Գրինի բանաձևեր

Գրինի բանաձևեր, տիրույթով և նրա եզրագծով տարածված ինտեգրալների միջև կապ հաստատող բանաձևեր։ Անվանվել է ի պատիվ Ջորջ Գրինի։ Սա որոշ թեորեմների հատուկ բանալի է, որոնք կապված են երկչափ տարածությունների հետ։

$\int _{L}Pdx+Qdy=\iint _{G}\left({\frac {\partial Q}{\partial x}}-{\frac {\partial P}{\partial y}}\right)dxdy$

բանաևով (հայտնի էր դեռևս Լեոնարդ Էյլերին) կապվում են կրկնակի ինտեգրալն ըստ $G$ տիրույթի և կորագիծ ինտեգրալն ըստ $G$-ի $L$ եզրագծի։ Մյուս երկու բանաձևերը Ջորջ Գրինը հրատարակել է 1828 թվականին՝ կապված պոտենցիալների տեսության հետազոտությունների հետ։ Դրանք են.

$\iiint \left({\frac {\partial u}{\partial x}}{\frac {\partial v}{\partial x}}+{\frac {\partial u}{\partial y}}{\frac {\partial v}{\partial y}}+{\frac {\partial u}{\partial z}}{\frac {\partial v}{\partial z}}\right)dxdydz=\iint _{S}v{\frac {\partial u}{\partial n}}\partial \sigma -\iiint _{G}v\Delta udxdydz$ (առաջին կամ նախնական Գրինի բանաձև)

և

$\iiint _{G}(u\Delta v-v\Delta u)dxdydz=\iint _{S}\left(u{\frac {\partial v}{\partial n}}-v{\frac {\partial u}{\partial n}}\right)d\sigma$

որտեղ $u,v$ ֆունկցիաները $G$ տիրույթում որոշված ողորկ ֆունկցիաներ են, իսկ $S$-ը՝ $G$-ն սահմանափակող կտոր առ կտոր ողորկ մակերևույթ,

$\Delta u={\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}$ (հանգուներեն $\Delta v$-ն), ${\frac {\partial u}{\partial n}},{\frac {\partial v}{\partial n}}$-երը ածանցյալներ են $S$-ի արտաքին նորմալների ուղղությամբ։

Աղբյուրներ

• Calculus (5th edition), F. Ayres, E. Mendelson, Schaum's Outline Series, 2009, ISBN 978-0-07-150861-2.
• Advanced Calculus (3rd edition), R. Wrede, M.R. Spiegel, Schaum's Outline Series, 2010, ISBN 978-0-07-162366-7.

Այս հոդվածի կամ նրա բաժնի որոշակի հատվածի սկզբնական կամ ներկայիս տարբերակը վերցված է Քրիեյթիվ Քոմմոնս Նշում–Համանման տարածում 3.0 (Creative Commons BY-SA 3.0) ազատ թույլատրագրով թողարկված Հայկական սովետական հանրագիտարանից  (հ․ 3, էջ 229)։

Վիքիպահեստն ունի նյութեր, որոնք վերաբերում են «Գրինի բանաձևեր» հոդվածին։