Կատարյալ թիվ

Վիքիպեդիայից՝ ազատ հանրագիտարանից

Կատարյալ թիվ, այն բնական թիվն է, որը հավասար է իրենից բացի, իր բոլոր բաժանարարների գումարին։

Պատմությունը[խմբագրել]

Նշված հատկություն ունեցող թվերով հետաքրքրվել են դեռևս հին հույները, ովքեր նկատել էին, որ այդպիսի թվեր շատ քիչ կան բնական թվերի մեջ և նրանց տվել են «կատարյալ» անունը[1] (հին հունարեն՝ τέλειος αριθμός). Կատարյալ թվերն ուսումնասիրելով, հույն փիլիսոփա Էվկլիդեսը եկավ այն եզրակացության, որ, եթե որևէ k բնական թվի դեպքում 2k-1 թիվը պարզ է, ապա n=2k-1(2k-1) թիվը կատարյալ է։

2k−1 տեսքի պարզ թվերն ստացել են Մերսենի թվեր անունը՝ թվերի տեսությունն ու կատարյալ թվերն ուսումնասիրած տասնյոթերորդ դարի վանական Մարեն Մերսենի պատվին։

Օրինակներ[խմբագրել]

Հին հույներին հայտնի են եղել 6, 28, 496 և 8128 կատարյալ թվերը և նրանց թվացել է, թե այլ կատարյալ թիվ չկա։[1] Հույն մաթեմատիկոս Նիկոմաքոսը նշել է 8128 կատարյալ թիվը դեռևս մ.թ.ա. 100թ.[2] 1456-ից 1461թթ. ժամանակահատվածում գրված ձեռագրում մի անհայտ մաթեմատիկոս արել է ամենավաղ հղումը հինգերորդ կատարյալ 33 550 336 թվի մասին, որն այդ ժամանակ հայտնաբերված է եղել։[3][4] 1588թ. իտալացի մաթեմատիկոս Պիետրո Կատալդին հայտնաբերել է վեցերորդ (8 589 869 056)[5] և յոթերորդ (137 438 691 328) կատարյալ թվերը։[6]

Հատկությունները[խմբագրել]

Յուրաքանչյուր կատարյալ թիվ հավասար է առաջին 2(k−1)/2 հատ կենտ թվերի խորանարդների գումարին՝


\begin{align}
6 & = 2^1(2^2-1) & & = 1+2+3, \\[8pt]
28 & = 2^2(2^3-1) & & = 1+2+3+4+5+6+7 = 1^3+3^3, \\[8pt]
496 & = 2^4(2^5-1) & & = 1+2+3+\cdots+29+30+31 \\
& & & = 1^3+3^3+5^3+7^3, \\[8pt]
8128 & = 2^6(2^7-1) & & = 1+2+3+\cdots+125+126+127 \\
& & & = 1^3+3^3+5^3+7^3+9^3+11^3+13^3+15^3, \\[8pt]
33550336 & = 2^{12}(2^{13}-1) & & = 1+2+3+\cdots+8189+8190+8191 \\
& & & = 1^3+3^3+5^3+\cdots+123^3+125^3+127^3.
\end{align}

Կենտ կատարյալ թվեր[խմբագրել]

Մինչև հիմա կենտ կատարյալ թվեր չեն հայտնաբերվել, սակայն, չի ապացուցվել նաև, թե նրանք չկան։ Ապացուցված է, որ կենտ կատարյալ թիվը, եթե այն կա, ունի 75-ից ոչ պակաս պարզ բաժանարար։
Կենտ կատարյալ թվեր որոնելով կա զբաղվող հատուկ նախագիծ՝ OddPerfect.org։

Ծանոթագրություններ[խմբագրել]

  1. 1,0 1,1 Գ.Ա.Ղարագեբակյան, Թվերի տեսության դասընթաց, Էդիթ պրինտ, Երևան, 2008թ.
  2. Dickson, L. E. (1919)։ History of the Theory of Numbers։ Washington: Carnegie Institution of Washington, iii։ 
  3. Munich, Bayerische Staatsbibliothek, Clm 14908
  4. Smith, DE (1958)։ The History of Mathematics։ New York: Dover, 21։ ISBN 0-486-20430-8։ 
  5. Peterson, I (2002)։ Mathematical Treks: From Surreal Numbers to Magic Circles։ Washington: Mathematical Association of America, 132։ ISBN 88-8358-537-2։ 
  6. Pickover, C (2001)։ Wonders of Numbers: Adventures in Mathematics, Mind, and Meaning։ Oxford: Oxford University Press, 360։ ISBN 0-19-515799-0։