«Մաթեմատիկական ճոճանակ»–ի խմբագրումների տարբերություն

Content deleted Content added

Գծային

14:42, 13 Հոկտեմբերի 2018-ի տարբերակ

Մաթեմատիկական ճոճանակը փակ համակարգ է, որի մեջ ընդգրկված են թելը, թելի երկարությունից մի քանի անգամ փոքր տրամագծով և ծանր գունդը։ Ճոճանակների մաթեմատիկան ընդհանուր առմամբ բավականին բարդ է։ Պայմանների պարզեցմամբ կարելի է դիտարկել պարզ ճոճանակ, որի դեպքում շարժման հավասարումները լուծելի են փոքր անկյան տատանումների համար։

Ընդհանուր դեպքում մաթեմատիկական ճոճանակի տատանումները հարմոնիկ չեն․ տատանման պարբերությունը կախված է լայնույթից։ Եթե տատանումները փոքր են, ապա պարբերությունը կարելի է որոշել

T=2\pi {\sqrt {L \over g}}

բանաձևով, որտեղ T-ն պարբերությունն է, L-ը՝ թելի երկարությունը, g-ն՝ ազատ անկման արագացումը։

Շարժման հավասարման լուծումը

Ներդաշնակ տատանումներ

Ճոճանակի փոքր տատանումները հանդիսանում են ներդաշնակ տատանումներ։ Դա նշանակում է, որ հավասարակշռության վիճակից ճոճանակի շեղումը փոփոխվում է սինուսի կամ կոսինուսի օրենքով^[1]։

x=A\sin(\theta _{0}+\omega t),

որտեղ $A$ — տատանման լայնույթն է, $\theta _{0}$ — տատանման սկզբնական փուլ, $\omega$ —շրջանային հաճախություն։

Ոչ գծային ճոճանակ

Ավելի մեծ լայնույթով տատանումների հավասարումն ավելի բարդ տեսք ունի։

\sin {\frac {x}{2}}=\varkappa \cdot \operatorname {sn} (\omega t;\varkappa ),

որտեղ $\operatorname {sn}$ — Յակոբի սինուսն է. $\varkappa <1$ համար,նա պարբերական ֆունկցիա է,փոքր $\varkappa$ -ի համարհամընկնում է սովորական սինուսի հետ։

$\varkappa$ պարամետրը որոշվում է

\varkappa ={\frac {\varepsilon +\omega ^{2}}{2\omega ^{2}}},

որտեղ $\varepsilon ={\frac {E}{mL^{2}}}$ — ճոճանակի էներգիան է t⁻²

Ոչ գծային ճոճանակի տատանման պարբերությունը որոշվում է․

T={\frac {2\pi }{\Omega }},\quad \Omega ={\frac {\pi }{2}}{\frac {\omega }{K(\varkappa )}},

T=T_{0}\left\{1+\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}\sin ^{2}\left({\frac {\alpha }{2}}\right)+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right)^{2}\sin ^{4}\left({\frac {\alpha }{2}}\right)+\dots +\left[{\frac {\left(2n-1\right)!!}{\left(2n\right)!!}}\right]^{2}\sin ^{2n}\left({\frac {\alpha }{2}}\right)+\dots \right\}

,

որտեղ $T_{0}=2\pi {\sqrt {\frac {L}{g}}}$ — փոքր տատանումների պարբերությունն է, $\alpha$ — ճոճանակի առավելագույն շեղումն է ուղղահայացից։

Մինչև 1 ռադիան (≈60°) անկյունների դեպքում․

T=T_{0}\left(1+{\frac {1}{4}}\sin ^{2}\left({\frac {\alpha }{2}}\right)\right).

Տես նաև

Աղբյուրներ

Ազատ տատանումներ։ Մաթեմատիկական ճոճանակ(ռուս.)
Ֆիզիկական հանրագիտարան(ռուս.)

Սա անավարտ հոդված է։ Դուք կարող եք օգնել Վիքիպեդիային՝ ուղղելով և լրացնելով այն։
Այս նշումը հարկավոր է փոխարինել համապատասխան թեմատիկ նշումով։

↑ Скорость и ускорение маятника при гармонических колебаниях также изменяются во времени по синусоидальному закону.

[1] Скорость и ускорение маятника при гармонических колебаниях также изменяются во времени по синусоидальному закону.

[1]

@@ Տող 7. / Տող 7. @@
 բանաձևով, որտեղ T-ն պարբերությունն է, L-ը՝ թելի երկարությունը, g-ն՝ [[ազատ անկման արագացում]]ը։
+== Շարժման հավասարման լուծումը ==
+=== Ներդաշնակ տատանումներ ===
+Ճոճանակի փոքր տատանումները հանդիսանում են ներդաշնակ տատանումներ։ Դա նշանակում է, որ հավասարակշռության վիճակից ճոճանակի շեղումը փոփոխվում է սինուսի կամ կոսինուսի օրենքով<ref>Скорость и ускорение маятника при гармонических колебаниях также изменяются во времени по синусоидальному закону.</ref>։
+: <math>x = A \sin (\theta_0 + \omega t),</math>
+որտեղ <math>A</math> — տատանման լայնույթն է, <math>\theta_0</math> — տատանման սկզբնական փուլ, <math>\omega</math> —շրջանային հաճախություն։
+=== Ոչ գծային ճոճանակ ===
+Ավելի մեծ լայնույթով տատանումների հավասարումն ավելի բարդ տեսք ունի։
+: <math>\sin \frac{x}{2} = \varkappa \cdot \operatorname{sn}(\omega t; \varkappa),</math>
+որտեղ  <math>\operatorname {sn}</math> — Յակոբի սինուսն է.  <math>\varkappa < 1</math>համար,նա պարբերական ֆունկցիա է,փոքր <math>\varkappa</math>-ի համարհամընկնում է սովորական սինուսի հետ։
+<math>\varkappa</math> պարամետրը որոշվում է
+: <math>\varkappa = \frac{\varepsilon+\omega^2}{2\omega^2},</math>
+որտեղ <math>\varepsilon = \frac{E}{mL^2}</math> — ճոճանակի էներգիան է ''t''<sup>−2</sup>
+Ոչ գծային ճոճանակի տատանման պարբերությունը որոշվում է․
+: <math>T = \frac{2\pi}{\Omega}, \quad \Omega = \frac{\pi}{2}\frac{\omega}{K(\varkappa)},</math>
+: <math>T = T_0 \left\{1 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 \sin^{2}\left(\frac{\alpha}{2}\right) + \left(\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4}\right)^2 \sin^{4}\left(\frac{\alpha}{2}\right) + \dots + \left[\frac{\left(2n - 1\right)!!}{\left(2n\right)!!}\right]^2 \sin^{2n}\left(\frac{\alpha}{2}\right) + \dots \right\}
+</math>,
+որտեղ <math>T_0 = 2\pi \sqrt\frac{L}{g}</math> — փոքր տատանումների պարբերությունն է, <math>\alpha</math> — ճոճանակի առավելագույն շեղումն է ուղղահայացից։
+Մինչև 1 ռադիան (≈60°) անկյունների դեպքում․
+: <math>T = T_0 \left( 1 + \frac{1}{4}\sin^{2}\left(\frac{\alpha}{2}\right) \right).</math>
 [[Պատկեր:Simple pendulum height.png|thumb|270px]]