Եռանկյան անկյունների գումար

Եռանկյան անկյունների գումարի մասին թեորեմը Էվկլիդեսյան երկրաչափության դասական թեորեմներից է։ Այն պնդում է, որ

Էվկլիդեսյան հարթության վրա եռանկյան անկյունների գումարը հավասար է 180°

Եռանկյուն

Ապացույց

Դիցուք տրված է կամայական ABC եռանկյուն։ B գագաթով տանենք ուղիղ, որը զուգահեռ է AC կողմին (այսպիսի ուղիղը կոչվում է Էվկլիդեսի ուղիղ)։ Նրա վրա նշենք D կետն այնպես, որ A և D կետերը ընկած լինեն BC ուղղի տարբեր կողմերում։ DBC և ACB անկյունները հավասար են որպես ներքին խաչադիր անկյուններ, որոնք առաջացել են AC և BD զուգահեռ ուղիղները BC-ով հատելիս։ Այդ պատճառով եռանկյան B և С գագաթների անկյունների գումարը հավասար է ABD անկյանը։ Եռանկյան բոլոր անկյունների գումարը հավասար է ABD և BAC անկյունների գումարին։ Քանի որ այդ անկյունները միակողմանի են, նրանց գումարը հավասար է 180° աստիճանի (AC և BD զուգահեռ են, AB` հատող)։ Ինչն էլ պահանջվում էր ապացուցել:

Հետևություններ

Թեորեմից հետևում է, որ յուրաքանչյուր եռանկյան երկու անկյունները սուր են։ Ենթադրենք հակառակը. եռանկյունն ունի միակ սուր անկյունը կամ ընդհանրապես չունի։ Այս դեպքում, եռանկյունն ունի առնվազն երկու անկյուն, որոնցից յուրաքանչյուրը փոքր չէ 90° աստիճանից։ Այդ անկյունների գումարը փոքր չէ 180° աստիճանից։ Իսկ դա անհնար է, քանի որ եռանկյան բոլոր կողմերի գումարն է հավասար 180° աստիճանի։

Ընհանրացումներ սիմպլեքս տեսության մեջ

${\begin{vmatrix}-1&\cos L_{12}&\cos L_{13}&\dots &cosL_{1(n+1)}\\cosL_{21}&-1&cosL_{23}&\dots &cosL_{2(n+1)}\\cosL_{31}&cosL_{32}&-1&\dots &cosL_{3(n+1)}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\\cosL_{(n+1)1}&cosL_{(n+1)2}&cosL_{(n+1)3}&\dots &-1\\\end{vmatrix}}=0$, որտեղ $L_{ij}$ ` սիմպլեքսի i և j նիստերի կազմած անկյուն

Դիտողություններ

Եթե վերջին որոշիչում տեղադրենք n=2, ապա կստանանք զուգահեռագծի դեպքը (կազմված երկու հավասար եռանկյուններից)։ Եթե նախորդ որոշիչում տեղադրենք n=2, ապա կստանանք զուգահեռագծի դեմքը (որը բաղկացած է երկու հավասար եռանկյուններից)։ ${\begin{vmatrix}-1&\cos L_{12}&\cos L_{13}\\cosL_{21}&-1&cosL_{23}\\cosL_{31}&cosL_{32}&-1\\\\\end{vmatrix}}=0$, որտեղ $L_{ij}$ ՝ վեկտորների կազմած անկյուն $L_{i}$և $L_{j}$: Ակնհայտ է, որ ծավալը հավասար է զրոյի։

Ընդ որում, վերջին որոշիչը, ինչպես և նախորդը, որոշիչներ են, որոնցում յուրաքանչյուր հաջորդ տող (սյուն) ստացվում է նախորդ տողի տարրերի (սյան) ցիկլիկ տեղափոխությամբ։

Ծանոթագրություններ

• Գնդի վրա եռանկյան անկյունների գումարը միշտ մեծ է 180° աստիճանից, տարբերությունը կոչվում է գնդային ավելցուկ և ուղիղ համեմատական է եռանկյան մակերեսին։
• Լոբաչեսկու հարթության վրա եռանկյան անկյունների գումարը միշտ փոքր է 180°: Տարբերությունը նույնպես ուղիղ համեմատական է եռանկյան մակերեսին։

Տես նաև

• Եռանկյուն
• Եռանկյունների լուծում