Մոտարկման սխալ

$f(x)=e^{x}$ -ի գրաֆիկը (կապույտ) իր գծային մոտավորությամբ $P_{1}(x)=1+x$ (կարմիր) at a = 0. Մոտարկման սխալը կորերի միջև եղած բացն է, և այն մեծանում է x արժեքների համար 0-ից հետո:

Մոտարկման սխալ տվյալների արժեքի և դրանց որոշակի մոտարկման անհամապատասխանությունն է։ Մոտարկման սխալը կարող է արտահայտվել որպես բացարձակ սխալ (անհամապատասխանության թվային մեծություն) կամ որպես հարաբերական սխալ (բացարձակ սխալը բաժանված է տվյալների արժեքին)։

Մոտարկման սխալը կարող է առաջանալ տարբեր պատճառներով, այդ թվում՝ հաշվողական մեքենայի ճշգրտության կամ չափման սխալի պատճառով (օրինակ՝ թղթի երկարությունը 4,53 սմ է, բայց քանոնը թույլ է տալիս գնահատել այն մինչև 0,1 սմ, այնպես որ դուք չափում եք։ 4,5 սմ)։

Մաթեմատիկայի թվային վերլուծության ոլորտում ալգորիթմի թվային կայունությունը ցույց է տալիս, թե որքանով են ալգորիթմի մուտքագրման սխալները կհանգեցնեն ելքի մեծ սխալների. Թվային առումով կայուն ալգորիթմներ, որոնք թույլ չեն տալիս ելքային զգալի սխալներ, երբ մուտքագրումը սխալ ձևավորված է և հակառակը։

Պաշտոնական սահմանում

Վերցնելով որոշ Վ արժեք, մենք ասում ենք, որ Վ-ն մոտավոր է բացարձակ սխալով ε>0 եթե

$|v-v_{\text{approx}}|\leq \varepsilon$

որտեղ ուղղահայաց գծերը նշանակում են բացարձակ արժեքը։

Մենք ասում ենք, որ Վ-ն մոտավոր մոտենում է Վ-ին հարաբերական սխալով η>0 եթե

$|v-v_{\text{approx}}|\leq \eta \cdot v$.

If v ≠ 0,ապա

$\eta ={\frac {\epsilon }{|v|}}=\left|{\frac {v-v_{\text{approx}}}{v}}\right|=\left|1-{\frac {v_{\text{approx}}}{v}}\right|$.

Տոկոսային սխալը (հարաբերական սխալի արտահայտություն) է

$\delta =100\%\times \eta =100\%\times \left|{\frac {v-v_{\text{approx}}}{v}}\right|.$

Սխալի սահմանը մոտավոր սխալի հարաբերական կամ բացարձակ չափի վերին սահմանն է։

Օրինակներ

Որպես օրինակ, եթե ճշգրիտ արժեքը 50 է, իսկ մոտավորությունը՝ 49,9, ապա բացարձակ սխալը 0,1 է, իսկ հարաբերական սխալը՝ 0,1/50 = 0,002 = 0,2%։ Որպես գործնական օրինակ՝ 6 մլ բաժակը չափելիս, կարդացված արժեքը եղել է 5 մլ։ Ճիշտ ցուցանիշը 6 մլ է, սա նշանակում է, որ տվյալ իրավիճակում տոկոսային սխալը կլորացված է 16,7%։

Հարաբերական սխալը հաճախ լայնորեն օգտագործվում է տարբեր չափերի թվերի մոտարկումները համեմատելու համար. Օրինակ, 3-ի բացարձակ սխալով 1,000 թվին մոտավորելը շատ ավելի վատ է, քան 1,000,000 թիվը 3-ի բացարձակ սխալով մոտավորելը. առաջին դեպքում հարաբերական սխալը 0,003 է, իսկ երկրորդում՝ ընդամենը 0,000003։

Հարաբերական սխալի երկու առանձնահատկություն կա, որոնք պետք է հիշել։ Նախ, հարաբերական սխալը որոշված չէ, երբ իրական արժեքը զրո է, ինչպես այն հայտնվում է հայտարարում (տես ստորև)։ Երկրորդ, հարաբերական սխալը իմաստ ունի միայն այն դեպքում, երբ չափվում է հարաբերակցության սանդղակով (այսինքն՝ սանդղակ, որն ունի իրական իմաստալից զրո), հակառակ դեպքում այն զգայուն է չափման միավորների նկատմամբ։ Օրինակ, երբ Ցելսիուսի սանդղակով տրված ջերմաստիճանի չափման բացարձակ սխալը 1 °C է, իսկ իրական արժեքը 2 °C է, հարաբերական սխալը 0,5 է։ Բայց եթե ճիշտ նույն մոտարկումն արվի Քելվինի սանդղակով, 1 Կ բացարձակ սխալը նույն իրական արժեքով 275,15 Կ = 2 °C տալիս է 3,63×10−3 հարաբերական սխալ։

Համեմատություն

Հարաբերական սխալների մասին հայտարարությունները ճիշտ են հաստատունների գումարման, բայց ոչ հաստատուններով բազմապատկման նկատմամբ։ Բացարձակ սխալների դեպքում ճիշտ հակառակն է՝ ճիշտ են հաստատուններով բազմապատկման, բայց ոչ հաստատունների գումարման համար^:{{{1}}}:

Իրական թվերի բազմանդամ-ժամանակային մոտարկում

Մենք ասում ենք, որ Վ իրական արժեքը բազմանդամն հաշվարկելի է բացարձակ սխալով հաշվելուց, եթե յուրաքանչյուր ռացիոնալ թվի համար ε>0, հնարավոր է հաշվարկել ռացիոնալ թվի Վ մոտավորը, որը մոտենում է Վ-ին բացարձակ սխալով ε, ժամանակային բազմանդամի չափով։ ε-ի մուտքագրումը և կոդավորման չափը (որը O(լոգարիթմ(1/ε) է)։ Նմանապես, Վ բազմանդամն հաշվարկելի է հարաբերական սխալով, եթե յուրաքանչյուր ռացիոնալ թվի համար η>0 հնարավոր է հաշվարկել ռացիոնալ թիվ, որ մոտավորում է Վ-ին η հարաբերական սխալով և η-ի կոդավորման չափով։

Եթե Վ-ն բազմանդամն հաշվարկելի է հարաբերական սխալով (ինչ-որ ալգորիթմով, որը կոչվում է ՌԵԼ), ապա այն նույնպես հաշվարկելի է բացարձակ սխալով։ Ապացույց. Թող ε>0 լինի ցանկալի բացարձակ սխալը։ Նախ, օգտագործեք ՌԵԼ հարաբերական սխալ η=1/2; գտե՛ք 1 ռացիոնալ թիվ, որ |v-r1| ≤ |v|/2, և հետևաբար |v| ≤ 2 |r1|. Եթե r1=0, ապա v=0, և մենք ավարտված ենք։ Քանի որ ՌԵԼ-ը բազմանդամ է, 1-ի կոդավորման երկարությունը բազմանդամ է։ Այժմ նորից գործարկեք ՌԵԼ-ը հարաբերական սխալով η=ε/(2 |r1|): Սա տալիս է 2 ռացիոնալ թիվ, որը բավարարում է |v-r2|-ը ≤ ε|v| / (2r1) ≤ ε, ուստի այն ունի բացարձակ սխալ ε ըստ ցանկության^:{{{1}}}:

Հակադարձ ենթատեքստը սովորաբար ճիշտ չէ։ Բայց, եթե ենթադրենք, որ որոշ դրական ստորին սահման |v| կարելի է հաշվարկել միավոր ժամանակում, օրինակ. |վ| > b > 0, և v-ը բազմանդամն հաշվարկելի է բացարձակ սխալով (ինչ-որ ալգորիթմով), այնուհետև այն նաև հաշվարկելի է հարաբերական սխալով, քանի որ մենք պարզապես կարող ենք ալգորիթմն անվանել բացարձակ սխալով ε = η b:

Ալգորիթմը, որը յուրաքանչյուր ռացիոնալ թվի համար η>0, հաշվարկում է ռացիոնալ թվի մոտավորը, որը մոտավոր է Վ-ին հարաբերական սխալով, միավոր բազմանդամի մուտքի չափով և 1/η (ոչ թե լոգարիթմ(1/η)), կոչվում է ՖՊՏԱՍ։

Գործիքներ

Ցուցման գործիքների մեծ մասում ճշգրտությունը երաշխավորված է ամբողջական ընթերցման որոշակի տոկոսով։ Նշված արժեքներից այս շեղումների սահմանները հայտնի են որպես սահմանափակող սխալներ կամ երաշխիքային սխալներ։

Ընդհանրացումներ

Սահմանումները կարող են տարածվել այն դեպքի վրա, երբ Վ-ն մոտավոր Ն-չափ վեկտորներ են՝ բացարձակ արժեքը Ն-նորմայով փոխարինելով։

Արտաքին կապեր

• Weisstein, Eric W., "Percentage error", MathWorld.