Կատեգորիա (մաթեմատիկա)

Վիքիպեդիայից՝ ազատ հանրագիտարանից

Մաթեմատիկայում, կատեգորիաները յատուկ մաթեմատիկական կառուցուածքներ են՝ հանրահաշուային ըստ բնոյթի, որ լայն կիրառում ունեն մաթեմատիկայի տարբեր ճիւղերում։ Կատեգորիաների հիմնական առաւելութիւնը կայանում է նրանում, որ նրանք ներառում են շատ մաթեմատիկական գաղափարները մի ընդհանրական լեզուի ներքոյ։ Բացի դրանից կատեգորիական մեթոդներով հնարաւոր է ապացուցել մեծ քանակով փաստեր առանց երբևիցէ խօսելու, թէ ինչ է տեղի ունենում դիտարկուող օբյեկտների ներսում։ Միևնոյն ժամանակ՝ մաթեմատիկոսներին հետաքրքրող օբյեկտներից շատերը պահպանում են կատեգորիական կառուցուածքը․ որպէս օրինակ՝ ֆունդամենտալ խումբը, հոմոլոգիայի, կոհոմոլոգիայի մոդուլները, հոմոտոպիայի խմբերը, և այն։ Մոնոիդները, խմբերը, խմբոիդները, մասնակի կարգաւորուած բազմութիւնները կարող են սահմանուել կատեգորիաների միջոցով։ Մեզ առաւել հետաքրքրող կատեգորիաներից կլինեն, բազմութիւնների կատեգորիան՝ , խմբերի կատեգորիան՝ , օղակների կատեգորիան՝ , տոպոլոգիական տարածութիւնների կատեգորիան՝ , որոնք մենք կսահմանենք յաջորդիւ։

Սահմանում[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Կատեգորիա -ն բաղացած է հետևեալ մասերից և պայմաններից։

  • -ն ունի օբյեկտերի դաս, որը նշանակւում է -ով։
  • -ն ունի մորֆիզմների դաս, որը նշանակւում է -ով (երբեմն էլ՝ -ով)։
  • Գոյութիւն ունեն երկու արտապատկերում ։ Եթէ , ապա -ի աղբիւր կամ սկզբնակէտ է կոչւում, իսկ -ը՝ -ի աւարտ կամ վերջնակէտ։ Եթէ , և , ապա մենք կգրենք և կասենք, որ -ից մորֆիզմ է։ Կպահանջենք նաև, որ բոլոր -ից մորֆիզմները կազմեն բազմութիւն, բոլոր և օբյեկտների համար։ Մենք կնշնակենք այս բազմութիւնը -ով։ Գրականութեան մէջ այս բազմութիւնը յաճախ նշանակւում է -ով կամ -ով։
  • Գոյութիւն ունի համադրոյթի գործողութիւն , ցանկացած եռեակի համար։ Եթէ և , մենք գրելու փոխարէն կգրենք , երբ սա երկիմաստութիւններ չի առաջացնի (այս դէպքում միշտ)։
  • Ցանկացած օբյեկտ -ի համար գոյութիւն ունի յատուկ միաւոր մորֆիզմ․ ։ Այս մորֆիզմը բաւարարում է հետևեալ պայմանին՝ ցանկացած և մորֆիզմների համար ու ։
  • Նաև համադրոյթը ասոցիատիւ է։ Սա նշանակում է, որ հետևեալ դիագրամը կոմուտատիւ է․
DefinitionAssociativeCompositionDiagram.gif

Սա կարելի է վերաձևակերպել հետևեալ կերպով․ բոլոր համապատասխան մորֆիզմների համար։

Օրինակներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Բազմութիւնները, խմբերը, տոպոլոգիական տարածութիւնները, մոդուլները հեշտութեամբ կարելի է վերածել կատեգորիաների։ Հետևեալ աղիւսեակը ցոյց է տալիս, թէ այս կատեգորիաներում, որոնք են օբյեկները, մորֆիզմները, և որն է համադրոյթը։

բազմութիւններ խմբեր տոպոլոգիական տարածութիւններ -մոդուլներ
ֆունկցիաներ հոմոմորֆիզմներ անընդյատ ֆունկցիաներ հոմոմորֆիզմներ
ֆունկցիոնալ համադրոյթ

Որոշ հանրահաշուային օբյեկտներ կարելի է հեշտութեամբ սահմանել կատեգորիաների միջոցով։ Օրինակ՝ մոնոիդը կարելի է սահմանել, որպէս կատեգորիա մէկ օբյեկտով։ Նմանապէս՝ խումբը կարելի է սահմանել, որպէս մոնոիդ որում բոլոր մորֆիզները իզոմորֆիզմ են, այսինքն՝ ունեն հակադարձներ։ Խմբոիդ դա կատեգորիա է, որի բոլոր մորֆիզմները իզոմորֆիզմ են։ Մասնակի կարգաւորուած բազմութիւնը, դա այնպիսի փոքր կատեգորիա է (այսինքն՝ օբյեկտները բազմութիւն են կազմում), որ բոլոր օբյեկտների համար։ Լրիւ կարգաւորուած բազմութիւնների դէպքում, ։ Համարժէքութիւն բազմութեան վրայ կարելի է կոչել այն խմբոիդը, որը կապակցուած է, այսինքն՝ ցանկացած երկու օբյեկտների միջեւ գոյութիւն ունի մորֆիզմ, որի ցանկացած (համարժէքօրէն՝ որեւէ) օբյեկտի աւտոմորֆիզմների խումբը տրիւեալ է, եւ որի օբյեկներն են -ի տարրերը։

Դուալ Կատեգորիա[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Եթէ մեզ տրուած է որևէ կատեգորիա, մենք կարող ենք սահմանել նրա դուալ կատեգորիան։ Այս կատեգորիայի համար , և զուտ տարբերակելու համար օբյեկտը մենք կնշանակենք -ով -ում։ Մորֆիզմների միջև էլ գոյութիւն համապատասխանութիւն․ ։ մորֆիզմին համապատասխանող մորֆիզմը կնշանակենք ։ համադրոյթը կսահմանենք այս կանոնով․ ։ Կարելի է հեշտօրէն ստուգել, որ բոլոր կատեգորիայի աքսիոմները բաւարարւում են։

Շատ յաճախ ակնյայտ չէ, թէ դուալ կատեգորիան իրենից ինչ է ներկայացնում։ Օրինակ՝ խմբի դուալը համարԺէք է իրեն, սակայն մասնակի կարգաւորուած բազմութեան դուալը նոյն բազմութիւնն է, բայց հակառակ կարգաւորուածութեամբ, և սա միշտ չէ որ համարժէք է սկզբնական կարգաւորուած բազմութեանը։

Բաւականին տարբեր են -ն ու -ը։ Եթէ մեզ տրուած են երկու բազմութիւնները -ն և -ն, ապա մենք կարող ենք բնութագրել , որպէս ֆունկցիա , որի դէպքում

,

պայմաններն են բաւարւում ցանկանցած ենթաբազմութիւնների ընտանիքի համար, այդ թւում և դատա՛րկ։ Այստեղ ի յարկէ -ն ենթաբազմութիւնների բազմութեան վերցման գործողութիւնն է։ Մորֆիզմների համադրոյթը այս դէպքում լինում է հասարակ ֆունկցիաների համադրոյթը։ Դուալի այս բնութագրով, դուալ համապատասխանութիւնը ուղղարկում է ֆունկցիան -ում առ ֆունկցիա -ում։

Մորֆիզմների Յատուկ Տեսակներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Որոշ մորֆիզմներ ունեն յատուկ անուններ։ մորֆիզմը

  • մոնոմորֆիզմ է, եթէ այն ձախ կրճատելի է, այսինքն՝
  • էպիմորֆիզմ է, եթէ այն աջ կրճատելի է, այսինքն՝
  • յատոյթ է, եթէ այն ունի ձախ հակադարձ, այսինքն՝ գոյութիւն ունի , այնպէս որ
  • անկում է, եթէ այն ունի աջ հակադարձ, այսինքն՝ գոյութիւն ունի , այնպէս որ
  • իզոմորֆիզմ է, եթէ այն յատոյթ է և անկում
  • էնդոմորֆիզմ է, եթէ , հետևելով այս անուանմանը՝
  • աւտոմորֆիզմ է, եթէ այն էնդոմորֆիզմ է և իզոմորֆիզմ, հետևելով այս անուանման մենք այն կգրենք, որպէս

Նկատենք, որ իզոմորֆիզմի աջ և ձախ հակադարձները նոյն են՝ որպէս ասոցիատիւութեան հետևանք։ Նշենք նաև, որ ցանկացած յատոյթ մոնոմորֆիզմ է, իսկ ցանկացած անկում՝ էպիմորֆիզմ։ Հեշտօրէն կարելի ստուգել, որ -ում մոնոմորֆիզմներն (էպիմորֆիզմներն) ու յատոյթները (անկումները) համընկնում են ինյեկտիւ (սիւրյեկտիւ) ֆունկիցիաների հետ։ Սակայն -ում իրադրութիւնը փոխւում է։ Մինչդեռ մոնոմորֆիզմները համարժէք են ինյեկտիւ անընդհատ ֆունկցիաներին, էպիմորֆիզմները՝ անպայման չէ, որ լինեն սիւրյեկտիւ։ Սա ցուցադրելու համար, մենք կդիտարկենք ։ Իրօք, -ն խիտ է -ում, և այդ պատճառով բոլոր -ից դուրս եկացող անընդհատ ֆունկցիաները լրիւ որոշուած են -ում ընդունած իրենց արժէքներով։ Սա նշանակում է, որ -ն էպիմորֆիզմ է։ Սակայն սիւրյեկտիւ չլինելու պատճառով այն անկում չի կարող լինել։

Դուալիզացումը վեր է ածում մոնոմորֆիզմները էպիմորֆիզմների, յատոյթներն՝ անկումների, և հակառակը։

Ծանօթագրութիւններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

  • Mac Lane, Saunders (1998), Categories for the Working Mathematician, Graduate Texts in Mathematics 5 (2nd ed.), Springer-Verlag, ISBN 0-387-98403-8 .