Ֆուրիեի շարքեր

Վիքիպեդիայից՝ ազատ հանրագիտարանից

Մաթեմատիկայում Ֆուրիեի շարքերը պարբերական ֆունկցիայի, որը կարող է իրենից ներկայացնել որևէ սիգնալ կամ ալիք, վերլուծությունն է ավելի պարզ ֆունկցիաների կամ տատանումների, այն է՝ սինուսոիդների (կամ կոմպսլեքս տեսքով՝ կոմպլեքս էքսպոնենցիալների) վերջավոր կամ անվերջ գումարի տեսքով։ Այդպես է անվանվել ի պատիվ Ֆրանսիացի մաթեմատիկոս Ժոզեֆ Ֆուրիեի, ով առաջինն է ուսումնասիրել այդ շարքերը ջերմահաղորդականության հավասարման կոնտեքստում։ Ֆուրիեյի շարքերը ուսումնասիրությունը համարվում է Ֆուրիեի անալիզի ճյուղերից, որն էլ իր հերթին մաս է կազմում Հարմոնիկ անալիզի։ Դեռ խորհրդային տարիներից Հայաստանում մի խումբ մաթեմատիկոսներ զբաղվում են Ֆուրիեի շարքերի ուսումնասիրությամբ, մասնավորապես ակադեմիկոս Ալեքսանդր Թալալյանը և իր ուսանողները։

Սահմանումը[խմբագրել]

Ենթադրենք f-ը որևէ ինտեգրելի 2\pi-պարբերական ֆունկցիա է՝ որոշված ողջ իրական թվային առանցքի վրա։ Մենք ցանկանում ենք այն ներկայացնել որպես հետևյալ տեսքի եռանկյունաչափական շարքի գումար

f(t)= \sum_{n=0}^\infty A_n\cdot \sin(nt+\phi_n),  A_n\geq 0 ։

Օգտագործելով եռանկյունաչափական ֆունկցիաների պարզագույն հատկություններից՝ այդ շարքը կարող ենք ձևափոխել և գրել


\begin{align}
\frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left(\overbrace{a_n}^{A_n \sin(\phi_n)} \cos(nt)+ \overbrace{b_n}^{A_n \cos(\phi_n)}\sin(nt)\right)\\
\end{align}

տեսքով։ Սակայն երբեմն նախընտրելի է առավել կոմպակտ

\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n\cdot e^{int}

գրելաձևը, որը ստացվում է Ֆուրիեյի շարքից՝ կոմպլեքս էքսպոնենցիալի համար

e^{ix} = \cos x + i\sin x \

Էյլերի բանաձևից։

Եթե f-ը իրենից ներկայացնում է եռանկյունաչափական ֆունկցիաների վերջավոր գումար, ապա կարելի է համոզվել (օգտվելով եռանկյունաչափական համակարգի օրթոգոնալությունից), որ a_n և b_n գործակիցները որոշվում են հետևյալ բանաձևերով

a_n = \frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi} f(t)\cdot  \cos(\tfrac{nt}{P})\ dt,  b_n = \frac{1}{\pi}\int_{0}^{2\pi} f(t)\cdot  \sin(nt)\ dt,

իսկ կոմպլեքս դեպքում՝

c_n = \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi} f(t)\cdot e^{-int}\ dt

բանաձևով։
Ընդհանուր դեպքում տվյալ ինտեգրելի f ֆունկցիայի համար կդիտարկենք

 \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty} \left(a_n \cos(nt)+b_n\sin(nt)\right)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n\cdot e^{int}

եռանկյունաչափական շարքը, որտեղ a_n, b_n և c_n գործակիցները որոշվում են վերը նշված բանաձևերով և այն կանվանենք f ֆունկցիայի Ֆուրիեի շարք։
Դասական Ֆուրիեի անալիզը հիմնականում ուսումնասիրում է Ֆուրիեի շարքերի զուգամիտությունը և տարամիտությունը, պայմանները որոնց դեպքում ֆունկցիայի Ֆուրիեի շարքը զուգամիտում է իրեն և այլն։

Մոտիվացիան[խմբագրել]

Ֆունկցիայի եռանկյունաչափական շարքով վերլուծությունը և նրանց ուսումնասիրությունը մոտիվացնելու համար դիտարկենք

f(t)=A\cdot \sin(\lambda t+\phi)

ֆունկցիան, որտեղ A\geq 0։
Սովորաբար t-ն իրենից ներկայացնում է ժամանակը, իսկ f(t) ֆունկցիան ալիքային տատանումը նկարագրող թվային պարամետրերից որևէ մեկի ժամանակից կախումը։
Վերը նշված բանաձևով որոշվող տատանումը կոչվում է հարմոնիկ տատանում։ Եթե օրինակ f(t)-ն ցույց է տալիս ճոճանակի շեղումը հավասարակշռության դիրքից, ապա նման կերպ է տատանվում հավասարակշռության դիրքից շեղված առանց դիմադրության տատանվող ճոճանակը։ Նմանատիպ բանաձևով են որոշվում նաև հավասարաչափ շրջանագծային շարժում կատարող կետի կոորդինատները։
A-ն կոչվում է տատանման ամպլիտուդ, \lambda-ն՝ հաճախականություն, իսկ \phi-ն՝ ֆազա (սկզբնական շեղում)։
Եթե երկու ալիքներ վերադրվում են, արդյունքում ստացված նոր ալիքի տատանումները նկարագրող թվային պարամետրերը սովորաբար հավասար են լինում առանձին ալիքների համապատասխան պարամետրերի գումարին (վերադրման սկզբունք, տես w:Superposition principle)։ Հետևաբար եթե ունենք N տարբեր հարմոնիկ տատանումներ՝

f_n (t)=A_n\cdot \sin(\lambda_n t+\phi_n),

նրանց վերադրումից առաջացած նոր ալիքի համար կունենանք, որ

f(t)= \sum_{n=0}^N A_n\cdot \sin(\lambda_n t+\phi_n)։

Պարզագույն դեպքում բոլոր \lambda_n-երը որևէ թվի պատիկներ են, ինչը նշանակում է f_n(t)-երը ունեն ընդհանուր պարբերություն։ Մաշտաբը փոխելով առանց ընդհանրությունը խախտելու կարող ենք ենթադրել, որ \lambda_n =n, այսինքն դիտարկում ենք 2\pi-պարբերական տատանումները (ընդհանուր դեպքը՝ առանց վերջին ենթադրության, առանձին ուսումնասիրության առարկա է ներկայացնում մաթեմատիկայում տես w:Almost periodic functions)։ Այդ դեպքում

f(t)=\sum_{n=0}^N A_n\cdot \sin(nt+\phi_n)։

Նման վերջավոր գումարի միջոցով կարող ենք ներկայացնել բազմաթիվ 2\pi-պարբերական տատանումներ, բայց ոչ բոլորը։ Դա հստակ էր անգամ Ֆուրիեի շարքերի ուսումնասիրության ակունքներում կանգնած մաթեմատիկոսների համար։ Ուստի հաջորդ բնական քայլը կլիներ փորձել ներկայացնել անվերջ գումարի տեսքով`

f(t)=\sum_{n=0}^\infty A_n\cdot \sin(nt+\phi_n)։

Սակայն Ֆուրիեյի ժամանակներում ֆունկցիաների անվերջ շարքի գումարը հստակորեն սահմանված չէր և դեռ որոշ ժամանակ կանցներ մինչ մաթեմատիկոսներին կհաջողվեր իմաստավորել Ֆուրեի առաջ քաշած մտքերը։ Ֆուրիեի շարքերի ուսումնասիրությունը հետագայում բազմաթիվ նոր մաթեմատիկական տեսությունների և հայտնագործությունների պատճառ հանդիսացավ, ինչպես օրինակ Գեորգ Կանտորի Բազմությունների տեսության, որ համարվում է մաթեմատիկայի հիմք ծառայող տեսություն։ Գեորգ Կանտորը ինքը զբաղվում էր Ֆուրիեի շարքերի ուսումնասիրությամբ, երբ ստեղծում էր Բազմությունների տեսությունը[1]։

Երկրաչափական մեկնաբանություն[խմբագրել]

Նկատենք, որ

f(t)=\sum_{n=0}^N A_n\cdot \sin(nt+\phi_n),  A_n\geq 0 ։

վերջավոր գումարին կարող ենք տալ հետևյալ երկրաչափական մեկնաբանությունը․ պատկերացնենք ունենք հաջորդական շրջանագծեր, այնպես որ առաջին ջրջանագիծը ունի  A_0 շառավիղ, և կենտրոնը սկզբնակետում է։ Հաջորդ շրջանագիծը ունի  A_0 շառավիղ և կենտրոնը (A_0\cos(0t+\phi_0),A_0\sin(0t+\phi_0)) կետում և այսպես շարունակ (նման նրան թե ինչպես է Երկիրը պտտվում արեգակի շուրջը, Լուսինն էլ՝ Երկրի շուրջը)։ Եթե նման կերպ շրջանագծերը տեղադրենք ամեն հաջորդի կենտրոնը մյուսի համապատասխան կետում, ապա վերջին շրջանագծի (A_N\cos(Nt+\phi_N),A_N\sin(Nt+\phi_N)) կետին համապատասխանող կետի y կոորդինատը t պահին կլինի f(t)-ն։

Հայտնի թեորեմներ[խմբագրել]

Տես՝

w:Riemann–Lebesgue lemma
w:Convergence of Fourier series
w:Fejér's theorem
w:Carleson's theorem

ԸՆդհանրացումներ[խմբագրել]

Ֆուրիեի շարքերը կարելի է սահմանել ցանկացած պարբերական ֆունկցիայի համար՝ փոխելով մաշտաբը։ Երբ պարբերությունը ձգտում է անվերջության, բնականորեն հանգում ենք Ֆուրիեի ձևափոխությանը։ Վեջինս հանդիսանում է Ֆուրիեի շարքերի անալոգը ոչ պարբերական ֆունկցիաների համար։

Ավելի աբստրակտ մոտեցումը հնարավորություն է տալիս Ֆուրիեյի ձևափոխությունները սահմանել Լոկալ կոմպակտ աբելյան խմբերի վրա։ Մաթեմատիկայի բաժինը, որ զբաղվում է նման հարցերով կրում է Աբստրակտ հարմոնիկ անալիզ անանվանումը։ Ավելի ընդհանուր, Ֆուրեյի շարքը կարելի դիտարկել որպես շրջանագծի պտույտների խմբով ծնված խմբային հանրահաշվի վրա Գելֆանդի ձևափոխություն։

Ֆուրիեյի ձևափոխությունը հնարավոր է սահմանել նաև գրաֆների և բազմաձևությունների վրա։ Այստեղ մոտեցումը Լապլաս-Բերտրամի օպերատորի սպեկտրալ տեսության միջոցով է, ի տարբերություն Աբստրակտ Հարմոնիկ անալիզի առավել հանրահաշվական մոտեցման։

Մեկ այլ ընդհանրացում է եռանկյունաչափական շարքերի փոխարեն այլ ֆունցկիաներ դիտարկելը։ Քսաներորդ դարի երկրորդ կեսում սա շատ ակտիվ բնագավառ էր՝ կապված տարբեր համակարգերի բազիսության, հետագայում ֆրեյմ լինելու հետ կապված։

Կիրառություններ[խմբագրել]

Ժամանակակից տեխնոլոգիաների զարգացումը շատ բաներում պարտական է Ֆուրիեյի հայտնագործությանը։ Այն ժամանակակից ինժեներների ամենկարևոր գործիքներից մեկն է։
Օրինակ, Ռիմանն-Լեբեգի լեմման պնդում է, որ սիգնալում մեծ հաճախականությունների ներդրումը փոքր է։ Քանի որ մեծ հաճախականությունները պատասխանատու են խզման կետերի համար, նրանց գործակիցները հարմար ձևով ընտրված ֆիլտրերի միջոցով զրոյացնելը հնարավորություն է տալիս մոդիֆիկացնել ֆունկցիան՝ պահպանելով նրա հիմնական մասը և վերացնելով խզման կետերը։ Այս սկզբունքն է ընկած վնասված նկարների կամ ֆայլերի վերակագնման, արխիվացիայի, աղմուկի հեռացման մեթոդների և այլքի հիմքում։ Երբեմն եռանկյունաչափական համակարգի փոխարեն օգտագործվում են այլ համակարգեր, ինչպես օրինակ Վեյվելեթներ, Շիրլեթներ, սակայն հիմնական սկզբունքը նույնն է և հաճախ հանգեցվում է եռանկյունաչափական համակարգով որոշվող հաճախականությունների անալիզին։ Մաթեմատիկայի ներսում Ֆուրիեի շարքերը նույնպես ունեն կիրառություններ, ինչպես օրինակ մասնակի ածանցյալներով դիֆերենցիալ հավասարումները լուծելիս և այլն։

Աղբյուրներ[խմբագրել]

  1. "[1] Կանտորի կողմից բազմությունների տեսության ստեղծման մասին

Գրականություն[խմբագրել]

  • Grafakos, Loukas (2008), Classical Fourier analysis, 249 (2nd տպ.), Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-0-387-09432-8, ISBN 978-0-387-09431-1 
  • Grafakos, Loukas (2009), Modern Fourier analysis, 250 (2nd տպ.), Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-0-387-09434-2, ISBN 978-0-387-09433-5 
  • Zygmund, A. (2002), Trigonometric series. Vol. I, II (3rd տպ.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-89053-3 
  • Katznelson, Yitzhak (1976). An introduction to harmonic analysis (Second corrected տպ.). New York: Dover Publications, Inc. ISBN 0-486-63331-4. 
  • Nina K. Bary, A treatise on trigonometric series, Vols. I, II. Authorized translation by Margaret F. Mullins. A Pergamon Press Book. The Macmillan Co., New York 1964.
  • Körner, T.W. (1988), Fourier Analysis, Cambridge University Press, ISBN 0521389917 

Արտաքին հղումներ[խմբագրել]