Jump to content

Կոշի-Ադամարի թեորեմ

Վիքիպեդիայից՝ ազատ հանրագիտարանից

Կոշի-Ադամարի թեորեմ (նաեւ, Ադամարի թեորեմը աստիճանային շարքերի մասին), պնդում, որը գնահատում է աստիճանային շարքի զուգամիտության շառավղի մեծությունը որոշ դեպքերում։ Անվանակոչվել է ֆրանսիացի մաթեմատիկոսներ Կոշիի եւ Ադամարի պատվին։ Թեորեմն առաջին անգամ հրապարակել է Կոշին, 1821 թվականին[1], սակայն այն աննկատ է մնացել մինչեւ Ադամարի վերահայտնաբերումը[2]։ Ադամարն իր արդյունքները հրապարակել է 1888 թվականին[3]։ Նա թեորեմը ներառել է 1892 թվականի իր դոկտորական դիսերտացիայում[4]։

Ձեւակերպումը

[խմբագրել | խմբագրել կոդը]

Դիցուք, - ը զուգամիտության շառավղով աստիճանային շարք է։ Այդ դեպքում՝

եթե վերին սահմանը գոյություն ունի եւ դրական է, ապա ;

եթե , ապա ;

եթե վերին սահմանը գոյություն չունի, ապա :

Դիցուք, .

Եթե այնպիսի կետ է, որ , ապա եւ հնարավոր է գտնել այնպիսի թիվ, որ գրեթե բոլոր -երի համար տեղի ունենա անհավասարությունը։ Այստեղից հետեւում է, որ երկրաչափական պրոգրեսիան շարքի զուգամետ վերին սահման է, այսինքն՝ :

Հակառակ դեպքում, այսինքն եթե բավարարում է պայմանին, ապա եւ անվերջ թվով համարների համար տեղի կունենա անհավասարությունը։ Հետեւաբար, շարքը կետում տարամետ է, քանի որ նրա անդամները չեն ձգտում զրոյի։

Դիցուք, : Այս դեպքում ցանկացած -ի համար հաջորդականությունը զուգամիտում է զրոյի։ Այդ իսկ պատճառով, եթե ընտրենք թիվ, ապա գրեթե բոլոր համարների համար տեղի կունենա անհավասարությունը, որտեղից, ինչպես եւ դեպքում, հետեւում է շարքի զուգամիտությունը կետում։ Ֆորմալ՝ :

վերին սահմանը - ում գոյություն չունի (այսինքն, ֆորմալ՝ ) այն եւ միայն այն դեպքում, երբ հաջորդականությունը վերեւից սահմանափակ չէ։ Եթե , ապա անսահմանափակ է նաեւ հաջորդականությունը: Հետեւաբար՝ շարքը կետում տարամետ է։ Հարկ է նշել, որ դեպքում շարքը զուգամիտում է -ի։ Վերջնական՝ (այսինքն, ֆորմալ՝ , փաստացի՝ ):

Ծանոթագրություններ

[խմբագրել | խմբագրել կոդը]
  1. Cauchy, A. L. (1821), Analyse algébrique.
  2. Bottazzini, Umberto (1986), The Higher Calculus: A History of Real and Complex Analysis from Euler to Weierstrass, Springer-Verlag, էջեր 116–117, ISBN 978-0-387-96302-0. Իտալերենից թարգմանվել է անգլերեն՝ Warren Van Egmond.
  3. Hadamard, J., «Sur le rayon de convergence des séries ordonnées suivant les puissances d'une variable», C. R. Acad. Sci. Paris, 106: 259–262.
  4. Hadamard, J. (1892), «Essai sur l'étude des fonctions données par leur développement de Taylor», Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, 4e Série, VIII. Также в Thèses présentées à la faculté des sciences de Paris pour obtenir le grade de docteur ès sciences mathématiques, Paris: Gauthier-Villars et fils, 1892.

Գրականություն

[խմբագրել | խմբագրել կոդը]
  • Գրաուերտ Գ., Լիբ Ի., Ֆիշեր Վ. Դիֆֆերենցիալ եւ ինտեգրալային հաշվարկներ, Մ., Мир, 1971