Խառը վիճակ , քվանտային վիճակ, որը չի նկարագրվում վիճակի վեկտորով (ոչ էլ ալիքային ֆունկցիայով ), այլ հանդիսանում է մաքուր քվանտային վիճակների խառնուրդ։ Դա նշանակում է, որ քվանտային համակարգը որոշակի
ω
1
,
ω
2
.
.
.
ω
n
{\displaystyle \omega _{1},\omega _{2}...\omega _{n}}
հավանականություններ ունի գտնվելու
|
ψ
1
⟩
,
|
ψ
2
⟩
.
.
.
|
ψ
n
⟩
{\displaystyle |\psi _{1}\rangle ,|\psi _{2}\rangle ...|\psi _{n}\rangle }
վիճակի վեկտորներով նկարագրվող մաքուր վիճակներից յուրաքանչուրում։ Խառը վիճակի նկարագրման համար օգտագործվում է խտության մատրիցը։
Խտության մատրիցը սահմանվում է հետևյալ արտահայտությամբ
ρ
^
=
∑
i
n
ω
i
|
ψ
i
⟩
⟨
ψ
i
|
{\displaystyle {\hat {\rho }}=\sum _{i}^{n}\omega _{i}|\psi _{i}\rangle \langle \psi _{i}|}
,
որտեղ
|
ψ
i
⟩
{\displaystyle |\psi _{i}\rangle }
-ով նշանակված է մաքուր վիճակի վեկտորը, իսկ
ω
i
{\displaystyle \omega _{i}}
-ով — այդ վեկտորով նկարագրվող վիճակում գտնվելու հավանականությունը։ Մաքուր վիճակը նկարագրելու համար նույնպես կարելի է օգտագործել խտության մատրիցը։
|
ψ
⟩
{\displaystyle |\psi \rangle }
մաքուր վիճակին համապատասխանում է
ρ
^
մ
=
|
ψ
⟩
⟨
ψ
|
{\displaystyle {\hat {\rho }}_{\text{մ}}=|\psi \rangle \langle \psi |}
խտության մատրիցը։
ρ
^
{\displaystyle {\hat {\rho }}}
-ն հերմիտյան ոչ բացասական օպերատոր է, որը ունի միավոր հետք
T
r
(
ρ
^
)
=
∑
α
⟨
α
|
ρ
^
|
α
⟩
=
1
:
{\displaystyle {\rm {Tr}}({\hat {\rho }})=\sum _{\alpha }\langle \alpha |{\hat {\rho }}|\alpha \rangle =1:}
Այստեղ
|
α
⟩
{\textstyle |\alpha \rangle }
-ով նշանակված վեկտորները ներկայացնում են ցանկացած բազիս։
խտության մատրիցի քառակուսու հետքը մեկից ոչ ավել է
T
r
(
ρ
^
2
)
≤
1
{\displaystyle {\rm {Tr}}({\hat {\rho }}^{2})\leq 1}
:
Որևէ ֆիզիկական մեծություն ներկայացնող
A
^
{\displaystyle {\hat {A}}}
օպերատորի միջին մեծությունը տրվում է հետևյալ հետքով
⟨
A
^
⟩
=
∑
i
ω
i
⟨
ψ
i
|
A
^
|
ψ
i
⟩
=
∑
i
ω
i
⟨
ψ
i
|
A
^
(
∑
α
|
α
⟩
⟨
α
|
)
|
ψ
i
⟩
=
∑
α
⟨
α
|
(
∑
i
ω
i
|
ψ
i
⟩
⟨
ψ
i
|
A
^
)
|
α
⟩
=
T
r
(
ρ
^
A
^
)
{\textstyle \langle {\hat {A}}\rangle =\sum _{i}\omega _{i}\langle \psi _{i}|{\hat {A}}|\psi _{i}\rangle =\sum _{i}\omega _{i}\langle \psi _{i}|{\hat {A}}\left(\sum _{\alpha }|\alpha \rangle \langle \alpha |\right)|\psi _{i}\rangle =\sum _{\alpha }\langle \alpha |\left(\sum _{i}\omega _{i}|\psi _{i}\rangle \langle \psi _{i}|{\hat {A}}\right)|\alpha \rangle ={\rm {Tr}}({\hat {\rho }}{\hat {A}})}
:
խտության մատրիցի էվոլյուցիան տրվում է ֆոն Նեյմանի հավասարությամբ
∂
∂
t
ρ
^
=
1
i
ℏ
[
H
^
,
ρ
^
]
,
{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}{\hat {\rho }}={\frac {1}{i\hbar }}[{\hat {H}},{\hat {\rho }}],}
որտեղ
H
^
{\displaystyle {\hat {H}}}
-ը նկարագրվող համակարգի
համիլտոնյանն է։
Որպես մաքուր վիճակի չափանիշ, կարող է օգտագործվել հետևյալ պայմաններից մեկը.
ρ
^
2
=
ρ
^
{\displaystyle {\hat {\rho }}^{2}={\hat {\rho }}}
,
T
r
(
ρ
^
2
)
=
1
{\displaystyle {\rm {Tr}}({\hat {\rho }}^{2})=1}
,
ֆոն Նեյմանի Էնտրոպիայի զրոյական արժեքը
S
=
−
T
r
(
ρ
^
ln
(
ρ
^
)
)
=
0
{\displaystyle S=-Tr({\hat {\rho }}\ln({\hat {\rho }}))=0}
[1] ։
Խառը վիճակի և քվանտային վերադրման տարբերությունը [ խմբագրել | խմբագրել կոդը ]
Խառը վիճակը տարբերվում է քվանտային վերադրումից ։ Օրինակ երկաստիճան համակարգի դեպքում
|
ψ
>=
c
1
|
↓>
+
c
2
|
↑>
{\textstyle |\psi >=c_{1}|\downarrow >+c_{2}|\uparrow >}
վեկտորը և
ρ
^
=
|
c
1
|
2
|
↓><↓
|
+
|
c
2
|
2
|
↑><↑
|
{\textstyle {\hat {\rho }}=|c_{1}|^{2}|\downarrow ><\downarrow |+|c_{2}|^{2}|\uparrow ><\uparrow |}
խտության մատրիցը նկարագրում էն տարբեր վիճակներ[2] ։ Նշված վերադրմանը համապատասխանող խտության մատրիցը հետևյալն է
ρ
^
=
(
c
1
|
↓>
+
c
2
|
↑>
)
(
c
1
∗
<↓
|
+
c
2
∗
<↑
|
)
=
|
c
1
|
2
|
↓><↓
|
+
|
c
2
|
2
|
↑><↑
|
+
(
c
1
c
2
∗
|
↓><↑
|
+
c
1
∗
c
2
|
↑><↓
|
)
:
{\displaystyle {\hat {\rho }}=(c_{1}|\downarrow >+c_{2}|\uparrow >)(c_{1}^{*}<\downarrow |+c_{2}^{*}<\uparrow |)=|c_{1}|^{2}|\downarrow ><\downarrow |+|c_{2}|^{2}|\uparrow ><\uparrow |+\left(c_{1}c_{2}^{*}|\downarrow ><\uparrow |+c_{1}^{*}c_{2}|\uparrow ><\downarrow |\right):}
Խտության մատրիցի օգտագործման անհրաժեշտությունը պարզվում է քվանտային համակարգի ենթահամակարգը դիտարկելիս։ Դիցուք
A
{\textstyle A}
-ն և
A
~
{\textstyle {\tilde {A}}}
-ն քվանտային համակարգեր են, որոնք որպես ամբողջություն նկարագրվում են
|
ψ
⟩
{\displaystyle |\psi \rangle }
վեկտորով։ Կոմպոզիտային համակարգի
H
{\textstyle {\mathcal {H}}}
hիլբերտյան տարածությունը տենզորային արտադրյալն է ենթահամակարգների տարածությունների
H
=
H
A
⊗
H
A
~
{\textstyle {\mathcal {H}}={\mathcal {H_{A}}}\otimes {\mathcal {H_{\tilde {A}}}}}
: Դա նշանակում է որ
H
{\textstyle {\mathcal {H}}}
տարածության բազիսը կարելի է կազմել
H
A
{\textstyle {\mathcal {H_{A}}}}
-ի և
H
A
~
{\textstyle {\mathcal {H_{\tilde {A}}}}}
-ի
|
a
i
⟩
{\displaystyle |a_{i}\rangle }
և
|
a
~
j
⟩
{\displaystyle |{\tilde {a}}_{j}\rangle }
բազիսներից վորպես տենզորային արտադրյալ
|
a
i
,
a
~
j
⟩
=
|
a
i
⟩
⊗
|
a
~
j
⟩
{\displaystyle |a_{i},{\tilde {a}}_{j}\rangle =|a_{i}\rangle \otimes |{\tilde {a}}_{j}\rangle }
:
Դիտարկենք
A
{\textstyle A}
ենթահամակարգում
f
{\textstyle f}
ֆիզիկական մեծության չափումը։ Աիդ մեծության միջինը տրվում է հետևյալ արտահայտությամբ
⟨
ψ
|
f
^
|
ψ
⟩
=
∑
i
,
j
∑
i
′
,
j
′
⟨
ψ
|
a
i
,
a
~
j
⟩
⟨
a
i
,
a
~
j
|
f
^
|
a
i
′
,
a
~
j
′
⟩
⟨
a
i
′
,
a
~
j
′
|
ψ
⟩
=
∑
i
′
[
∑
i
⟨
a
i
′
|
(
∑
j
⟨
a
~
j
|
ψ
⟩
⟨
ψ
|
a
~
j
⟩
)
|
a
i
⟩
⟨
a
i
|
f
^
|
a
i
′
⟩
]
=
∑
i
′
⟨
a
i
′
|
(
∑
j
⟨
a
~
j
|
ψ
⟩
⟨
ψ
|
a
~
j
⟩
)
f
^
|
a
i
′
⟩
=
T
r
A
(
ρ
^
A
f
^
)
{\displaystyle \langle \psi |{\hat {f}}|\psi \rangle =\sum _{i,j}\sum _{i',j'}\langle \psi |a_{i},{\tilde {a}}_{j}\rangle \langle a_{i},{\tilde {a}}_{j}|{\hat {f}}|a_{i'},{\tilde {a}}_{j'}\rangle \langle a_{i'},{\tilde {a}}_{j'}|\psi \rangle =\sum _{i'}\left[\sum _{i}\langle a_{i'}|\left(\sum _{j}\langle {\tilde {a}}_{j}|\psi \rangle \langle \psi |{\tilde {a}}_{j}\rangle \right)|a_{i}\rangle \langle a_{i}|{\hat {f}}|a_{i'}\rangle \right]=\sum _{i'}\langle a_{i'}|\left(\sum _{j}\langle {\tilde {a}}_{j}|\psi \rangle \langle \psi |{\tilde {a}}_{j}\rangle \right){\hat {f}}|a_{i'}\rangle ={\rm {Tr}}_{A}({\hat {\rho }}_{A}{\hat {f}})}
Այստեղ
ρ
^
A
{\displaystyle {\hat {\rho }}_{A}}
-յով նշանակված է
A
{\textstyle A}
ենթահամակարգի խտության մատրիցը որը տրվում է
|
ψ
⟩
⟨
ψ
|
{\displaystyle |\psi \rangle \langle \psi |}
օպերատորի մասնակի հետքով։ Կարեվոր է նշել որ չնայած ամբողջական համակարգի մաքուր վիճակում գտնվելուն, նրա ենթահամակարգը ընդհանուր առմամբ գտնվում է խառը վիճակում։ Միայն
A
{\textstyle A}
և
A
~
{\textstyle {\tilde {A}}}
ենթահամակարգերի խճճված չլինելու դեպքում նրանցից յուրաքանչյուրը նույնպես կգտնվի մաքուր վիճակում։ Այդ դեպքում
|
ψ
⟩
=
|
ψ
A
⟩
⊗
|
ψ
A
~
⟩
{\displaystyle |\psi \rangle =|\psi _{A}\rangle \otimes |\psi _{\tilde {A}}\rangle }
իսկ
ρ
^
A
=
|
ψ
A
⟩
⟨
ψ
A
|
{\textstyle {\hat {\rho }}_{A}=|\psi _{A}\rangle \langle \psi _{A}|}
:
↑ F., Schwabl (2006). Statistical mechanics . Springer-Verlag. էջ 35. ISBN 3-540-32343-0 .
↑ Sakurai, J.; Napolitano, J. (2010). Modern quantum mechanics . Pearson. էջ 179. ISBN 978-0805382914 .
F. Schwabl Quantum mechanics. — Мunich: Springer-Verlag, 2007. — 424 с. — P. 371-377.
Л. Д. Ландау, Е.М. Лифшиц Квантовая механика. Нерелятивистская теория. — Москва: Физматлит, 2004. — С. 61-65. — 800 с.