Ենթադրենք
-ը վեկտորական հարթություն է
հարթության մեջ (ավելի հաճախ դիտարկվում են
և
հարթությունները)։
Երկգծային ձև կոչվում է
ֆունկցիան, որը գծային է յուրաքանչյուր արգումենտի համար։
,
,
,
,
Այստեղ
և
Երկգծային ձևը տենզորի (տենզորի կարգ (0,2)) հասկացության մասնավոր դեպքն է։
Վերջավոր հարթությունների դեպքում (օրինակ՝
) հիմնականում օգտագործվում է այլ սահմանում։
Ենթադրենք
-ը վեկտորների բազմություն է
տեսակի, որտեղ
։
Երկգծային ձևեր են կոչվում
ֆունկցիաները
տեսակի
որտեղ
իսկ
՝
հարթությունից որոշ կոնստանտներ։
Այլ խոսքերով ասած, երկգծային ձևը ֆունկցիա է երկու խմբից
փոփոխականներով, որոնք համարվում են յուրաքանչյուր խմբի փոփոխականների նկատմամբ առաջին աստիճանի համասեռ բազմանդամներ։
երկգծային ձևը կոչվում է սիմետրիկ, եթե
ցանկացած վեկտորների համար։
երկգծային ձևը կոչվում է կոսոսիմետրիկ (հակասիմետրիկ), եթե
ցանկացած վեկտորների համար։
վեկտորը կոչվում է օրթոգոնալ (ավելի ճիշտ, աջից օրթոգոնալ)
ենթահարթության մեջ
-ի նկատմամբ, եթե
բոլոր
համար։
վեկտորների ամբողջությունը, օրթոգոնալ
ենթահարթության մեջ տրված
երկգծային ձևի նկատմամբ, կոչվում է օրթոգոնալ լրացում
-ի նկատմամբ
ենթահարթության համար և նշանակվում է
։
երկգծային ձևի արմատ կոչվում է
-ի նկատմամբ
հարթության օրթոգոնալ լրացում, այսինքն՝
վեկտորների
ամբողջություն, որոնց համար
բոլոր
դեպքում։
երկգծային բոլոր ձևերի բազմությունները, որոնք տրված են ֆիքսված ազատ հարթության վրա, համարվում են գծային հարթություն։
- Ցանկացած երկգծային ձև կարելի է պատկերացնել սիմետրիկ և հակասիմետրիկ ձևերի գումարի տեսքով։
- Ընտրված
-ում բազիսում ցանկացած
երկգծային ձև միանշանակ սահմանվում է մատրիցով

այնպես, որ ցանկացած
և
վեկտորների համար

այսինքն՝

- Դա նաև նշանակում է, որ երկգծային ձևը լիովին որոշվում է իր նշանակություններով բազիսի վեկտորների վրա։
հարթության չափականությունը
։
- Չնայած նրան, որ
երկգծային ձևի մատրիցը կախված է բազիսի ընտրությունից, երկգծային ձևի մատրիցի ռանգը ցանկացած բազիսում նույնն է, այն կոչվում է
երկգծային ձևի ռանգ։ Երկգծային ձևը կոչվում է ոչ այլասերված, եթե դրա կարգը հավասար է
:
- Ցանկացած
ենթահարթության համար
օրթոգոնալ լրացումը համարվում է
ենթահարթություն։
, որտեղ
-ը
երկգծային ձևի ռանգ է։
Նոր բազիսում երկգծային ձևի մատրիցը կապված է այն մատրիցի հետ, որը ներկայացնում է իրեն հին բազիսում այն մատրիցի միջոցով, որը հակադարձ է նոր բազիս տեղափոխվող մատրիցին (Յակոբի մատրից), որի միջոցով ձևավորվում են վեկտորի կոորդինատները։
Այլ կերպ ասած, եթե վեկտորի կոորդինատները
հին բազիսում սահմանվում են կոորդինատներով նոր
-ում
մատրիցի միջոցով
, կամ
մատրիցային արտահայտությամբ, ապա
երկգծային ձևը ցանկացած
և
վեկտորների վրա կգրվի, որպես
,
այսինքն մատրիցի կոմպոնենտները, որոնք ներկայացնում են երկգծային ձևը նոր բազիսում, կլինեն
,
կամ մատրիցային ձևով՝
,
, որտեղ
՝
կոորդինատների ուղիղ փոխակերպման մատրիցն է։
- Мальцев А. И. Основы линейной алгебры. М.: Наука, 1975.
- Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре М.: Наука, 1971.
- Фаддеев Д. К. Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984.
- Кострикин А. И. Введение в алгебру, М.: Наука, 1977.
- Беклемишев Д. В. Аналитическая геометрия и линейная алгебра.-М.: Высш. шк. 1998, 320с.
- Гельфанд И. М., Линейная алгебра Արխիվացված 2003-07-06 Wayback Machine. Курс лекций.
- Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009.