Աբստրակտ հանրահաշիվ

Աբստրակտ հանրահաշիվը (նաև բարձրագույն հանրահաշիվ կամ ընդհանուր հանրահաշիվ), մաթեմատիկայի բաժին է, որն ուսումնասիրում է հանրահաշվական համակարգերը (նաև կոչվում են հանրահաշվական կառուցվածքներ), ինչպիսիք են խմբերը, օղակները, դաշտերը, մասնակի կարգավորված բազմությունները, ցանցերը, ինչպես նաև արտապատկերումները այդ կառուցվածքների միջև:

Պատմականորեն հանրահաշվական կառուցվածքները նախ առաջացել են մաթեմատիկայի այլ ոլորտների մեջ: Աբստրակցիայից և աքսիոմատիկ սահմանումների ձևակերպումից հետո նրանք դառնում էին աբստրակտ հանրահաշվի հետազոտման առարկա: Այդ իսկ պատճառով աբստրակտ հանրահաշիվը կիրառություն է գտնում մաթեմատիկայի բազմաթիվ այլ ոլորտներում:

Ստորև թվարկվում են աբստրակտ հանրահաշվի հիմնական հարաբերությունների և կառուցվածքների սահմանումները: Բերվում են գրաֆային օրինակներ: Բազմություն, բազմության պատկանելիություն, գործողություններ բազմությունների հետ և բազմությունների հետ կապված այլ հասկացությունների մեկնաբանությունը կարելի է գտնել Բազմությունների տեսություն բաժնում:

Բինար Հարաբերություններ և գործողություններ նրանց հետ

• Հարաբերություն - $A\times B$ դեկարտյան արտադրյալի $\alpha \subseteq A\times B$ ենթաբազմությունն անվանում ենք բինար հարաբերություն $A$ և $B$ բազմությունների տարրերի միջև։ $A$ և $B$ բազմությունները կոչվում են բինար հարաբերության հենքային բազմություններ։ $\alpha \subseteq A\times B$ հարաբերության պրոյեկցիան i-րդ առանցքի վրա կանվանենք այն բազմությունը, որի տարրերն են i-րդ առանցքի վրա $\alpha$- ի տարրերի պրոյեկցիանները և միայն նրանք․ $pr\alpha =\{pr{\underline {i}}(a,b)/a\alpha b\}$
• Ֆունկցիոնալ հարաբերություն - $\alpha \subseteq A\times B$ հարաբերությունն անվանենք ֆունկցինալ հարաբերություն, եթե ստույգ է $\forall x(x\in A)|\alpha (x)|\leq 1$ պնդումը։ $\alpha \subseteq A\times B$ ֆոունկցիոնալ հարաբերությունը անվանենք ամենուրեք որոշված , եթե $\forall x(x\in A)|\alpha (x)|=1$, կամ որ նույնն է, եթե $A=pr{\underline {1}}\alpha$։ Ամենուրեք որոշված $\alpha \subseteq A\times B$ ֆունկցիանալ հարաբերությանն անվանում են ֆունկցիա կամ $A$ բազմության արտապատկերում $B$ բազմության մեջ և գրում $\alpha :A\to B$: $A=pr{\underline {1}}\alpha$ բազմությանն անվանում են ֆունկցիայի որոշման տիրույթ, իսկ $pr{\underline {2}}\alpha \subseteq B$ բազմությանը՝ ֆունկցիայի արժեքների բազմություն։
• Արտապատկերում - $\alpha :A\to B$ ֆունկցիային կանվանենք $A$ բազմության արտապատկերում $B$ բազմության վրա կամ սուրյեկտիվ արտապատկերում, եթե $pr{\underline {2}}\alpha =B$, կամ որ նույնն է, եթե ստույգ է $\forall y(y\in B)\exists x(x\in A)(x\alpha y)$ պնդումը:
• Միարժեք արտապատկերում - $\alpha :A\to B$ ֆունկցիային կանվանենք ինյեկտիվ արտապատկերում, եթե $\alpha -1$-ը ֆունկցիոնալ հարաբերություն է, կամ որ նույնն է, եթե ստույգ է $\forall (x1,x2\in A)((\alpha (x1)=\alpha (x2))\Rightarrow (x1=x2)$:
• Փոխմիարժեք արտապատկերում - $\alpha :A\to B$ ֆունկցիային կանվանենք բիեկտիվ արտապատկերում, եթե այն միաժամանակ ինյեկտիվ և սուրյեկտիվ արտապատկերում է:

Հարաբերությունների որոշ դասեր

• Ռեֆլեքսիվ հարաբերություն
• Սիմետրիկ հարաբերություն
• Տրանզիտիվ հարաբերություն
• Կարգի հարաբերություն
• Մասնակի կարգի հարաբերություն
• Լրիվ կարգի հարաբերություն
• Խիստ կարգի հարաբերություն
• Էկվիվալենտության հարաբերություն
• Գործողություն
• Դիստրիբյուտիվ գործողություններ

Հանրահաշվական համակարգեր

• Խմբակերպ կամ խմբոիդ
• Կիսախումբ
• Միավոր էլեմենտը բազմության հատուկ էլեմենտ է, որը բավարարում է բինար գործողությանը այդ բազմության վրա և թողնում է մյուս էլէմենտներն անփոփոխ, երբ հարաբերվում է դրանց հետ։
• Մոնոիդը աբստրակտ հանրահաշվի կառուցվածք է ասոցիատիվ բինար գործողությամբ և միավոր էլեմենտով։
• Խումբ
• Տեղափոխելի կամ Աբելյան խումբ
• Վերջավոր խումբ է կոչվում այն խումբը, որի էլեմենտները վերջավոր են։
• Ցիկլիկ խումբ է կոչվում այն խումբը, որի էլեմենտները մասնավոր $a$ էլեմենտի աստիճաններ են։
• Խմբի Ծնիչ կամ Բազիս
• Օղակ
• Տարածությունն իրենից ներկայացնում է բազմություն լրացուցիչ կառուցվածքով։ Կախված կառուցվածքի տեսակից տարածության էլեմենտը կոչվում է կետ, վեկտոր, պատահար։
• Ենթատարածություն
• Մետրիկական տարածություն է կոչվում այն բազմությունը, որտեղ սահմանված է հեռավորություն կամայական երկու էլեմենտի միջև։
• Տոպոլոգիական տարածություն
• Նորմավորված տարածություն
• Գծային կամ վեկտորական տարածություն
• Նորմավորված վեկտորական տարածություն
• Նորմավորված տարածություն
• Էվկլիդյան տարածություն
• Բանախյան տարածություն
• Հիլբերտյան տարածություն
• Ռեֆլեքսիվ տարածություն

Այլ հանրահաշիվներ

Հանրահաշվական տերմինների միջոցով կարելի է նկարագրել նաև համակարգեր մաթեմատիկայի այլ ոլորտներից, ինչպես օրինակ գրաֆների տեսությունից:

• Կողմնորոշված գրաֆ

Կողմնորոշված գրաֆը իրենից ներկայացնում է <G, V> համակարգ, որտեղ G-ն բազմություն է, V-ն G-ի վրա տրված բինար հարաբերություն (V$\subseteq$GxG):

• Գրաֆ (Չկողմնորոշված)

Գրաֆը իրենից ներկայացնում է <G, V> համակարգ, որտեղ G-ն բազմություն է, V-ն G-ի վրա տրված բինար սիմետրիկ հարաբերություն:

• Պարզ գրաֆ

Պարզ գրաֆը իրենից ներկայացնում է <G, V> համակարգ, որտեղ G-ն բազմություն է, V-ն G-ի վրա տրված բինար անտռեֆլեքսիվ և սիմետրիկ հարաբերություն:

• Բաշխիչ (կամ դիստրիբյուտիվ) ցանց

Բաշխիչ (կամ դիստրիբյուտիվ) ցանցը իրենից ներկայացնում է <G, V> համակարգ, որտեղ G-ն բազմություն է, V-ն G-ի վրա տրված բինար տրանզիտիվ և անտիսիմետրիկ հարաբերություն:

• Կոմբինատոր օպտիմիզացիա