Jump to content

Մոտարկման սխալ

Վիքիպեդիայից՝ ազատ հանրագիտարանից
-ի գրաֆիկը (կապույտ) իր գծային մոտավորությամբ (կարմիր) at a = 0. Մոտարկման սխալը կորերի միջև եղած բացն է, և այն մեծանում է x արժեքների համար 0-ից հետո:

Մոտարկման սխալ տվյալների արժեքի և դրանց որոշակի մոտարկման անհամապատասխանությունն է։ Մոտարկման սխալը կարող է արտահայտվել որպես բացարձակ սխալ (անհամապատասխանության թվային մեծություն) կամ որպես հարաբերական սխալ (բացարձակ սխալը բաժանված է տվյալների արժեքին)։

Մոտարկման սխալը կարող է առաջանալ տարբեր պատճառներով, այդ թվում՝ հաշվողական մեքենայի ճշգրտության կամ չափման սխալի պատճառով (օրինակ՝ թղթի երկարությունը 4,53 սմ է, բայց քանոնը թույլ է տալիս գնահատել այն մինչև 0,1 սմ, այնպես որ դուք չափում եք։ 4,5 սմ)։

Մաթեմատիկայի թվային վերլուծության ոլորտում ալգորիթմի թվային կայունությունը ցույց է տալիս, թե որքանով են ալգորիթմի մուտքագրման սխալները կհանգեցնեն ելքի մեծ սխալների. Թվային առումով կայուն ալգորիթմներ, որոնք թույլ չեն տալիս ելքային զգալի սխալներ, երբ մուտքագրումը սխալ ձևավորված է և հակառակը[1]։

Պաշտոնական սահմանում[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Վերցնելով որոշ Վ արժեք, մենք ասում ենք, որ Վ-ն մոտավոր է բացարձակ սխալով ε>0 եթե[2][3]

որտեղ ուղղահայաց գծերը նշանակում են բացարձակ արժեքը։

Մենք ասում ենք, որ Վ-ն մոտավոր մոտենում է Վ-ին հարաբերական սխալով η>0 եթե

.

If v ≠ 0,ապա

.

Տոկոսային սխալը (հարաբերական սխալի արտահայտություն) է[3]

Սխալի սահմանը մոտավոր սխալի հարաբերական կամ բացարձակ չափի վերին սահմանն է[4]։

Օրինակներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Որպես օրինակ, եթե ճշգրիտ արժեքը 50 է, իսկ մոտավորությունը՝ 49,9, ապա բացարձակ սխալը 0,1 է, իսկ հարաբերական սխալը՝ 0,1/50 = 0,002 = 0,2%։ Որպես գործնական օրինակ՝ 6 մլ բաժակը չափելիս, կարդացված արժեքը եղել է 5 մլ։ Ճիշտ ցուցանիշը 6 մլ է, սա նշանակում է, որ տվյալ իրավիճակում տոկոսային սխալը կլորացված է 16,7%։

Հարաբերական սխալը հաճախ լայնորեն օգտագործվում է տարբեր չափերի թվերի մոտարկումները համեմատելու համար. Օրինակ, 3-ի բացարձակ սխալով 1,000 թվին մոտավորելը շատ ավելի վատ է, քան 1,000,000 թիվը 3-ի բացարձակ սխալով մոտավորելը. առաջին դեպքում հարաբերական սխալը 0,003 է, իսկ երկրորդում՝ ընդամենը 0,000003։

Հարաբերական սխալի երկու առանձնահատկություն կա, որոնք պետք է հիշել։ Նախ, հարաբերական սխալը որոշված չէ, երբ իրական արժեքը զրո է, ինչպես այն հայտնվում է հայտարարում (տես ստորև)։ Երկրորդ, հարաբերական սխալը իմաստ ունի միայն այն դեպքում, երբ չափվում է հարաբերակցության սանդղակով (այսինքն՝ սանդղակ, որն ունի իրական իմաստալից զրո), հակառակ դեպքում այն զգայուն է չափման միավորների նկատմամբ։ Օրինակ, երբ Ցելսիուսի սանդղակով տրված ջերմաստիճանի չափման բացարձակ սխալը 1 °C է, իսկ իրական արժեքը 2 °C է, հարաբերական սխալը 0,5 է։ Բայց եթե ճիշտ նույն մոտարկումն արվի Քելվինի սանդղակով, 1 Կ բացարձակ սխալը նույն իրական արժեքով 275,15 Կ = 2 °C տալիս է 3,63×10−3 հարաբերական սխալ։

Համեմատություն[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Հարաբերական սխալների մասին հայտարարությունները ճիշտ են հաստատունների գումարման, բայց ոչ հաստատուններով բազմապատկման նկատմամբ։ Բացարձակ սխալների դեպքում ճիշտ հակառակն է՝ ճիշտ են հաստատուններով բազմապատկման, բայց ոչ հաստատունների գումարման համար[5]:{{{1}}}:

Իրական թվերի բազմանդամ-ժամանակային մոտարկում[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Մենք ասում ենք, որ Վ իրական արժեքը բազմանդամն հաշվարկելի է բացարձակ սխալով հաշվելուց, եթե յուրաքանչյուր ռացիոնալ թվի համար ε>0, հնարավոր է հաշվարկել ռացիոնալ թվի Վ մոտավորը, որը մոտենում է Վ-ին բացարձակ սխալով ε, ժամանակային բազմանդամի չափով։ ε-ի մուտքագրումը և կոդավորման չափը (որը O(լոգարիթմ(1/ε) է)։ Նմանապես, Վ բազմանդամն հաշվարկելի է հարաբերական սխալով, եթե յուրաքանչյուր ռացիոնալ թվի համար η>0 հնարավոր է հաշվարկել ռացիոնալ թիվ, որ մոտավորում է Վ-ին η հարաբերական սխալով և η-ի կոդավորման չափով։

Եթե Վ-ն բազմանդամն հաշվարկելի է հարաբերական սխալով (ինչ-որ ալգորիթմով, որը կոչվում է ՌԵԼ), ապա այն նույնպես հաշվարկելի է բացարձակ սխալով։ Ապացույց. Թող ε>0 լինի ցանկալի բացարձակ սխալը։ Նախ, օգտագործեք ՌԵԼ հարաբերական սխալ η=1/2; գտե՛ք 1 ռացիոնալ թիվ, որ |v-r1| ≤ |v|/2, և հետևաբար |v| ≤ 2 |r1|. Եթե r1=0, ապա v=0, և մենք ավարտված ենք։ Քանի որ ՌԵԼ-ը բազմանդամ է, 1-ի կոդավորման երկարությունը բազմանդամ է։ Այժմ նորից գործարկեք ՌԵԼ-ը հարաբերական սխալով η=ε/(2 |r1|): Սա տալիս է 2 ռացիոնալ թիվ, որը բավարարում է |v-r2|-ը ≤ ε|v| / (2r1) ≤ ε, ուստի այն ունի բացարձակ սխալ ε ըստ ցանկության[5]:{{{1}}}:

Հակադարձ ենթատեքստը սովորաբար ճիշտ չէ։ Բայց, եթե ենթադրենք, որ որոշ դրական ստորին սահման |v| կարելի է հաշվարկել միավոր ժամանակում, օրինակ. |վ| > b > 0, և v-ը բազմանդամն հաշվարկելի է բացարձակ սխալով (ինչ-որ ալգորիթմով), այնուհետև այն նաև հաշվարկելի է հարաբերական սխալով, քանի որ մենք պարզապես կարող ենք ալգորիթմն անվանել բացարձակ սխալով ε = η b:

Ալգորիթմը, որը յուրաքանչյուր ռացիոնալ թվի համար η>0, հաշվարկում է ռացիոնալ թվի մոտավորը, որը մոտավոր է Վ-ին հարաբերական սխալով, միավոր բազմանդամի մուտքի չափով և 1/η (ոչ թե լոգարիթմ(1/η)), կոչվում է ՖՊՏԱՍ։

Գործիքներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Ցուցման գործիքների մեծ մասում ճշգրտությունը երաշխավորված է ամբողջական ընթերցման որոշակի տոկոսով։ Նշված արժեքներից այս շեղումների սահմանները հայտնի են որպես սահմանափակող սխալներ կամ երաշխիքային սխալներ[6]։

Ընդհանրացումներ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Սահմանումները կարող են տարածվել այն դեպքի վրա, երբ Վ-ն մոտավոր Ն-չափ վեկտորներ են՝ բացարձակ արժեքը Ն-նորմայով փոխարինելով[7]։

Ծանոթագրություններ[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

  1. Weisstein, Eric W. «Numerical Stability». mathworld.wolfram.com (անգլերեն). Վերցված է 2023 թ․ հունիսի 11-ին.
  2. Weisstein, Eric W. «Absolute Error». mathworld.wolfram.com (անգլերեն). Վերցված է 2023 թ․ հունիսի 11-ին.
  3. 3,0 3,1 «Absolute and Relative Error | Calculus II». courses.lumenlearning.com. Վերցված է 2023 թ․ հունիսի 11-ին.
  4. «Approximation and Error Bounds». www.math.wpi.edu. Վերցված է 2023 թ․ հունիսի 11-ին.
  5. 5,0 5,1 Կաղապար:Cite Geometric Algorithms and Combinatorial Optimization
  6. Helfrick, Albert D. (2005) Modern Electronic Instrumentation and Measurement Techniques. p. 16. 81-297-0731-4
  7. Golub, Gene; Charles F. Van Loan (1996). Matrix Computations – Third Edition. Baltimore: The Johns Hopkins University Press. էջ 53. ISBN 0-8018-5413-X.

Արտաքին կապեր[խմբագրել | խմբագրել կոդը]