«Պյութագորասի թեորեմ»–ի խմբագրումների տարբերություն

Content deleted Content added

Գծային

15:47, 21 Օգոստոսի 2013-ի տարբերակ

Պյութագորասի թեորեմը`
ուղիղ անկյանը կից a և b կողմերի վրա կառուցված քառակուսիների մակերեսների գումարը հավասար է c ներքնաձիգի վրա կառուցված քառակուսու մակերեսին։

Պյութագորասի թեորեմը ցույց է տալիս ուղղանկյուն եռանկյան կողմերի հարաբերակցությունը։
Թեորեմը ձեւակերպվում է հետեւյալ կերպ` Ուղղանկյուն եռանկյան ներքնաձիգի քառակուսին հավասար է էջերի քառակուսիների գումարին: Ներքնաձիգը ուղիղ անկյան դիմացի կողմն է, էջերը` ուղիղ անկյան կից կողմերը։ Պյութագորասի թեորեմը կարող է գրառվել հավասարման տեսքով, որը ցույց է տալիս եռանկյան a, b էջերի եւ c ներքնաձիգի միջեւ եղած կապը`

a²+b²=c²:

Այս հավասարմանը հաճախ ասում են Պյութագորասի հավասարում։
Պյութագորասի թեորեմը հույն մաթեմատիկոս Պյութագորասի (մ.թ.ա. 570թ.- մ.թ.ա. 495թ.) անունով է, ում վերագրվում է նրա հայտնագործումը եւ ապացուցումը։

Պյութագորասի թեորեմն ունի բազմաթիվ ապացույցներ` ավելի շատ, քան որեւէ այլ թեորեմ։

Ապացույցներ

Նման եռանկյունների մեթոդ

Դիցուք ABC-ն A ուղիղ անկյունով ուղղանկյուն եռանկյուն է։ A գագաթից տանենք AD բարձրությունը։ ADC և ABC եռանկյունները նման եռանկյուններ են ըստ երկու անկյունների։ Նմանապես BAD եռանկյունը նման է ABC եռանկյանը։ Մտցնենք հետևյալ նշանակումները

|AB|=a,|AC|=b,|BC|=c\,

ստացանք

{\frac {a}{c}}={\frac {|BD|}{a}};{\frac {b}{c}}={\frac {|CD|}{b}}.

ինչը համարժեք է

a^{2}=c\cdot |BD|;b^{2}=c\cdot |CD|.\,

Տեղադրելով կստանանք

a^{2}+b^{2}=c\cdot \left(|BD|+|CD|\right)=c^{2}.

կամ

a^{2}+b^{2}=c^{2}\,

, ինչը եւ պահանջվում էր ապացուցել:

Վերադասավորումներով ապացույց

Գոյություն ունեն Պյութագորասի թեորեմի բազմաթիվ ապացույցներ, որոնց ժամանակ օգտագործվում է ուղղանկյուն եռանկյունու կողմերի վրա կառուցված քառակուսիների բաժանումը մասերի եւ այդ մասերի վերադասավորումներով մյուսների ստացումը` մեծ քառակուսուց երկու փոքրերի կամ հակառակը։
Այստեղ բերված է այդ ապացույցներից մեկը։ Վերեւի երկու քառակուսիները, որոնք կառուցված են ուղղանկյուն եռանկյան երկու էջերի վրա, կապույտ եւ կանաչ գույների երանգներով բաժանված են մասերի։ Այդ մասերը վերադասավորելով, ստացվում է ներքնաձիգի վրա կառուցված ներքեւի քառակուսին։ Սա ցույց է տալիս, որ մեծ քառակուսու մակերեսը հավասար է երկու փոքրերի մակերեսների գումարին։
Ճիշտ է նաեւ հակառակը` ներքեւի մեծ քառակուսու մասերը կարելի է տեղավորել վերեւի երկու քառակուսիների մեջ։.^[1]

Պյութագորասի թվեր

Պյութագորասի հավասարմանը բավարարող բնական թվերի եռյակին ասում են Պյութագորասի թվեր։ Այսինքն` դրանք այն երեք թվերի խմբերն են, որոնցից երկուսի քառակուսիների գումարը հավասար է երրորդի քառակուսուն։
Մեզ ամենահայտնի եռյակն է 3, 4 եւ 5 թվերի շարքը, քանի որ` 3²+4²=5²։
Դրան հաջորդող եռյակներն են`

5, 12, 13;

8, 15, 17;

7, 24, 25;

20, 21, 29;

21, 28, 35;

12, 35, 37;

9, 40, 41....

Ծանոթագրություններ

↑ (Loomis 1968, Geometric proof 22 and Figure 123, page= 113)

Արտաքին հղումներ

Վիքիպահեստ նախագծում կարող եք այս նյութի վերաբերյալ հավելյալ պատկերազարդում գտնել Պյութագորասի թեորեմ կատեգորիայում։

Pythagorean Theorem (more than 70 proofs from cut-the-knot)

Կաղապար:Link GA Կաղապար:Link GA Կաղապար:Link FA Կաղապար:Link FA Կաղապար:Link FA Կաղապար:Link FA Կաղապար:Link FA Կաղապար:Link FA Կաղապար:Link GA Կաղապար:Link GA

[specifics-1] (Loomis 1968, Geometric proof 22 and Figure 123, page= 113)

[1]

@@ Տող 1. / Տող 1. @@
 [[Պատկեր:Pythagorean.svg|thumb|right|Պյութագորասի թեորեմը`<br />
-ուղիղ անկյանը կից ''a'' և ''b'' կողմերի վրա կառուցված [[քառակուսի]]ների [[մակերես]]ների [[գումար]]ը հավասար է ''c'' ներքնաձիգի վրա կառուցված քառակուսու մակերեսին:]]
+ուղիղ անկյանը կից ''a'' և ''b'' կողմերի վրա կառուցված [[քառակուսի]]ների [[մակերես]]ների [[գումար]]ը հավասար է ''c'' ներքնաձիգի վրա կառուցված քառակուսու մակերեսին։]]
-'''Պյութագորասի թեորեմը''' ցույց է տալիս ուղղանկյուն [[եռանկյուն|եռանկյան]] կողմերի հարաբերակցությունը: <br />
+'''Պյութագորասի թեորեմը''' ցույց է տալիս ուղղանկյուն [[եռանկյուն|եռանկյան]] կողմերի հարաբերակցությունը։ <br />
-Թեորեմը ձեւակերպվում է հետեւյալ կերպ` ''Ուղղանկյուն եռանկյան [[ներքնաձիգ]]ի [[քառակուսի]]ն հավասար է էջերի քառակուսիների գումարին:'' Ներքնաձիգը ուղիղ անկյան դիմացի կողմն է, էջերը` ուղիղ անկյան կից կողմերը:
+Թեորեմը ձեւակերպվում է հետեւյալ կերպ` ''Ուղղանկյուն եռանկյան [[ներքնաձիգ]]ի [[քառակուսի]]ն հավասար է էջերի քառակուսիների գումարին:'' Ներքնաձիգը ուղիղ անկյան դիմացի կողմն է, էջերը` ուղիղ անկյան կից կողմերը։
 Պյութագորասի թեորեմը կարող է գրառվել հավասարման տեսքով, որը ցույց է տալիս եռանկյան a, b էջերի եւ c ներքնաձիգի միջեւ եղած կապը`<br />
-::a<sup>2</sup>+b<sup>2</sup>=c<sup>2</sup>:<br />
+::a<sup>2</sup>+b<sup>2</sup>=c<sup>2</sup>:
-Այս հավասարմանը հաճախ ասում են Պյութագորասի հավասարում:<br />
+Այս հավասարմանը հաճախ ասում են Պյութագորասի հավասարում։<br />
-Պյութագորասի թեորեմը հույն մաթեմատիկոս Պյութագորասի (մ.թ.ա. 570թ.- մ.թ.ա. 495թ.) անունով է, ում վերագրվում է նրա հայտնագործումը եւ ապացուցումը:
+Պյութագորասի թեորեմը հույն մաթեմատիկոս Պյութագորասի (մ.թ.ա. 570թ.- մ.թ.ա. 495թ.) անունով է, ում վերագրվում է նրա հայտնագործումը եւ ապացուցումը։
-Պյութագորասի թեորեմն ունի բազմաթիվ ապացույցներ` ավելի շատ, քան որեւէ այլ [[թեորեմ]]:<br />
+Պյութագորասի թեորեմն ունի բազմաթիվ ապացույցներ` ավելի շատ, քան որեւէ այլ [[թեորեմ]]։
 ==Ապացույցներ==
@@ Տող 17. / Տող 15. @@
 [[Պատկեր:Altitude to the Hypotenuse of a Right Triangle.JPG|right|140px‎]]
-Դիցուք ''ABC''-ն  ''A'' ուղիղ անկյունով ուղղանկյուն եռանկյուն է:
+Դիցուք ''ABC''-ն  ''A'' ուղիղ անկյունով ուղղանկյուն եռանկյուն է։
-''A'' գագաթից տանենք ''AD'' բարձրությունը:
+''A'' գագաթից տանենք ''AD'' բարձրությունը։
-''ADC'' և ''ABC'' եռանկյունները նման եռանկյուններ են ըստ երկու անկյունների:
+''ADC'' և ''ABC'' եռանկյունները նման եռանկյուններ են ըստ երկու անկյունների։
-Նմանապես ''BAD'' եռանկյունը նման է ''ABC'' եռանկյանը:
+Նմանապես ''BAD'' եռանկյունը նման է ''ABC'' եռանկյանը։
 Մտցնենք հետևյալ նշանակումները
 : <math> |AB|=a, |AC|=b, |BC|=c\,</math>
@@ Տող 30. / Տող 28. @@
 : <math>a^2+b^2=c\cdot\left(|BD|+|CD|\right)=c^2.</math>
 կամ
-: <math>a^2+b^2=c^2\,</math>, ինչը եւ պահանջվում էր ապացուցել:<br />
+: <math>a^2+b^2=c^2\,</math>, ինչը եւ պահանջվում էր ապացուցել:
 === Վերադասավորումներով ապացույց ===
@@ Տող 36. / Տող 34. @@
 {|
 | [[File:Pythagorean theorem rearrangement.svg|thumb|240px|right|Պյութագորասի թեորեմի ապացույցի տարբերակ` վերադասավորումների միջոցով:]]<br />
-Գոյություն ունեն Պյութագորասի թեորեմի բազմաթիվ ապացույցներ, որոնց ժամանակ օգտագործվում է ուղղանկյուն եռանկյունու կողմերի վրա կառուցված քառակուսիների բաժանումը մասերի եւ այդ մասերի վերադասավորումներով մյուսների ստացումը` մեծ քառակուսուց երկու փոքրերի կամ հակառակը:<br />
+Գոյություն ունեն Պյութագորասի թեորեմի բազմաթիվ ապացույցներ, որոնց ժամանակ օգտագործվում է ուղղանկյուն եռանկյունու կողմերի վրա կառուցված քառակուսիների բաժանումը մասերի եւ այդ մասերի վերադասավորումներով մյուսների ստացումը` մեծ քառակուսուց երկու փոքրերի կամ հակառակը։<br />
-Այստեղ բերված է այդ ապացույցներից մեկը:
+Այստեղ բերված է այդ ապացույցներից մեկը։
-Վերեւի երկու [[քառակուսի]]ները, որոնք կառուցված են ուղղանկյուն եռանկյան երկու էջերի վրա,  կապույտ եւ կանաչ գույների երանգներով բաժանված են մասերի: Այդ մասերը վերադասավորելով, ստացվում է ներքնաձիգի վրա կառուցված ներքեւի քառակուսին: Սա ցույց է տալիս, որ մեծ քառակուսու [[մակերես]]ը հավասար է երկու փոքրերի մակերեսների [[գումար]]ին: <br />
+Վերեւի երկու [[քառակուսի]]ները, որոնք կառուցված են ուղղանկյուն եռանկյան երկու էջերի վրա,  կապույտ եւ կանաչ գույների երանգներով բաժանված են մասերի։ Այդ մասերը վերադասավորելով, ստացվում է ներքնաձիգի վրա կառուցված ներքեւի քառակուսին։ Սա ցույց է տալիս, որ մեծ քառակուսու [[մակերես]]ը հավասար է երկու փոքրերի մակերեսների [[գումար]]ին։ <br />
-Ճիշտ է նաեւ հակառակը` ներքեւի մեծ քառակուսու մասերը կարելի է տեղավորել վերեւի երկու քառակուսիների մեջ:.<ref name=specifics>{{Harv|Loomis|1968|loc= Geometric proof 22 and Figure 123, page= 113}}</ref><br />
+Ճիշտ է նաեւ հակառակը` ներքեւի մեծ քառակուսու մասերը կարելի է տեղավորել վերեւի երկու քառակուսիների մեջ։.<ref name=specifics>{{Harv|Loomis|1968|loc= Geometric proof 22 and Figure 123, page= 113}}</ref>
 == Պյութագորասի թվեր ==
 <br />
-Պյութագորասի հավասարմանը բավարարող բնական թվերի եռյակին ասում են Պյութագորասի թվեր: Այսինքն` դրանք այն երեք թվերի խմբերն են, որոնցից երկուսի քառակուսիների գումարը հավասար է երրորդի քառակուսուն:<br />
+Պյութագորասի հավասարմանը բավարարող բնական թվերի եռյակին ասում են Պյութագորասի թվեր։ Այսինքն` դրանք այն երեք թվերի խմբերն են, որոնցից երկուսի քառակուսիների գումարը հավասար է երրորդի քառակուսուն։<br />
-Մեզ ամենահայտնի եռյակն է 3, 4 եւ 5 թվերի շարքը, քանի որ` 3<sup>2</sup>+4<sup>2</sup>=5<sup>2</sup>:<br />
+Մեզ ամենահայտնի եռյակն է 3, 4 եւ 5 թվերի շարքը, քանի որ` 3<sup>2</sup>+4<sup>2</sup>=5<sup>2</sup>։<br />
 Դրան հաջորդող եռյակներն են`<br />
-:::5, 12, 13;<br />
+:::5, 12, 13;
-:::8, 15, 17;<br />
+:::8, 15, 17;
-:::7, 24, 25;<br />
+:::7, 24, 25;
-:::20, 21, 29;<br />
+:::20, 21, 29;
-:::21, 28, 35;<br />
+:::21, 28, 35;
-:::12, 35, 37;<br />
+:::12, 35, 37;
-:::9, 40, 41....<br />
+:::9, 40, 41....
 == Ծանոթագրություններ ==
 {{ծանցանկ}}
+==Արտաքին հղումներ==
+{{Commons category}}
+* [http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/index.shtml Pythagorean Theorem] (more than 70 proofs from [[cut-the-knot]])
 [[Կատեգորիա:Հավասարումներ]]
 [[Կատեգորիա:Եռանկյունիներ]]
@@ Տող 78. / Տող 73. @@
 {{Link GA|en}}
 {{Link GA|uk}}
-==Արտաքին հղումներ==
-{{Commons category}}
-* [http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/index.shtml Pythagorean Theorem] (more than 70 proofs from [[cut-the-knot]])