Ենթադրենք -ը վեկտորական հարթություն է հարթության մեջ (ավելի հաճախ դիտարկվում են և հարթությունները)։
Երկգծային ձև կոչվում է ֆունկցիան, որը գծային է յուրաքանչյուր արգումենտի համար։
- ,
- ,
- ,
- ,
Այստեղ և
Երկգծային ձևը տենզորի (տենզորի կարգ (0,2)) հասկացության մասնավոր դեպքն է։
Վերջավոր հարթությունների դեպքում (օրինակ՝ ) հիմնականում օգտագործվում է այլ սահմանում։
Ենթադրենք -ը վեկտորների բազմություն է տեսակի, որտեղ ։
Երկգծային ձևեր են կոչվում ֆունկցիաները տեսակի
որտեղ իսկ ՝ հարթությունից որոշ կոնստանտներ։
Այլ խոսքերով ասած, երկգծային ձևը ֆունկցիա է երկու խմբից փոփոխականներով, որոնք համարվում են յուրաքանչյուր խմբի փոփոխականների նկատմամբ առաջին աստիճանի համասեռ բազմանդամներ։
- երկգծային ձևը կոչվում է սիմետրիկ, եթե ցանկացած վեկտորների համար։
- երկգծային ձևը կոչվում է կոսոսիմետրիկ (հակասիմետրիկ), եթե ցանկացած վեկտորների համար։
- վեկտորը կոչվում է օրթոգոնալ (ավելի ճիշտ, աջից օրթոգոնալ) ենթահարթության մեջ -ի նկատմամբ, եթե բոլոր համար։ վեկտորների ամբողջությունը, օրթոգոնալ ենթահարթության մեջ տրված երկգծային ձևի նկատմամբ, կոչվում է օրթոգոնալ լրացում -ի նկատմամբ ենթահարթության համար և նշանակվում է ։
- երկգծային ձևի արմատ կոչվում է -ի նկատմամբ հարթության օրթոգոնալ լրացում, այսինքն՝ վեկտորների ամբողջություն, որոնց համար բոլոր դեպքում։
- երկգծային բոլոր ձևերի բազմությունները, որոնք տրված են ֆիքսված ազատ հարթության վրա, համարվում են գծային հարթություն։
- Ցանկացած երկգծային ձև կարելի է պատկերացնել սիմետրիկ և հակասիմետրիկ ձևերի գումարի տեսքով։
- Ընտրված -ում բազիսում ցանկացած երկգծային ձև միանշանակ սահմանվում է մատրիցով
այնպես, որ ցանկացած և վեկտորների համար
այսինքն՝
- Դա նաև նշանակում է, որ երկգծային ձևը լիովին որոշվում է իր նշանակություններով բազիսի վեկտորների վրա։
- հարթության չափականությունը ։
- Չնայած նրան, որ երկգծային ձևի մատրիցը կախված է բազիսի ընտրությունից, երկգծային ձևի մատրիցի ռանգը ցանկացած բազիսում նույնն է, այն կոչվում է երկգծային ձևի ռանգ։ Երկգծային ձևը կոչվում է ոչ այլասերված, եթե դրա կարգը հավասար է :
- Ցանկացած ենթահարթության համար օրթոգոնալ լրացումը համարվում է ենթահարթություն։
- , որտեղ -ը երկգծային ձևի ռանգ է։
Նոր բազիսում երկգծային ձևի մատրիցը կապված է այն մատրիցի հետ, որը ներկայացնում է իրեն հին բազիսում այն մատրիցի միջոցով, որը հակադարձ է նոր բազիս տեղափոխվող մատրիցին (Յակոբի մատրից), որի միջոցով ձևավորվում են վեկտորի կոորդինատները։
Այլ կերպ ասած, եթե վեկտորի կոորդինատները հին բազիսում սահմանվում են կոորդինատներով նոր -ում մատրիցի միջոցով
, կամ մատրիցային արտահայտությամբ, ապա երկգծային ձևը ցանկացած և վեկտորների վրա կգրվի, որպես
- ,
այսինքն մատրիցի կոմպոնենտները, որոնք ներկայացնում են երկգծային ձևը նոր բազիսում, կլինեն
- ,
կամ մատրիցային ձևով՝
- ,
- , որտեղ ՝ կոորդինատների ուղիղ փոխակերպման մատրիցն է։
- Мальцев А. И. Основы линейной алгебры. М.: Наука, 1975.
- Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре М.: Наука, 1971.
- Фаддеев Д. К. Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984.
- Кострикин А. И. Введение в алгебру, М.: Наука, 1977.
- Беклемишев Д. В. Аналитическая геометрия и линейная алгебра.-М.: Высш. шк. 1998, 320с.
- Гельфанд И. М., Линейная алгебра Արխիվացված 2003-07-06 Wayback Machine. Курс лекций.
- Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009.