Լեոնիտ Աբազին իր ֆուտբոլային կարիերան սկսել է 2011 թվականին իր հայրենի Գնիլանե քաղաքի «Դրիտա» ակումբում, որ հանդես էր գալիս Կոսովոյի Սուպերլիգայում։
2013 թվականի ամռանը Լեոնիտ Աբազին տեղափոխվել է ալբանական «Սկենդերբեու» ակումբ, որի կազմում առաջին անգամ խաղացել է 2013 թվականի Ալբանիայի Սուպերլիգայի շրջանակներում[3]։ 2013 թվականի սեպտեմբերի 25-ին նա առաջին անգամ մասնակցել է ալբանական Սուպերլիգային՝ փոխարինման դուրս գալով «Ֆլամուրտարի» ակումբի դեմ խաղի ընդմիջումից հետո[4]։
2015 թվականի փետրվարի 23-ին Լեոնիտ Աբազին խփել է իր առաջին գոլը ալբանական Սուպերլիգայում՝ բացելով Կուկեսի» ակումբի դեմ տնային խաղի հաշիվը[5]։ Լեոնիտ Աբազին «Սկենդերբեուի» կազմում մասնակցել է ՈՒԵՖԱ Եվրոպայի լիգայի 2015/2016 մրցաշրջանի վեց խաղերի։
Լեոնիտ Աբազին Կոսովոյի ազգային հավաքականի կազմում առաջին անգամ խաղադաշտ է դուրս եկել 2015 թվականիհոկտեմբերի 10-ին՝ Հասարակածային Գվինեայի հավաքականի դեմ ընկերական խաղի 84-րդ րոպեին փոխարինելով Ֆանոլ Պերդեդային։