Բազմանդամ

7 աստիճանի բազմանդամի գրաֆիկը

Բազմանդամ (կամ պոլինոմ հունարեն՝ πολυ-շատ և լատին․՝ nomen – անուն), միանդամների գումար է կամ ֆորմալ տեսքի հետևյալ գումարը՝

$\sum _{I}c_{I}x_{1}^{i_{1}}x_{2}^{i_{2}}\cdots x_{n}^{i_{n}}$, որտեղ

• $I=(i_{1},i_{2},\dots ,i_{n})$, ոչ բացասական ամբողջ թվերի խումբ, որոնք նշված են ինդեքսներով
• $c_{I}$ - թիվ, որով նշված է բազմանդամի գործակիցը՝ կախված միայն I ինդեքսից

Մասնավորապես, մեկ փոփոխականից կախված բազմանդամը իրենից ներկայացնում է հետևյալ տեսքի գումար

$c_{0}+c_{1}x^{1}+\dots +c_{m}x^{m}$, որտեղ

• $c_{i}$-ֆիքսված գործակիցներ
• $x$-փոփոխական

Բազմանդամի օգնությամբ սահմանվում են հանրահաշվական հավասարում և հանրահաշվական ֆունկցիա հասկացությունները։

Ուսումնասիրություն և կիրառում

Պոլինոմ հավասարումների ուսումնասիրությունը և դրանց լուծումը, թերևս, հանրահաշվի հիմնական օբյեկտ չէ։ Բազմանդամների ուսումնասիրության հետ կապված է մաթեմատիկական ձևափոխությունների մի ամբողջ շարք․ զրոյի, բացասական, ապա և կոմպլեքս թվերի ներմուծումը և դիտարկումը, ինչպես նաև խմբերի տեսության ի հայտ գալը՝ որպես մաթեմատիկայի առանձին բաժին և անալիզում հատուկ ֆունկցիաների դասակարգումը։

Հաշվարկների տեխնիկական պարզությունը՝ կապված բազմանդամների հետ, համեմատ ավելի բարդ դասի ֆունկցիաների հետ, ինչպես նաեւ այն փաստը, որ բազմանդամների բազմությունը խիտ է անընդհատ ֆունկցիաների տարածության մեջ Էվկլիդյան տարածության ենթաբազմությունների վրա (տե՛ս Վեյերշտրասի մոտարկման թեորեմը) նպաստել են մաթեմատիկական անալիզում ընդլայնման մեթոդների զարգացմանը շարքերում և պոլինոմ ինտերպոլյացիաներում։ Բազմանդամները նաև առանցքային դեր են խաղում հանրահաշվական երկրաչափությունում, որի օբյեկտներ են հանդիսանում բազմությունները, որոնք սահմանված են որպես բազմանդամի համակարգի լուծումներ։ Բազմանդամների բազմապատկման ժամանակ գործակիցների ձևափոխությունների հատուկ հատկությունները կիրառվում են հանրահաշվական երկրաչափությունում, հանրահաշվում, մաթեմատիկայի այլ բաժիններում՝ կոդավորման համար։

Սահմանումներ

• $x_{1}^{i_{1}}x_{2}^{i_{2}}\cdots x_{n}^{i_{n}}$ տեսքի բազմանդամն անվանում են միանդամ կամ $I=(i_{1},\dots ,\,i_{n})$ մուլտիինդեքսի մոնոմ։
• Միանդամը, որը համապատասխանում է $I=(0,\dots ,\,0)$, անվանում են ազատ անդամ։
• $c_{I}x_{1}^{i_{1}}x_{2}^{i_{2}}\cdots x_{n}^{i_{n}}$ ոչ զրոյակամ միանդամի լրիվ աստիճան կոչվում է $|I|=i_{1}+i_{2}+\dots +i_{n}$ ամբողջ թիվը։
• I մուլտիինդեքսների բազմությումը, որոնց համար $c_{I}$ գործակիցները ոչ զրոյական են, կոչվում է բազմանդամի կրող, իսկ նրա ուռուցիկ պատյանը՝ Նյուտոնի բազմանիստ։
• Բազմանդամի աստիճան անվանում են բազմանդամը կազմող միանդամների աստիճաններից ամենամեծը։
• Բազմանդամը, որը հանդիսանում է 2 մոնոմների գումար, կոչվում է երկանդամ կամ բինոմ։
• Բազմանդամը, որը հանդիսանում է 3 մոնոմների գումար, կոչվում է եռանդամ։

Այս հոդվածի կամ նրա բաժնի որոշակի հատվածի սկզբնական կամ ներկայիս տարբերակը վերցված է Քրիեյթիվ Քոմմոնս Նշում–Համանման տարածում 3.0 (Creative Commons BY-SA 3.0) ազատ թույլատրագրով թողարկված Հայկական սովետական հանրագիտարանից  (հ․ 2, էջ 214)։