Ձևեր (մաթեմատիկա)

Ձևեր մաթեմատիկայում, մի քանի փոփոխականի բազմանդամներ որոնց բոլոր անդամներն ունեն միևնույն աստիճանը։

$x_{1}^{\alpha _{1}}\cdot x_{2}^{\alpha _{2}}\cdot ...\cdot x_{n}^{\alpha _{n}}$ տեսքի միանդամի աստիճան ասելով հասկանում ենք $\alpha _{1}+\alpha _{2}+...+\alpha _{n}$ թիվը։ Այդ աստիճանը կոչվում է ձևի աստիճան։

Կիրառություն

Ձևերը կիրառություն ունեն մաթեմատիկայի տարբեր բաժիններում, ինչպես նաև մեխանիկայում։ ($x_{1},x_{2},...,x_{n}$-ից $n$-փոփոխականի գծային (առաջին աստիճանի) ձևի ընդհանուր տեսքն է $L(x_{1},x_{2},...,x_{n})=a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+...+a_{n}x_{n}$, որտեղ $a_{1},a_{2},...,a_{n}$ գործակիցները թվեր են։

Կիրառություններում առավել կարևոր դեր են խաղում քառակուսային (երկրորդ աստիճանի) ձևերը։ Օրինակ, եթե շարժվող մեխանիկական համակարգի վիճակը մնում է մոտ կայունին, ապա նրա կինետիկ և պոտենցիալ էներգիաները (եթե նրանք բացահայտորեն կախված չեն ժամանակից) համապատասխանաբար ներկայացվում են). $$T=\sum _{i,k=1}^{n}a_{ik}q_{i}q_{k}{\text{ և }}U=\sum _{i,k=1}^{n}b_{ik}q_{i}q_{k}$$ $q_{k}$-երը կամ $q_{k}$-երի բկատմամբ քառակուսային ձևերով։

Տարբեր աստիճանի ձևերը կիրառություններ ունեն հանրահաշվական երկրաչափության (հատկապես ինվարիանտների տեսության) և թվերի տեսության մեջ։

Դիֆերենցիալ երկրաչափության և Ռիմանյան երկրաչափություն

Դիֆերենցիալ երկրաչափության և Ռիմանյան երկրաչափության մեջ, ինչպես նաև մաթեմատիկայի մի շարք այլ բաժիններում օգտագործվում են դիֆերենցիալ ձևեր։ Դիֆերենցիալ ձևը $x_{1},x_{2},...,x_{n}$ փոփոխականների $dx_{1},dx_{2},...,dx_{n}$ դիֆերենցիալների նկատմամբ բազմանդամ է, որի յուրաքանչյուր անդամ ունի միևնույն $k\ (k\leq n)$ աստիճանը, իսկ այդ բազմանդամի գործակիցները $x_{1},x_{2},...,x_{n}$ փոփոխականների ֆունկցիաներ են (հաճախ որոշակի դասի պատկանող)։

Դիֆերենցիալ ձևի օրինակներ են մակերևույթների տեսության առաջին և երկրորդ քառակուսային ձև։ Ինտեգրալ հաշվի շատ արդյունքներ, օրինակ Գրինի բանաձևը, Ստոքսի բանաձևը, Գաուս-Օստոգրադսկու թեորեմը ըստ էության կարող են դիտվել որպես տարբեր աստիճանի դիֆերենցիալ ձևի միջև կապ հաստատող բանաձևեր։

Ընդհանրացնելով այդ առնչությունները, ֆրանսիացի մաթեմատիկոս Է. Կարտանը կառուցեց արտաքին դիֆերենցման տեսությունը, որը կարևոր դեր է խաղում ժամանակակից մաթեմատիկայում։

Այս հոդվածի կամ նրա բաժնի որոշակի հատվածի սկզբնական կամ ներկայիս տարբերակը վերցված է Քրիեյթիվ Քոմմոնս Նշում–Համանման տարածում 3.0 (Creative Commons BY-SA 3.0) ազատ թույլատրագրով թողարկված Հայկական սովետական հանրագիտարանից  (հ․ 6, էջ 701)։