0,(9)

Վիքիպեդիայից՝ ազատ հանրագիտարանից
Jump to navigation Jump to search
0komo999 perspektiva.svg

0,(9) կամ 0,999… () («զրո ամբողջ ինը պարբերական»), պարբերական տասնորդական կոտորակ, որն իրենից ներկայացնում է 1 թիվը։ Այլ բառերով՝

Այս հավասարությունն ունի մի քանի մաթեմատիկական ապացույցներ՝ հիմնված տեսական սահմանների վրա։

Ապացույցներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Հանրահաշվական[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Սյունակով բաժանում[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Հաճախ ռացիոնալ կոտորակը կարող է ներկայացվել տասնորդական տեսքով միայն անվերջ պոչով։ Օգտագործելով սյունակով բաժանումը՝ երկու ամբողջական թվերի բաժանումը, օրինակ՝ բերում է անվերջ 0,333… տասնորդական գրառմամբ, որտեղ թվերը անվերջ կրկնվում են։ Այդկերպ հեշտ ապացուցվում է 0,999… = 1 հավասարությունը։ 3-ը 3-ի բազմապատկումը բերում է 9-ի յուրաքանչյուր շարքում, այդ իսկ պատճառով 3 × 0,333… համարժեք է 0,999…։ Եվ 3 × 13 համարժեք է 1-ի, այդ իսկ պատճառով 0,999… = 1[1]։

Թվերի տեղաշարժում[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Երբ տասնորդական գրառմամբ թիվը բազմապատկվում է 10-ի, թվերը չեն փոխվում, սակայն յուրաքանչյուր շարքը շարժվում է մեկ թվով ձախ։ Հետևաբար, 10 × 0,999… = 9,999…, ինչը 9 անգամ ավել է, քան հիմնական թիվը։ Տեսնելու համար 0,999… հանենք 9,999…-ից, յուրաքանչյուր թիվ ստորակետից հետո անհետանում է, քանի որ 9 — 9 = 0 յուրաքանչյուր շարքի համար։ Վերջին քայլն օգտագործում է հանրահաշվի կանոնները․

Տարբերության գտնելը[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Երկու թվերը հավասար են, եթե նրանց տարբերությունը հավասար է զրոյի։ Այսպես, պետք է գտնել 1-0,(9 արտահայտության լուծումը։ Սկզբում դիտարկենք առավել հեշտ օրինակը։ Գտնենք 1 և 0,9 թվերի տարբերությունը (առաջին իտերացիա), ապա ավելացնենք շարքի վերջին թվին ևս մեկ 9 (ստացվում է 0,99), գտնենք 1 թվի և նոր հանելիի՝ 0,99-ի (երկրորդ իտերացիա) տարբերությունը։ Ինչից հետո նույն սխեմայով որոշում ենք 1 և 0,999 (երրորդ իտերացիա) թվերի տարբերությունը և այլն․

Այսպես, իտերացիայի համարի բարձրացման համար հանելին ձգտում է 0,(9)-ի, իսկ տարբերությունը՝ զրոյի։ Եվ ընդհանուր դեպքում այս իրադրությունը կարելի է գրառել հետևյալ կերպ․

որտեղ n՝ իտերացիայի համար (հանելիում ստորակետից հետո ինների քանակությունը),
m՝ զրոյի և տարբերության միավորի միջև զրոների քանակությունը։
1-0,(9) տարբերությունը գտնելու համար իտերացիայի համարը հավասարեցնենք անվերջության․ ։ Այդ դեպքում .
Այդկերպ, որոնելի տարբերությունը ձևականորեն ունի զրոների անվերջ քանակություն ստորակետից հետո, որոնցից հետո գալիս է միավորը

[2]։

Իրականում, եթե ստորակետից հետո գտնվում են բազում թվեր (տվյալ դեպքում զրոները), ապա նրան հաջորդող շարքում անհնար է ավելացնել որևէ թիվ, քանի որ նման շարք գոյություն չունի։ Այս դեպքում որոնելի տարբերությունը ստորակետից հետո կլինի զրոների ամբողջություն, որը երբեք չի ավարտվի (զրոների անվերջություն), և հետևապես միավորները բոլոր զրոներից հետո չեն լինի։ Այսկերպ, տարբերությունը կներկայացվի մաքուր պարբերական կոտորակի տեսքով, որն ունի զրո ամբողջական մաս և պարբերություն՝ բաղկացած մեկ զրոյից․ 0,(0), ինչը 0 թվի ներկայացումն է պարբերական տասնորդական կոտորակի տեսքով․

Այսպիսով,

ինչը նշանակում է․

Վերլուծականներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Ընդհանուր տեսքով 0,999… թիվը կարելի է գրառել որպես

Անվերջ հաջորդականություններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Տասնորդական համակարգի որոշմանը համապատասխան հաշվարկեք շարքի գումարը․

0,999…-ի համար կիրառենք հատվող երկարաչափական պրոգրեսիայի գումարի մասին տեսությունը[3]

Եթե , ապա

Զուգամիտության շառավիղ (պրոգրեսիայի հայտարար) , և այդկերպ․

Նման ապացույցը (10-ի և 9,999…-ի էկվիվալենտության մասին) հրապարակվել է 1770 թվականին Լեոնարդ Էյլերի կողմից «Հանրահաշվի տարրեր» գրքում[4]։

Միավոր ինտերվալներ, (0.3, 0.33, 0.333, …)՝ համամիտող 1-ի (հաշվարկման չորսական համակարգում)։

Համամիտվող երկրաչափական պրոգրեսիայի գումարի բանաձևը հայտնի էր մինչ Էյլերը։ 1811 թվականին թողարկված An Introduction to Algebra դասագիրքը ևս կիրառում է երկարաչափական պրոգրեսիան 0,(9) թվի համար[5]։ XIX դարում գումարման նման կանոնի արձագանքը դարձավ փաստ․ շարքի գումարը պետք է հաջորդականության մասնակի գումարների սահմանը[6]։

Հաջորդականությունը (x0, x1, x2, …) ունի x սահման այն և միայն այն ժամանակ, երբ |xxn| անվերջ փոքր է n աճով։ 0.999… = 1 հաստատումը կարող է փոփոխվել որպես սահման[7]

Վերջին  քայլն արվում է այն հիմքով, որ իրական թվերը բավարարում են Արքիմեդի աքսիոմը։

Կիրառություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Կան բազում կիրառություններ, օրինակ՝ թվերի տարրական տեսության մեջ։ 1802 թվականին H. Goodwin-ը հրապարակեց ուսումնասիրություն, որ նա հայտնաբերել էր պարզ թվերը բաժանելիս, օրինակ․

  • 1/7 = 0,142857142857… և 142 + 857 = 999.
  • 1/73 = 0,0136986301369863… և 0136 + 9863 = 9999.

1836 թվականին Միդին ընդհանրացրեց հետազոտության արդյունքները մինչ Միդիի թեորեմը։

Մշակույթում[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

The Straight Dope նորությունների սյունակում ապացուցվում է 0,999… 13 և սահմանների օգնությամբ՝ խոսելով չհասկանալու մասին․

Ասվում է․ ,999~-ը իրականում ներկայացնում է ոչ թե թիվ, այլ գործողություն։ Թիվը գտնելու համար մենք պետք է կանգենցնենք այդ գործողությունը։ Եվ այդ պահին ,999~ = 1 հավասարությունը պարզապես քանդվում է։

Հիմարություն.[8]

0,999…-ի մասին հարցը դարձել է այնքան տարածված թեմա, որ թողարկել է հետևյալը․

Մենք շատ ուրախ ենք փակել այս թեմայի մասին գիրքը հավերժ։ Մենք վկա ենք եղել տանջանքների և անհանգստության՝ կապված այն բանի հետ, թե 0,999~ հավասարվում է 1-ի կամ ոչ, և մենք հպարտությամբ ներկայացնում ենք հետևյալ ապացույցը, որը որոշում է մեր գնորդների համար այդ խնդիրը[9]։

Ապա հաջորդում են ապացույցներ՝ հիմնված 10-ի վրա բազմապատկման և սահմանների մասին։

Ծանոթագրություններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

  1. cf. with the binary version of the same argument in Silvanus P. Thompson, Calculus made easy, St. Martin’s Press, New York, 1998. ISBN 0-312-18548-0.
  2. Քառակուսի փակագծերը ցույց են տալիս իրենց ներսում գտնվող արտահայտության ձևականությունը։ Եվ միշտ չէ, որ ձևական արտահայտությունը հավասար է իրականին։ Այդ դեպքում հենց նրանք տարբերվում են.
  3. Rudin p.61, Theorem 3.26; J. Stewart p.706
  4. Euler p.170
  5. Grattan-Guinness p.69; Bonnycastle p.177
  6. For example, J. Stewart p.706, Rudin p.61, Protter and Morrey p.213, Pugh p.180, J.B. Conway p.31
  7. The limit follows, for example, from Rudin p. 57, Theorem 3.20e. For a more direct approach, see also Finney, Weir, Giordano (2001) Thomas' Calculus: Early Transcendentals 10ed, Addison-Wesley, New York. Section 8.1, example 2(a), example 6(b).
  8. Cecil Adams (2003-07-11)։ «An infinite question: Why doesn't .999~ = 1?»։ The Straight Dope։ Chicago Reader։ Արխիվացված օրիգինալից-ից 2012-02-18-ին։ Վերցված է 2006-09-06 
  9. Blizzard Entertainment:Press Releases