Կատեգորիա (մաթեմատիկա)

Վիքիպեդիայից՝ ազատ հանրագիտարանից

Մաթեմատիկայում, կատեգորիաները յատուկ մաթեմատիկական կառուցուածքներ են՝ հանրահաշուային ըստ բնոյթի, որ լայն կիրառում ունեն մաթեմատիկայի տարբեր ճիւղերում։ Կատեգորիաների հիմնական առաւելութիւնը կայանում է նրանում, որ նրանք ներառում են շատ մաթեմատիկական գաղափարները մի ընդհանրական լեզուի ներքոյ։ Բացի դրանից կատեգորիական մեթոդներով հնարաւոր է ապացուցել մեծ քանակով փաստեր առանց երբևիցէ խօսելու, թէ ինչ է տեղի ունենում դիտարկուող օբյեկտների ներսում։ Միևնոյն ժամանակ՝ մաթեմատիկոսներին հետաքրքրող օբյեկտներից շատերը պահպանում են կատեգորիական կառուցուածքը․ որպէս օրինակ՝ ֆունդամենտալ խումբը, հոմոլոգիայի, կոհոմոլոգիայի մոդուլները, հոմոտոպիայի խմբերը, և այն։ Մոնոիդները, խմբերը, խմբոիդները, մասնակի կարգաւորուած բազմութիւնները կարող են սահմանուել կատեգորիաների միջոցով։ Մեզ առաւել հետաքրքրող կատեգորիաներից կլինեն, բազմութիւնների կատեգորիան՝ \displaystyle \mathbf{Set}, խմբերի կատեգորիան՝ \displaystyle \mathbf{Group}, օղակների կատեգորիան՝ \displaystyle \mathbf{Ring}, տոպոլոգիական տարածութիւնների կատեգորիան՝ \displaystyle \mathbf{Top}, որոնք մենք կսահմանենք յաջորդիւ։

Սահմանում[խմբագրել]

Կատեգորիա \displaystyle \mathbf{C}-ն բաղացած է հետևեալ մասերից և պայմաններից։

  • \displaystyle \mathbf{C}-ն ունի օբյեկտերի դաս, որը նշանակւում է \displaystyle \mathrm{Ob} (\mathbf{C})-ով։
  • \displaystyle \mathbf{C}-ն ունի մորֆիզմների դաս, որը նշանակւում է \displaystyle \mathrm{Hom} (\mathbf{C})-ով (երբեմն էլ՝ \displaystyle \mathrm{Mor} (\mathbf{C})-ով)։
  • Գոյութիւն ունեն երկու արտապատկերում \displaystyle \iota,\varphi:\mathrm{Hom} (\mathbf{C})\rightarrow \mathrm{Ob} (\mathbf{C})։ Եթէ \displaystyle f\in \mathrm{Hom}(\mathbf{C}), ապա \displaystyle \iota(f)\displaystyle f-ի աղբիւր կամ սկզբնակէտ է կոչւում, իսկ \displaystyle \varphi(f)-ը՝ \displaystyle f-ի աւարտ կամ վերջնակէտ։ Եթէ \displaystyle A, B\in \mathrm{Ob} (\mathbf{C}), \displaystyle \iota(f)=A և \displaystyle \varphi(f)=B, ապա մենք կգրենք \displaystyle f:A\rightarrow B և կասենք, որ \displaystyle f\displaystyle A-ից \displaystyle B մորֆիզմ է։ Կպահանջենք նաև, որ բոլոր \displaystyle A-ից \displaystyle B մորֆիզմները կազմեն բազմութիւն, բոլոր \displaystyle A և \displaystyle B օբյեկտների համար։ Մենք կնշնակենք այս բազմութիւնը \displaystyle [A, B]-ով։ Գրականութեան մէջ այս բազմութիւնը յաճախ նշանակւում է \displaystyle \mathrm{Hom}(A, B)-ով կամ \displaystyle \mathrm{Mor}(A, B)-ով։
  • Գոյութիւն ունի համադրոյթի գործողութիւն \displaystyle \circ_{(A, B, C)}: [B, C]\times [A, B]\rightarrow [A, C], ցանկացած \displaystyle A, B, C\in \mathrm{Ob} (\mathbf{C}) եռեակի համար։ Եթէ \displaystyle f:B\rightarrow C և \displaystyle g:A\rightarrow B, մենք \displaystyle \circ_{(A, B, C)}(f, g) գրելու փոխարէն կգրենք \displaystyle f\circ g, երբ սա երկիմաստութիւններ չի առաջացնի (այս դէպքում միշտ)։
  • Ցանկացած օբյեկտ \displaystyle A-ի համար գոյութիւն ունի յատուկ միաւոր մորֆիզմ․ \displaystyle \mathbf{1}_A\in [A, A]։ Այս մորֆիզմը բաւարարում է հետևեալ պայմանին՝ ցանկացած \displaystyle f\in [B, A] և \displaystyle g\in [A, C] մորֆիզմների համար \displaystyle f=\mathbf{1}_A\circ f ու \displaystyle g=g\circ\mathbf{1}_A։
  • Նաև համադրոյթը ասոցիատիւ է։ Սա նշանակում է, որ հետևեալ դիագրամը կոմուտատիւ է․
DefinitionAssociativeCompositionDiagram.gif

Սա կարելի է վերաձևակերպել հետևեալ կերպով․ \displaystyle (f\circ g)\circ h= f\circ (g\circ h) բոլոր համապատասխան մորֆիզմների համար։

Օրինակներ[խմբագրել]

Բազմութիւնները, խմբերը, տոպոլոգիական տարածութիւնները, մոդուլները հեշտութեամբ կարելի է վերածել կատեգորիաների։ Հետևեալ աղիւսեակը ցոյց է տալիս, թէ այս կատեգորիաներում, որոնք են օբյեկները, մորֆիզմները, և որն է համադրոյթը։

\mathbf{C} \mathbf{Set} \mathbf{Group} \mathbf{Top} \mathbf{R-Mod}
\mathrm{Ob}(\mathbf{C}) բազմութիւններ խմբեր տոպոլոգիական տարածութիւններ \displaystyle R-մոդուլներ
\mathrm{Hom}(\mathbf{C}) ֆունկցիաներ հոմոմորֆիզմներ անընդյատ ֆունկցիաներ հոմոմորֆիզմներ
\circ ֆունկցիոնալ համադրոյթ

Որոշ հանրահաշուային օբյեկտներ կարելի է հեշտութեամբ սահմանել կատեգորիաների միջոցով։ Օրինակ՝ մոնոիդը կարելի է սահմանել, որպէս կատեգորիա մէկ օբյեկտով։ Նմանապէս՝ խումբը կարելի է սահմանել, որպէս մոնոիդ որում բոլոր մորֆիզները իզոմորֆիզմ են, այսինքն՝ ունեն հակադարձներ։ Խմբոիդ դա կատեգորիա է, որի բոլոր մորֆիզմները իզոմորֆիզմ են։ Մասնակի կարգաւորուած բազմութիւնը, դա այնպիսի փոքր կատեգորիա է (այսինքն՝ օբյեկտները բազմութիւն են կազմում), որ \displaystyle\mathrm{card}\{[A, B]\cup[B, A]\}\leq 1 բոլոր \displaystyle A, B օբյեկտների համար։ Լրիւ կարգաւորուած բազմութիւնների դէպքում, \displaystyle\mathrm{card}\{[A, B]\cup[B, A]\}=1։ Համարժէքութիւն \displaystyle X բազմութեան վրայ կարելի է կոչել այն խմբոիդը, որը կապակցուած է, այսինքն՝ ցանկացած երկու օբյեկտների միջեւ գոյութիւն ունի մորֆիզմ, որի ցանկացած (համարժէքօրէն՝ որեւէ) օբյեկտի աւտոմորֆիզմների խումբը տրիւեալ է, եւ որի օբյեկներն են \displaystyle X-ի տարրերը։

Դուալ Կատեգորիա[խմբագրել]

Եթէ մեզ տրուած է որևէ \displaystyle \mathbf{C} կատեգորիա, մենք կարող ենք սահմանել նրա դուալ \displaystyle \mathbf{C}^* կատեգորիան։ Այս կատեգորիայի համար \displaystyle \mathrm{Ob}(\mathbf{C}^*) =\mathrm{Ob}(\mathbf{C}), և զուտ տարբերակելու համար \displaystyle \mathbf{C}\displaystyle A օբյեկտը մենք կնշանակենք \displaystyle A^*-ով \displaystyle \mathbf{C}^*-ում։ Մորֆիզմների միջև էլ գոյութիւն համապատասխանութիւն․ \displaystyle [A, B]=[B^*, A^*]։ \displaystyle f մորֆիզմին համապատասխանող մորֆիզմը կնշանակենք \displaystyle f^*։ համադրոյթը կսահմանենք այս կանոնով․ \displaystyle f^*\circ g^*=(g\circ f)^*։ Կարելի է հեշտօրէն ստուգել, որ բոլոր կատեգորիայի աքսիոմները բաւարարւում են։

Շատ յաճախ ակնյայտ չէ, թէ դուալ կատեգորիան իրենից ինչ է ներկայացնում։ Օրինակ՝ խմբի դուալը համարԺէք է իրեն, սակայն մասնակի կարգաւորուած բազմութեան դուալը նոյն բազմութիւնն է, բայց հակառակ կարգաւորուածութեամբ, և սա միշտ չէ որ համարժէք է սկզբնական կարգաւորուած բազմութեանը։

Բաւականին տարբեր են \mathbf{Set}-ն ու \mathbf{Set}^*-ը։ Եթէ մեզ տրուած են երկու բազմութիւնները \displaystyle A-ն և \displaystyle B-ն, ապա մենք կարող ենք բնութագրել f\in [B^*, A^*], որպէս ֆունկցիա f:\mathcal{P}(B)\rightarrow \mathcal{P}(A), որի դէպքում

\displaystyle f\left(\bigcup_{U\in\mathcal{A}} U\right)=\bigcup_{U\in\mathcal{A}} f( U), \displaystyle f\left(\bigcap_{U\in\mathcal{A}} U\right)=\bigcap_{U\in\mathcal{A}} f( U)

պայմաններն են բաւարւում ցանկանցած \mathcal{A}\subseteq \mathcal{P}(B) ենթաբազմութիւնների ընտանիքի համար, այդ թւում և դատա՛րկ։ Այստեղ ի յարկէ \displaystyle \mathcal{P}-ն ենթաբազմութիւնների բազմութեան վերցման գործողութիւնն է։ Մորֆիզմների համադրոյթը այս դէպքում լինում է հասարակ ֆունկցիաների համադրոյթը։ Դուալի այս բնութագրով, դուալ համապատասխանութիւնը ուղղարկում է g:A\rightarrow B ֆունկցիան \mathbf{Set}-ում առ g^{-1}:\mathcal{P}(B)\rightarrow \mathcal{P}(A) ֆունկցիա \mathbf{Set}^*-ում։

Մորֆիզմների Յատուկ Տեսակներ[խմբագրել]

Որոշ մորֆիզմներ ունեն յատուկ անուններ։ \displaystyle f:A\rightarrow B մորֆիզմը

  • մոնոմորֆիզմ է, եթէ այն ձախ կրճատելի է, այսինքն՝ \displaystyle f\circ g_1=f\circ g_2\Rightarrow g_1=g_2
  • էպիմորֆիզմ է, եթէ այն աջ կրճատելի է, այսինքն՝ \displaystyle g_1\circ f=g_2\circ f\Rightarrow g_1=g_2
  • յատոյթ է, եթէ այն ունի ձախ հակադարձ, այսինքն՝ գոյութիւն ունի g:B\rightarrow A, այնպէս որ g\circ f=\mathbf{1}_A
  • անկում է, եթէ այն ունի աջ հակադարձ, այսինքն՝ գոյութիւն ունի g:B\rightarrow A, այնպէս որ f\circ g=\mathbf{1}_B
  • իզոմորֆիզմ է, եթէ այն յատոյթ է և անկում
  • էնդոմորֆիզմ է, եթէ \displaystyle A=B, հետևելով այս անուանմանը՝ \displaystyle \mathrm{End}(A)=[A, A]
  • աւտոմորֆիզմ է, եթէ այն էնդոմորֆիզմ է և իզոմորֆիզմ, հետևելով այս անուանման մենք այն կգրենք, որպէս \displaystyle \mathrm{Aut}(A)

Նկատենք, որ իզոմորֆիզմի աջ և ձախ հակադարձները նոյն են՝ որպէս ասոցիատիւութեան հետևանք։ Նշենք նաև, որ ցանկացած յատոյթ մոնոմորֆիզմ է, իսկ ցանկացած անկում՝ էպիմորֆիզմ։ Հեշտօրէն կարելի ստուգել, որ \mathbf{Set}-ում մոնոմորֆիզմներն (էպիմորֆիզմներն) ու յատոյթները (անկումները) համընկնում են ինյեկտիւ (սիւրյեկտիւ) ֆունկիցիաների հետ։ Սակայն \mathbf{Top}-ում իրադրութիւնը փոխւում է։ Մինչդեռ մոնոմորֆիզմները համարժէք են ինյեկտիւ անընդհատ ֆունկցիաներին, էպիմորֆիզմները՝ անպայման չէ, որ լինեն սիւրյեկտիւ։ Սա ցուցադրելու համար, մենք կդիտարկենք i:\mathbb{Q}\hookrightarrow\mathbb{R}։ Իրօք, \mathbb{Q}-ն խիտ է \mathbb{R}-ում, և այդ պատճառով բոլոր \mathbb{R}-ից դուրս եկացող անընդհատ ֆունկցիաները լրիւ որոշուած են \mathbb{Q}-ում ընդունած իրենց արժէքներով։ Սա նշանակում է, որ \displaystyle i-ն էպիմորֆիզմ է։ Սակայն սիւրյեկտիւ չլինելու պատճառով այն անկում չի կարող լինել։

Դուալիզացումը վեր է ածում մոնոմորֆիզմները էպիմորֆիզմների, յատոյթներն՝ անկումների, և հակառակը։

Ծանօթագրութիւններ[խմբագրել]

  • Mac Lane, Saunders (1998), Categories for the Working Mathematician, Graduate Texts in Mathematics 5 (2nd ed.), Springer-Verlag, ISBN 0-387-98403-8 .