Երկգծային ձև

Ենթադրենք $L$-ը վեկտորական հարթություն է $K$ հարթության մեջ (ավելի հաճախ դիտարկվում են $K=\mathbb {R}$ և $K=\mathbb {C}$ հարթությունները)։

Երկգծային ձև կոչվում է $F\colon L\times L\to K$ ֆունկցիան, որը գծային է յուրաքանչյուր արգումենտի համար:

$F(x+z,\,y)=F(x,\,y)+F(z,\,y)$,

$F(x,\,y+z)=F(x,\,y)+F(x,\,z)$,

$F(\lambda x,\,y)=\lambda F(x,\,y)$,

$F(x,\,\lambda y)=\lambda F(x,\,y)$,

Այստեղ $x,y,z\in L$ և $\lambda \in K$

Երկգծային ձևը տենզորի (տենզորի կարգ (0,2)) հասկացության մասնավոր դեպքն է։

Այլընտրանքային սահմանում

Վերջավոր հարթությունների դեպքում (օրինակ՝ $\mathbb {R} ^{n}$) հիմնականում օգտագործվում է այլ սահմանում։

Ենթադրենք $L$-ը վեկտորների բազմություն է $x=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})$ տեսակի, որտեղ $x_{i}\in K,i={\overline {1,n}}$։

Երկգծային ձևեր են կոչվում $F\colon L\times L\to K$ ֆունկցիաները $F(x,y)=\sum _{i,\,j=1}^{n}a_{ij}x_{i}y_{j}$ տեսակի

որտեղ $x=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}),$ $y=(y_{1},y_{2},\dots ,y_{n}),$ իսկ $a_{ij}$՝ $K.$ հարթությունից որոշ կոնստանտներ։

Այլ խոսքերով ասած, երկգծային ձևը ֆունկցիա է երկու խմբից $n$ փոփոխականներով, որոնք համարվում են յուրաքանչյուր խմբի փոփոխականների նկատմամբ առաջին աստիճանի համասեռ բազմանդամներ։

Կապակցված սահմանումներ

• $F$ երկգծային ձևը կոչվում է սիմետրիկ, եթե $F(x,\,y)=F(y,\,x)$ $x,y\in L$ ցանկացած վեկտորների համար։
• $F$ երկգծային ձևը կոչվում է կոսոսիմետրիկ (հակասիմետրիկ), եթե $F(x,\,y)=-F(y,\,x)$ $x,y\in L$ ցանկացած վեկտորների համար։
• $x\in L$ վեկտորը կոչվում է օրթոգոնալ (ավելի ճիշտ, աջից օրթոգոնալ) $M\subset L$ ենթահարթության մեջ $F$-ի նկատմամբ, եթե $F(x,\,y)=0$ բոլոր $y\in M$ համար։ $x\in L$ վեկտորների ամբողջությունը, օրթոգոնալ $M\subset L$ ենթահարթության մեջ տրված $F$ երկգծային ձևի նկատմամբ, կոչվում է օրթոգոնալ լրացում $F$-ի նկատմամբ $M\subset L$ ենթահարթության համար և նշանակվում է $M^{\perp }$։
• $F$ երկգծային ձևի արմատ կոչվում է $F$-ի նկատմամբ $L$ հարթության օրթոգոնալ լրացում, այսինքն՝ $x\in L$ վեկտորների $L^{\perp }$ ամբողջություն, որոնց համար $F(x,\,y)=0$ բոլոր $y\in L$ դեպքում։

Հատկություններ

• $W(L,L)$ երկգծային բոլոր ձևերի բազմությունները, որոնք տրված են ֆիքսված ազատ հարթության վրա, համարվում են գծային հարթություն։
• Ցանկացած երկգծային ձև կարելի է պատկերացնել սիմետրիկ և հակասիմետրիկ ձևերի գումարի տեսքով։
• Ընտրված $e_{1},\ldots ,e_{n}$ $L$-ում բազիսում ցանկացած $F$ երկգծային ձև միանշանակ սահմանվում է մատրիցով

${\begin{pmatrix}F(e_{1},\,e_{1})&F(e_{1},\,e_{2})&\ldots &F(e_{1},\,e_{n})\\F(e_{2},\,e_{1})&F(e_{2},\,e_{2})&\ldots &F(e_{2},\,e_{n})\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\F(e_{n},\,e_{1})&F(e_{n},\,e_{2})&\ldots &F(e_{n},\,e_{n})\end{pmatrix}},$

այնպես, որ ցանկացած $x=x^{1}e_{1}+x^{2}e_{2}+\cdots +x^{n}e_{n}$ և $y=y^{1}e_{1}+y^{2}e_{2}+\cdots +y^{n}e_{n}$ վեկտորների համար

$F(x,\,y)={\begin{pmatrix}x^{1}&x^{2}&\ldots &x^{n}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}F(e_{1},\,e_{1})&F(e_{1},\,e_{2})&\ldots &F(e_{1},\,e_{n})\\F(e_{2},\,e_{1})&F(e_{2},\,e_{2})&\ldots &F(e_{2},\,e_{n})\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\F(e_{n},\,e_{1})&F(e_{n},\,e_{2})&\ldots &F(e_{n},\,e_{n})\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}y^{1}\\y^{2}\\\vdots \\y^{n}\end{pmatrix}},$

այսինքն՝

$F(x,\,y)=\sum _{i,j=1}^{n}f_{ij}\,x^{i}y^{j},\ \quad f_{ij}=F(e_{i},\,e_{j}).$

• Դա նաև նշանակում է, որ երկգծային ձևը լիովին որոշվում է իր նշանակություններով բազիսի վեկտորների վրա։
• $W(L,L)$ հարթության չափականությունը $\dim W(L,L)=(\dim L)^{2}$։
• Չնայած նրան, որ $F$ երկգծային ձևի մատրիցը կախված է բազիսի ընտրությունից, երկգծային ձևի մատրիցի ռանգը ցանկացած բազիսում նույնն է, այն կոչվում է $F$ երկգծային ձևի ռանգ: Երկգծային ձևը կոչվում է ոչ այլասերված, եթե դրա կարգը հավասար է $\dim L$:
• Ցանկացած $M\subset L$ ենթահարթության համար $M^{\perp }$ օրթոգոնալ լրացումը համարվում է $M^{\perp }\subset L$ ենթահարթություն:
• $\dim L^{\perp }=\dim L-r$, որտեղ $r$-ը $F$ երկգծային ձևի ռանգ է:

Երկգծային ձևի մատրիցի փոխակերպումը բազիսի փոխարինման ժամանակ

Նոր բազիսում երկգծային ձևի մատրիցը կապված է այն մատրիցի հետ, որը ներկայացնում է իրեն հին բազիսում այն մատրիցի միջոցով, որը հակադարձ է նոր բազիս տեղափոխվող մատրիցին (Յակոբի մատրից), որի միջոցով ձևավորվում են վեկտորի կոորդինատները:

Այլ կերպ ասած, եթե վեկտորի կոորդինատները $X^{i}$ հին բազիսում սահմանվում են կոորդինատներով նոր $x^{i}$-ում $\beta$ մատրիցի միջոցով $X^{i}=\sum \beta _{j}^{i}x^{j}$, կամ $X=\beta x$ մատրիցային արտահայտությամբ, ապա $F$ երկգծային ձևը ցանկացած $x$ և $y$ վեկտորների վրա կգրվի, որպես

$F(x,\,y)=\sum _{i,j}F_{ij}X^{i}Y^{j}=\sum _{i,j,k,m}F_{ij}\beta _{k}^{i}\beta _{m}^{j}x^{k}y^{m}$,

այսինքն մատրիցի կոմպոնենտները, որոնք ներկայացնում են երկգծային ձևը նոր բազիսում, կլինեն

$f_{km}=\sum _{i,j}F_{ij}\beta _{k}^{i}\beta _{m}^{j}$,

կամ մատրիցային ձևով՝

$f=\beta ^{T}F\beta$,

$\beta =\alpha ^{-1}$, որտեղ $\alpha$՝ $x=\alpha X$ կոորդինատների ուղիղ փոխակերպման մատրիցն է:

Տես նաև

• Քառակուսային ձև
• Երկգծային օպերացիա
• Երկգծային փոխակերպում

Գրականություն

• Мальцев А. И. Основы линейной алгебры. М.: Наука, 1975.
• Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре М.: Наука, 1971.
• Фаддеев Д. К. Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984.
• Кострикин А. И. Введение в алгебру, М.: Наука, 1977.
• Беклемишев Д. В. Аналитическая геометрия и линейная алгебра.-М.: Высш. шк. 1998, 320с.
• Гельфанд И. М., Линейная алгебра. Курс лекций.
• Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009.