Կոմպլեքս փոփոխականի ֆունկցիայի բևեռ

Որոշ սահմանումներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

$a\in A$ կետը կոչվում է $A$ բազմության մեկուսացված կետ, եթե գոյություն ունի այդ կետի այնպիսի շրջակայք, որի հատումը $A$ բազմության հետ բաղկացած է միայն $a$ կետից։

$z$ պարամետրը կոչվում է կոմպլեքս փոփոխական, եթե այն ներկայացվում է $z=x+iy$ տեսքով, որտեղ $x=\Re z$ և $y=\Im z$ իրական թվեր են, իսկ $i$ -ն կեղծ միավորն է՝ $i={\sqrt {-1}}$ ։

Կոմպլեքս փոփոխականի $f(z)$ ֆունկցիան կոչվում է հոլոմորֆ (երբեմն նաև ռեգուլյար), եթե այն որոշված է $\mathbb {C}$ կոմպլեքս հարթության որևէ բաց բազմությունում և կոմպլեքս դիֆերենցելի է դրա յուրաքանչյուր կետում։

$c$ կետը կոչվում է կոմպլեքս փոփոխականի $f(z)$ ֆունկցիայի եզակի կետ, եթե այդ կետում խախտվում է $f(z)$ ֆունկցիայի անալիտիկությունը։

$c$ կետը կոչվում է կոմպլեքս փոփոխականի $f(z)$ ֆունկցիայի մեկուսացված եզակի կետ, եթե գոյություն ունի այդ եզակի կետի այնպիսի շրջակայք, որում $f(z)$ ֆունկցիան միարժեք է և անալիտիկ։

$z_{0}$ մեկուսացված եզակի կետը կոչվում է կոմպլեքս փոփոխականի $f(z)$ ֆունկցիայի բևեռ, որը հոլոմորֆ է այդ կետի որոշակի սնամեջ շրջակայքում, եթե գոյություն ունի այդ ֆունկցիայի սահմանն այդ կետում և $\lim _{z\to {z_{0}}}f(z)=\infty$ ։

Բևեռի հայտանիշները[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

$z_{0}$ կետը բևեռ է այն և միայն այն դեպքում, երբ $f(z)$ ֆունկցիայի՝ այդ $z_{0}$ կետի սնամեջ շրջակայքում Լորանի շարքի վերլուծության գլխավոր մասը պարունակում է զրոյից տարբեր միայն վերջավոր թվով անդամներ, այսինքն՝

$f(z)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{f_{k}}(z-z_{0})^{k}=P(z)+f_{-n}(z-z_{0})^{-n}+\ldots +f_{-1}(z-z_{0})^{-1}$ , որտեղ $P(z)$ —ը Լորանի շարքի գլխավոր մասն է։

Եթե $f_{-n}\neq \ 0$ , ապա $z_{0}$ կետը կոչվում է $n$ -րդ կարգի (պատիկության)բևեռ։ Եթե $n=1$ , ապա բևեռը կոչվում է պարզ (միապատիկ)։

$z_{0}$ կետը $k$ -րդ կարգի բևեռ է այն և միայն այն դեպքում, երբ $\lim _{z\to {z_{0}}}f(z)(z-z_{0})^{k-1}=\infty$ , իսկ $\lim _{z\to {z_{0}}}f(z)(z-z_{0})^{k}\neq \infty$
$z_{0}$ կետը $k$ -րդ կարգի բևեռ է այն և միայն այն դեպքում, երբ այն $F(z)={\frac {1}{f(z)}}$ ֆունկցիայի $k$ -րդ կարգի զրոն է։

Գրականություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Մուսոյան Վ. Կոմպլեքս անալիզ - Եր., ԵՊՀ, 1990։
Шабат Б. В., Введение в комплексный анализ. В 3 т., Т. 1 — М., Наука, 1969.