Մերսեննի թվեր

Հետևյալ տեսքի թվերը՝ M_n = 2ⁿ - 1 կոչվում են Մերսեննի թվեր, որտեղ n-ը բնական թիվ է: Անվանված են ֆրանսիացի մաթեմատիկոս Մարեն Մերսեննի անվամբ: Մերսեննի թվերի հաջորդականությունը սկսում է այս կերպ՝

1, 3, 7, 15, 31, 63, 127, 255, 511, 1023, … :

Երբեմն Մերսեննի թվեր անվանում են M_p թվերը, որտեղ p-ն պարզ թիվ է: Այդ հաջորդականությունը սկսում է այսպես՝

3, 7, 31, 127, 2047, 8191, 131071, 524287, 8388607, 536870911, 2147483647, … :

Հատկություններ

• Եթե M_n-ը պարզ թիվ է, ապա n-ը նույնպես պարզ է:
• M_p թվի ցանկացած բաժանարար պարզ p-ի համար ունի 2pk+1 տեսք, որտեղ k-ն բնական թիվ է (Ֆերմայի փոքր թեորեմի հետևանք):
• Ամեն զույգ կատարյալ թիվ ունի $M_p(M_p+1)/2=2^{p-1}(2^p - 1)$ տեսքը, որտեղ $M_p$ Մերսեննի թիվը հանդիսանում է պարզ (ապացուցել է Էյլերը):

Մերսեննի պարզ թվեր

Մերսեննի թվերը հայտնի դարձան, կապված Լյուկ-Լամերի բավականին արդյունավետ պարզության հայտանիշի հետ, որի շնորհիվ, Մերսեննի պարզ թվերը արդեն բավականին ժամանակ է, ինչ ամենամեծ հայտնի պարզ թվերն են: Տվյալ պահին, հայտի ամենամեծ պարզ թիվը Մերսեննի $M_{43112609} = 2^{43112609} - 1$ թիվն է, որը հայտնաբերվել է 2008 թվի օգոստոսին: $M_{43112609}$-ի երկարությունը 12978189 տասական թվանշան է, ինչը թույլ տվեց այն հայտնաբերող GIMPSին 2009 թվին ստանալ 100.000 ԱՄՆ դոլար մրցանակ, սահմանված Electronic Frontier Foundation-ի կողմից գտնելու համար պարզ թիվ, որը պարունակում է 10 միլիոնից ոչ պակաս թվանշան: Ընդհանուր առմամբ հայտնի է 47 Մերսեննի պարզ թիվ, սակայն կարգանշային համարները միայն առաջին 40-ի դեպքում են հայտի: Հետաքրքիր է, որ 46-րդ Մերսեննի պարզ թիվը հայտնաբերվել է 45-րդից երկու շաբաթ անց, և ավելի փոքր է: Մերսեննի պարզ թվերի և դրանց ցուցիչներ հաջորդականությունը սկսում է այսպես՝

$M_p$: 3, 7, 31, 127, 8191, 131071, 524287, 2147483647, 2305843009213693951, 618970019642690137449562111, …

p: 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, …

Ընդհանրացումներ

• Մերսեննի երկուական թվերը սահմանվում են հետևյալ կերպ՝ $MM_n = M_{M_n} = 2^{2^n - 1} - 1$.

Բաց խնդիրներ

• Մերսեննի պարզ թվերի քանակի անվերջությունը և դրանց ասիմպտոտիկան:
• $M_{M_{61}} = 2^{2^{61} - 1} - 1$ թվի պարզությունը:

Կիրառությունը

Գործնականում Մերսեննի պարզ թվերը կիրառվում են մեծ պարբերականությամբ պսեվդո-պարզ թվերի գեներատորների կառուցման մեջ :