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi} f(t)\cdot  \sin(nt)\ dt,

իսկ կոմպլեքս դեպքում՝

c_n = \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi} f(t)\cdot e^{-int}\ dt

բանաձևով։
Ընդհանուր դեպքում տվյալ ինտեգրելի f ֆունկցիայի համար կդիտարկենք

 \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty} \left(a_n \cos(nt)+b_n\sin(nt)\right)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n\cdot e^{int}

եռանկյունաչափական շարքը, որտեղ a_n, b_n և c_n գործակիցները որոշվում են վերը նշված բանաձևերով և այն կանվանենք f ֆունկցիայի Ֆուրիեի շարք։
Դասական Ֆուրիեի անալիզը հիմնականում ուսումնասիրում է Ֆուրիեի շարքերի զուգամիտությունը և տարամիտությունը, պայմանները որոնց դեպքում ֆունկցիայի Ֆուրիեի շարքը զուգամիտում է իրեն, Ֆուրիեի գործակիցների զրոյին զուգամիտելու արագությանը և այլն։

Մոտիվացիան[խմբագրել]

Ֆունկցիայի եռանկյունաչափական շարքով վերլուծությունը և նրանց ուսումնասիրությունը մոտիվացնելու համար դիտարկենք

f(t)=A\cdot \sin(\lambda t+\phi)

ֆունկցիան։
Սովորաբար t-ն իրենից ներկայացնում է ժամանակը, իսկ f(t) ֆունկցիան ալիքային տատանումը նկարագրող թվային պարամետրերից որևէ մեկի ժամանակից կախումը։
Վերը նշված բանաձևով որոշվող տատանումը կոչվում է հարմոնիկ տատանում։ Եթե օրինակ f(t)-ն ցույց է տալիս ճոճանակի շեղումը հավասարակշռության դիրքից, ապա նման կերպ է տատանվում հավասարակշռության դիրքից շեղված առանց դիմադրության տատանվող ճոճանակը։ Նմանատիպ բանաձևով են որոշվում նաև հավասարաչափ շրջանագծային շարժում կատարող կետի կոորդինատները։
A-ն կոչվում է տատանման ամպլիտուդ, \lambda-ն՝ հաճախականություն, իսկ \phi-ն՝ ֆազա(սկզբնական շեղում)։
Եթե երկու ալիքներ վերադրվում են, արդյունքում ստացված նոր ալիքը նկարագրող թվային պարամետրերը սովորաբար հավասար են լինում առանձին ալիքների համապատասխան պարամետրերի գումարին։ Հետևաբար եթե ունենք N տարբեր հարմոնիկ տատանումներ՝

f_n (t)=A_n\cdot \sin(\lambda_n t+\phi_n),

նրանց վերադրումից առաջացած նոր ալիքի համար կունենանք, որ

f(t)=\frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\N A_n\cdot \sin(\lambda_n t+\phi_n)։

Պարզագույն դեպքում բոլոր \lambda_n-երը որևէ թվի պատիկներ են, ինչը նշանակում է f_n(t)-երը ունեն ընդհանուր պարբերություն։ Մաշտաբը փոխելով առանց ընդհանրությունը խախտելու կարող ենք ենթադրել, որ \lambda_n =n, այսինքն դիտարկում ենք 2\pi-պարբերական տատանումները (ընդհանուր դեպքը՝ առանց վերջին ենթադրության, առանձին ուսումնասիրության առարկա է ներկայացնում մաթեմատիկայում տես w:Almost periodic functions)։ Այդ դեպքում

f(t)=\frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\N A_n\cdot \sin(nt+\phi_n)։

Նման վերջավոր գումարի միջոցով կարող ենք ներկայացնել բազմաթիվ 2\pi-պարբերական տատանումներ, բայց ոչ բոլորը։ Դա հստակ էր անգամ Ֆուրիեի շարքերի ուսումնասիրության ակունքներում կանգնած մաթեմատիկոսների համար։ Ուստի հաջորդ բնական քայլը կլիներ փորձել ներկայացնել անվերջ գումարի տեսքով։ Սակայն Ֆուրիեյի ժամանակներում ֆունկցիաների անվերջ շարքի գումարը հստակորեն սահմանված չէր և դեռ որոշ ժամանակ կանցներ մինչ մաթեմատիկոսներին կհաջողվեր իմաստավորել Ֆուրեի առաջ քաշած մտքերը։ Ֆուրիեի շարքերի ուսումնասիրությունը հետագայում բազմաթիվ նոր մաթեմատիկական տեսությունների և հայտնագործությունների պատճառ հանդիսացավ, ինչպես օրինակ Գեորգ Կանտորի Բազմությունների տեսության, որ համարվում է մաթեմատիկայի հիմք ծառայող տեսություն։ Գեորգ Կանտորը ինքը զբաղվում էր Ֆուրիեի շարքերի ուսումնասիրությամբ, երբ ստեղծում էր Բազմությունների տեսությունը[1]։

Հայտնի թեորեմներ[խմբագրել]

Տես՝

w:Riemann–Lebesgue lemma
w:Convergence of Fourier series
w:Fejér's theorem
w:Carleson's theorem

ԸՆդհանրացումներ[խմբագրել]

Ֆուրիեի շարքերը կարելի է սահմանել ցանկացած պարբերական Ֆունկցիայի համար՝ փոխելով մաշտաբը։ Երբ պարբերությունը ձգտում է անվերջության, բնականորեն հանգում ենք Ֆուրիեի ձևափոխությանը։ Վեջինս հանդիսանում է Ֆուրիեի շարքերի անալոգը ոչ պարբերական ֆունկցիաների համար։

Ավելի աբստրակտ մոտեցումը հնարավորություն է տալիս Ֆուրիեյի ձևափոխությունները սահմանել Լոկալ կոմպակտ աբելյան խմբերի վրա։ Մաթեմատիկայի բաժինը, որ զբաղվում է նման հարցերով կրում է Աբստրակտ հարմոնիկ անալիզ անանվանումը։

Ֆուրիեյի ձևափոխությունը հնարավոր է սահմանել նաև գրաֆների և բազմաձևությունների վրա։ Այստեղ մոտեցումը Լապլաս-Բերտրամի օպերատորի սպեկտրալ տեսության միջոցով է, ի տարբերություն Աբստրակտ Հարմոնիկ անալիզի առավել հանրահաշվական մոտեցման։

Մեկ այլ ընդհանրացում է եռանկյունաչափական շարքերի փոխարեն այլ ֆունցկիաներ դիտարկելը։ Քսաներորդ դարի երկրորդ կեսում սա շատ ակտիվ բնագավառ էր՝ կապված տարբեր համակարգերի բազիսության, հետագայում ֆրեյմ լինելու հետ կապված։

Կիրառություններ[խմբագրել]

Ժամանակակից տեխնոլոգիաների զարգացումը շատ բաներում պարտական է Ֆուրիեյի հայտնագործությանը։ Այն ժամանակակից ինժեներների ամենկարևոր գործիքներից մեկն է։
Օրինակ, Ռիմանն-Լեբեգի լեմման պնդում է, որ սիգնալում մեծ հաճախականությունների ներդրումը փոքր է։ Քանի որ մեծ հաճախականությունները պատասխանատու են խզման կետերի համար, նրանց գործակիցները հարմար ձևով ընտրված ֆիլտրերի միջոցով զրոյացնելը հնարավորություն է տալիս մոդիֆիկացնել ֆունկցիան՝ պահպանելով նրա հիմնական մասը և վերացնելով խզման կետերը։ Այս սկզբունքն է ընկած վնասված նկարների կամ ֆայլերի վերակագնման, արխիվացիայի, աղմուկի հեռացման մեթոդների և այլքի հիմքում։ Երբեմն եռանկյունաչափական համակարգի փոխարեն օգտագործվում են այլ համակարգեր, ինչպես օրինակ Վեյվելեթներ, Շիրլեթներ, սակայն հիմնական սկզբունքը նույնն է և հաճախ հանգեցվում է եռանկյունաչափական համակարգով որոշվող հաճախականությունների անալիզին։ Մաթեմատիկայի ներսում Ֆուրիեի շարքերը նույնպես ունեն կիրառություններ, ինչպես օրինակ մասնակի ածանցյալներով դիֆերենցիալ հավասարումները լուծելիս և այլն։

Աղբյուրներ[խմբագրել]

  1. "[1] Կանտորի կողմից բազմությունների տեսության ստեղծման մասին

Գրականություն[խմբագրել]

  • Grafakos, Loukas (2008), Classical Fourier analysis, 249 (2nd տպ.), Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-0-387-09432-8, ISBN 978-0-387-09431-1 
  • Grafakos, Loukas (2009), Modern Fourier analysis, 250 (2nd տպ.), Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-0-387-09434-2, ISBN 978-0-387-09433-5 
  • Zygmund, A. (2002), Trigonometric series. Vol. I, II (3rd տպ.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-89053-3 
  • Katznelson, Yitzhak (1976). An introduction to harmonic analysis (Second corrected տպ.). New York: Dover Publications, Inc. ISBN 0-486-63331-4. 
  • Nina K. Bary, A treatise on trigonometric series, Vols. I, II. Authorized translation by Margaret F. Mullins. A Pergamon Press Book. The Macmillan Co., New York 1964.
  • Körner, T.W. (1988), Fourier Analysis, Cambridge University Press, ISBN 0521389917 

Արտաքին հղումներ[խմբագրել]