Երկգծային ձև

Վիքիպեդիայից՝ ազատ հանրագիտարանից

Ենթադրենք վեկտորական հարթություն է հարթության մեջ (ավելի հաճախ դիտարկվում են և հարթությունները)։

Երկգծային ձև կոչվում է ֆունկցիան, որը գծային է յուրաքանչյուր արգումենտի համար:

,
,
,
,

Այստեղ և

Երկգծային ձևը տենզորի (տենզորի կարգ (0,2)) հասկացության մասնավոր դեպքն է։

Այլընտրանքային սահմանում[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Վերջավոր հարթությունների դեպքում (օրինակ՝ ) հիմնականում օգտագործվում է այլ սահմանում։

Ենթադրենք վեկտորների բազմություն է տեսակի, որտեղ ։

Երկգծային ձևեր են կոչվում ֆունկցիաները տեսակի

որտեղ իսկ ՝ հարթությունից որոշ կոնստանտներ։

Այլ խոսքերով ասած, երկգծային ձևը ֆունկցիա է երկու խմբից փոփոխականներով, որոնք համարվում են յուրաքանչյուր խմբի փոփոխականների նկատմամբ առաջին աստիճանի համասեռ բազմանդամներ։

Կապակցված սահմանումներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

  • երկգծային ձևը կոչվում է սիմետրիկ, եթե ցանկացած վեկտորների համար։
  • երկգծային ձևը կոչվում է կոսոսիմետրիկ (հակասիմետրիկ), եթե ցանկացած վեկտորների համար։
  • վեկտորը կոչվում է օրթոգոնալ (ավելի ճիշտ, աջից օրթոգոնալ) ենթահարթության մեջ -ի նկատմամբ, եթե բոլոր համար։ վեկտորների ամբողջությունը, օրթոգոնալ ենթահարթության մեջ տրված երկգծային ձևի նկատմամբ, կոչվում է օրթոգոնալ լրացում -ի նկատմամբ ենթահարթության համար և նշանակվում է ։
  • երկգծային ձևի արմատ կոչվում է -ի նկատմամբ հարթության օրթոգոնալ լրացում, այսինքն՝ վեկտորների ամբողջություն, որոնց համար բոլոր դեպքում։

Հատկություններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

  • երկգծային բոլոր ձևերի բազմությունները, որոնք տրված են ֆիքսված ազատ հարթության վրա, համարվում են գծային հարթություն։
  • Ցանկացած երկգծային ձև կարելի է պատկերացնել սիմետրիկ և հակասիմետրիկ ձևերի գումարի տեսքով։
  • Ընտրված -ում բազիսում ցանկացած երկգծային ձև միանշանակ սահմանվում է մատրիցով

այնպես, որ ցանկացած և վեկտորների համար

այսինքն՝

  • Դա նաև նշանակում է, որ երկգծային ձևը լիովին որոշվում է իր նշանակություններով բազիսի վեկտորների վրա։
  • հարթության չափականությունը ։
  • Չնայած նրան, որ երկգծային ձևի մատրիցը կախված է բազիսի ընտրությունից, երկգծային ձևի մատրիցի ռանգը ցանկացած բազիսում նույնն է, այն կոչվում է երկգծային ձևի ռանգ: Երկգծային ձևը կոչվում է ոչ այլասերված, եթե դրա կարգը հավասար է :
  • Ցանկացած ենթահարթության համար օրթոգոնալ լրացումը համարվում է ենթահարթություն:
  • , որտեղ երկգծային ձևի ռանգ է:

Երկգծային ձևի մատրիցի փոխակերպումը բազիսի փոխարինման ժամանակ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Նոր բազիսում երկգծային ձևի մատրիցը կապված է այն մատրիցի հետ, որը ներկայացնում է իրեն հին բազիսում այն մատրիցի միջոցով, որը հակադարձ է նոր բազիս տեղափոխվող մատրիցին (Յակոբի մատրից), որի միջոցով ձևավորվում են վեկտորի կոորդինատները:

Այլ կերպ ասած, եթե վեկտորի կոորդինատները հին բազիսում սահմանվում են կոորդինատներով նոր -ում մատրիցի միջոցով , կամ մատրիցային արտահայտությամբ, ապա երկգծային ձևը ցանկացած և վեկտորների վրա կգրվի, որպես

,

այսինքն մատրիցի կոմպոնենտները, որոնք ներկայացնում են երկգծային ձևը նոր բազիսում, կլինեն

,

կամ մատրիցային ձևով՝

,
, որտեղ ՝ կոորդինատների ուղիղ փոխակերպման մատրիցն է:

Տես նաև[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Գրականություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

  • Мальцев А. И. Основы линейной алгебры. М.: Наука, 1975.
  • Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре М.: Наука, 1971.
  • Фаддеев Д. К. Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984.
  • Кострикин А. И. Введение в алгебру, М.: Наука, 1977.
  • Беклемишев Д. В. Аналитическая геометрия и линейная алгебра.-М.: Высш. шк. 1998, 320с.
  • Гельфанд И. М., Линейная алгебра. Курс лекций.
  • Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009.