Բեզուի թեորեմ

Բեզուի թեորեմը պնդում է, որ $(x-a)$ երկանդամի վրա $P(x)$ բազմանդամի բաժանման մնացորդը հավասար է $P(a)$:

Ենթադրվում է, որ բազմանդամի գործակիցները ընկած են միավորով ինչ-որ կոմուտատիվ օղակի մեջ (օրինակ, իրական թվերի կամ կոմպլեքս թվերի դաշտը)։

Ապացույց

$P(x)$ բազմանդամը մնացորդով բաժանում ենք $x-a$ երկանդամի վրա.

$P(x)=(x-a)Q(x)+R(x),$

որտեղ $R(x)$-ը մնացորդն է։ Քանի որ $\deg R(x)<\deg(x-a)=1$, ապա $R(x)$-ը 0-ից ոչ բարձր աստիճանի բազմանդամ է, այսինքն՝ հաստատուն։ Փոխարինելով $x=a$, քանի որ $(a-a)Q(a)=0$, ունենում ենք $P(a)=R(a)$:

Հետևություններ

• $a$ թիվը հանդիսանում է $p(x)$ բազմանդամի արմատ այն և միայն այն դեպքում, երբ $p(x)$-ը $x-a$ երկանդամի վրա բաժանվում է առանց մնացորդի (այստեղից, մասնավորապես հետևում է, որ $P(x)$ բազմանդամի արմատների բազմությունը նույնական է $P(x)=0$ հավասարման արմատների բազմությանը)։
• Բազմանդամի ազատ անդամը բաժանվում է ամբողջ գործակիցներով բազմանդամի ցանկացած ամբողջ արմատի վրա (եթե մեծ գործակիցը հավասար է 1-ի, ապա բոլոր ռացիոնալ արմատները հանդիսանում են նաև ամբողջներ)։
• Թող $a$-ն լինի $A(x)$ ամբողջ գործակիցներով բերված բազմանդամի ամբողջ արմատ։ Այդ դեպքում կամայական $k$ ամբողջի համար $A(k)$ թիվը բաժանվում է $a-k$:

Կիրառում

Բեզուի թեորեմը և նրա հետևանքները թույլ են տալիս հեշտությամբ գտնել ռացիոնալ գործակիցներով պոլինոմալ հավասարումների ռացիոնալ արմատները։

Տես նաև

• Հանրահաշվի հիմնական թեորեմ

Աղբյուրներ

• Геометрия, Том 2, Берже М., 1984