Կատեգորիա (մաթեմատիկա)

Մաթեմատիկայում, կատեգորիաները յատուկ մաթեմատիկական կառուցուածքներ են՝ հանրահաշուային ըստ բնոյթի, որ լայն կիրառում ունեն մաթեմատիկայի տարբեր ճիւղերում։ Կատեգորիաների հիմնական առաւելութիւնն այն է, որ նրանք ներառում են շատ մաթեմատիկական գաղափարները մի ընդհանրական լեզուի ներքոյ։ Բացի դրանից կատեգորիական մեթոդներով հնարաւոր է ապացուցել մեծ քանակով փաստեր առանց երբևիցէ խօսելու, թէ ինչ է տեղի ունենում դիտարկուող օբյեկտների ներսում։ Միևնոյն ժամանակ՝ մաթեմատիկոսներին հետաքրքրող օբյեկտներից շատերը պահպանում են կատեգորիական կառուցուածքը․ որպէս օրինակ՝ ֆունդամենտալ խումբը, հոմոլոգիայի, կոհոմոլոգիայի մոդուլները, հոմոտոպիայի խմբերը, և այն։ Մոնոիդները, խմբերը, խմբոիդները, մասնակի կարգաւորուած բազմութիւնները կարող են սահմանուել կատեգորիաների միջոցով։ Մեզ առաւել հետաքրքրող կատեգորիաներից կլինեն, բազմութիւնների կատեգորիան՝ $\displaystyle \mathbf {Set}$, խմբերի կատեգորիան՝ $\displaystyle \mathbf {Group}$, օղակների կատեգորիան՝ $\displaystyle \mathbf {Ring}$, տոպոլոգիական տարածութիւնների կատեգորիան՝ $\displaystyle \mathbf {Top}$, որոնք մենք կսահմանենք յաջորդիւ։

Սահմանում

Կատեգորիա $\displaystyle \mathbf {C}$-ն բաղկացած է հետևեալ մասերից և պայմաններից։

• $\displaystyle \mathbf {C}$-ն ունի օբյեկտերի դաս, որը նշանակւում է $\displaystyle \mathrm {Ob} (\mathbf {C} )$-ով։
• $\displaystyle \mathbf {C}$-ն ունի մորֆիզմների դաս, որը նշանակւում է $\displaystyle \mathrm {Hom} (\mathbf {C} )$-ով (երբեմն էլ՝ $\displaystyle \mathrm {Mor} (\mathbf {C} )$-ով)։
• Գոյութիւն ունեն երկու արտապատկերում $\displaystyle \iota ,\varphi :\mathrm {Hom} (\mathbf {C} )\rightarrow \mathrm {Ob} (\mathbf {C} )$։ Եթէ $\displaystyle f\in \mathrm {Hom} (\mathbf {C} )$, ապա $\displaystyle \iota (f)$-ը $\displaystyle f$-ի աղբիւր կամ սկզբնակէտ է կոչւում, իսկ $\displaystyle \varphi (f)$-ը՝ $\displaystyle f$-ի աւարտ կամ վերջնակէտ։ Եթէ $\displaystyle A,B\in \mathrm {Ob} (\mathbf {C} )$, $\displaystyle \iota (f)=A$ և $\displaystyle \varphi (f)=B$, ապա մենք կգրենք $\displaystyle f:A\rightarrow B$ և կասենք, որ $\displaystyle f$-ը $\displaystyle A$-ից $\displaystyle B$ մորֆիզմ է։ Կպահանջենք նաև, որ բոլոր $\displaystyle A$-ից $\displaystyle B$ մորֆիզմները կազմեն բազմութիւն, բոլոր $\displaystyle A$ և $\displaystyle B$ օբյեկտների համար։ Մենք կնշնակենք այս բազմութիւնը $\displaystyle [A,B]$-ով։ Գրականութեան մէջ այս բազմութիւնը յաճախ նշանակւում է $\displaystyle \mathrm {Hom} (A,B)$-ով կամ $\displaystyle \mathrm {Mor} (A,B)$-ով։
• Գոյութիւն ունի համադրոյթի գործողութիւն $\displaystyle \circ _{(A,B,C)}:[B,C]\times [A,B]\rightarrow [A,C]$, ցանկացած $\displaystyle A,B,C\in \mathrm {Ob} (\mathbf {C} )$ եռեակի համար։ Եթէ $\displaystyle f:B\rightarrow C$ և $\displaystyle g:A\rightarrow B$, մենք $\displaystyle \circ _{(A,B,C)}(f,g)$ գրելու փոխարէն կգրենք $\displaystyle f\circ g$, երբ սա երկիմաստութիւններ չի առաջացնի (այս դէպքում միշտ)։
• Ցանկացած օբյեկտ $\displaystyle A$-ի համար գոյութիւն ունի յատուկ միաւոր մորֆիզմ․ $\displaystyle \mathbf {1} _{A}\in [A,A]$։ Այս մորֆիզմը բաւարարում է հետևեալ պայմանին՝ ցանկացած $\displaystyle f\in [B,A]$ և $\displaystyle g\in [A,C]$ մորֆիզմների համար $\displaystyle f=\mathbf {1} _{A}\circ f$ ու $\displaystyle g=g\circ \mathbf {1} _{A}$։
• Նաև համադրոյթը ասոցիատիւ է։ Սա նշանակում է, որ հետևեալ դիագրամը կոմուտատիւ է․

${\begin{aligned}&[C,\ D]\times [B,\ C]\times [A,\ B]\xrightarrow {\qquad 1\times \circ \qquad } [C,\ D]\times [A,\ C]\\&\qquad \ \left.{\begin{aligned}\\\circ \times 1\\{}\end{aligned}}\right\downarrow \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \ \left\downarrow {\begin{aligned}\\\circ \\{}\end{aligned}}\right.\\&\quad \ \ \ [B,\ D]\times [A,\ B]\xrightarrow {\ \ \qquad \qquad \circ \qquad \qquad \ \ } [A,\ D]\end{aligned}}$

Սա կարելի է վերաձևակերպել հետևեալ կերպով․ $\displaystyle (f\circ g)\circ h=f\circ (g\circ h)$ բոլոր համապատասխան մորֆիզմների համար։

Օրինակներ

Բազմութիւնները, խմբերը, տոպոլոգիական տարածութիւնները, մոդուլները հեշտութեամբ կարելի է վերածել կատեգորիաների։ Հետևեալ աղիւսեակը ցոյց է տալիս, թէ այս կատեգորիաներում, որոնք են օբյեկները, մորֆիզմները, և որն է համադրոյթը։

$\mathbf {C}$	$\mathbf {Set}$	$\mathbf {Group}$	$\mathbf {Top}$	$\mathbf {R-Mod}$
$\mathrm {Ob} (\mathbf {C} )$	բազմութիւններ	խմբեր	տոպոլոգիական տարածութիւններ	$\displaystyle R$-մոդուլներ
$\mathrm {Hom} (\mathbf {C} )$	ֆունկցիաներ	հոմոմորֆիզմներ	անընդյատ ֆունկցիաներ	հոմոմորֆիզմներ
$\circ$	ֆունկցիոնալ համադրոյթ

Որոշ հանրահաշուային օբյեկտներ կարելի է հեշտութեամբ սահմանել կատեգորիաների միջոցով։ Օրինակ՝ մոնոիդը կարելի է սահմանել, որպէս կատեգորիա մէկ օբյեկտով։ Նմանապէս՝ խումբը կարելի է սահմանել, որպէս մոնոիդ որում բոլոր մորֆիզները իզոմորֆիզմ են, այսինքն՝ ունեն հակադարձներ։ Խմբոիդ դա կատեգորիա է, որի բոլոր մորֆիզմները իզոմորֆիզմ են։ Մասնակի կարգաւորուած բազմութիւնը, դա այնպիսի փոքր կատեգորիա է (այսինքն՝ օբյեկտները բազմութիւն են կազմում), որ $\displaystyle \mathrm {card} \{[A,B]\cup [B,A]\}\leq 1$ բոլոր $\displaystyle A,B$ օբյեկտների համար։ Լրիւ կարգաւորուած բազմութիւնների դէպքում, $\displaystyle \mathrm {card} \{[A,B]\cup [B,A]\}=1$։ Համարժէքութիւն $\displaystyle X$ բազմութեան վրայ կարելի է կոչել այն խմբոիդը, որը կապակցուած է, այսինքն՝ ցանկացած երկու օբյեկտների միջեւ գոյութիւն ունի մորֆիզմ, որի ցանկացած (համարժէքօրէն՝ որեւէ) օբյեկտի աւտոմորֆիզմների խումբը տրիւեալ է, եւ որի օբյեկներն են $\displaystyle X$-ի տարրերը։

Դուալ Կատեգորիա

Եթէ մեզ տրուած է որևէ $\displaystyle \mathbf {C}$ կատեգորիա, մենք կարող ենք սահմանել նրա դուալ $\displaystyle \mathbf {C} ^{*}$ կատեգորիան։ Այս կատեգորիայի համար $\displaystyle \mathrm {Ob} (\mathbf {C} ^{*})=\mathrm {Ob} (\mathbf {C} )$, և զուտ տարբերակելու համար $\displaystyle \mathbf {C}$-ի $\displaystyle A$ օբյեկտը մենք կնշանակենք $\displaystyle A^{*}$-ով $\displaystyle \mathbf {C} ^{*}$-ում։ Մորֆիզմների միջև էլ գոյութիւն համապատասխանութիւն․ $\displaystyle [A,B]=[B^{*},A^{*}]$։ $\displaystyle f$ մորֆիզմին համապատասխանող մորֆիզմը կնշանակենք $\displaystyle f^{*}$։ համադրոյթը կսահմանենք այս կանոնով․ $\displaystyle f^{*}\circ g^{*}=(g\circ f)^{*}$։ Կարելի է հեշտօրէն ստուգել, որ բոլոր կատեգորիայի աքսիոմները բաւարարւում են։

Շատ յաճախ ակնյայտ չէ, թէ դուալ կատեգորիան իրենից ինչ է ներկայացնում։ Օրինակ՝ խմբի դուալը համարԺէք է իրեն, սակայն մասնակի կարգաւորուած բազմութեան դուալը նոյն բազմութիւնն է, բայց հակառակ կարգաւորուածութեամբ, և սա միշտ չէ որ համարժէք է սկզբնական կարգաւորուած բազմութեանը։

Բաւականին տարբեր են $\mathbf {Set}$-ն ու $\mathbf {Set} ^{*}$-ը։ Եթէ մեզ տրուած են երկու բազմութիւնները $\displaystyle A$-ն և $\displaystyle B$-ն, ապա մենք կարող ենք բնութագրել $f\in [B^{*},A^{*}]$, որպէս ֆունկցիա $f:{\mathcal {P}}(B)\rightarrow {\mathcal {P}}(A)$, որի դէպքում

$\displaystyle f\left(\bigcup _{U\in {\mathcal {A}}}U\right)=\bigcup _{U\in {\mathcal {A}}}f(U)$, $\displaystyle f\left(\bigcap _{U\in {\mathcal {A}}}U\right)=\bigcap _{U\in {\mathcal {A}}}f(U)$

պայմաններն են բաւարւում ցանկանցած ${\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {P}}(B)$ ենթաբազմութիւնների ընտանիքի համար, այդ թւում և դատա՛րկ։ Այստեղ ի յարկէ $\displaystyle {\mathcal {P}}$-ն ենթաբազմութիւնների բազմութեան վերցման գործողութիւնն է։ Մորֆիզմների համադրոյթը այս դէպքում լինում է հասարակ ֆունկցիաների համադրոյթը։ Դուալի այս բնութագրով, դուալ համապատասխանութիւնը ուղարկում է $g:A\rightarrow B$ ֆունկցիան $\mathbf {Set}$-ում առ $g^{-1}:{\mathcal {P}}(B)\rightarrow {\mathcal {P}}(A)$ ֆունկցիա $\mathbf {Set} ^{*}$-ում։

Մորֆիզմների Յատուկ Տեսակներ

Որոշ մորֆիզմներ ունեն յատուկ անուններ։ $\displaystyle f:A\rightarrow B$ մորֆիզմը

• մոնոմորֆիզմ է, եթէ այն ձախ կրճատելի է, այսինքն՝ $\displaystyle f\circ g_{1}=f\circ g_{2}\Rightarrow g_{1}=g_{2}$
• էպիմորֆիզմ է, եթէ այն աջ կրճատելի է, այսինքն՝ $\displaystyle g_{1}\circ f=g_{2}\circ f\Rightarrow g_{1}=g_{2}$
• յատոյթ է, եթէ այն ունի ձախ հակադարձ, այսինքն՝ գոյութիւն ունի $g:B\rightarrow A$, այնպէս որ $g\circ f=\mathbf {1} _{A}$
• անկում է, եթէ այն ունի աջ հակադարձ, այսինքն՝ գոյութիւն ունի $g:B\rightarrow A$, այնպէս որ $f\circ g=\mathbf {1} _{B}$
• իզոմորֆիզմ է, եթէ այն յատոյթ է և անկում
• էնդոմորֆիզմ է, եթէ $\displaystyle A=B$, հետևելով այս անուանմանը՝ $\displaystyle \mathrm {End} (A)=[A,A]$
• աւտոմորֆիզմ է, եթէ այն էնդոմորֆիզմ է և իզոմորֆիզմ, հետևելով այս անուանման մենք այն կգրենք, որպէս $\displaystyle \mathrm {Aut} (A)$

Նկատենք, որ իզոմորֆիզմի աջ և ձախ հակադարձները նոյն են՝ որպէս ասոցիատիւութեան հետևանք։ Նշենք նաև, որ ցանկացած յատոյթ մոնոմորֆիզմ է, իսկ ցանկացած անկում՝ էպիմորֆիզմ։ Հեշտօրէն կարելի ստուգել, որ $\mathbf {Set}$-ում մոնոմորֆիզմներն (էպիմորֆիզմներն) ու յատոյթները (անկումները) համընկնում են ինյեկտիւ (սիւրյեկտիւ) ֆունկիցիաների հետ։ Սակայն $\mathbf {Top}$-ում իրադրութիւնը փոխւում է։ Մինչդեռ մոնոմորֆիզմները համարժէք են ինյեկտիւ անընդհատ ֆունկցիաներին, էպիմորֆիզմները՝ անպայման չէ, որ լինեն սիւրյեկտիւ։ Սա ցուցադրելու համար, մենք կդիտարկենք $i:\mathbb {Q} \hookrightarrow \mathbb {R}$։ Իրօք, $\mathbb {Q}$-ն խիտ է $\mathbb {R}$-ում, և այդ պատճառով բոլոր $\mathbb {R}$-ից դուրս եկացող անընդհատ ֆունկցիաները լրիւ որոշուած են $\mathbb {Q}$-ում ընդունած իրենց արժէքներով։ Սա նշանակում է, որ $\displaystyle i$-ն էպիմորֆիզմ է։ Սակայն սիւրյեկտիւ չլինելու պատճառով այն անկում չի կարող լինել։

Դուալիզացումը վեր է ածում մոնոմորֆիզմները էպիմորֆիզմների, յատոյթներն՝ անկումների, և հակառակը։

Աղբյուրներ

• Mac Lane, Saunders (1998), Categories for the Working Mathematician, Graduate Texts in Mathematics 5 (2nd ed.), Springer-Verlag, ISBN 0-387-98403-8 .